一類圖形折疊問題的解法與思考

1、一類圖形折疊問題的解法與思考 “圖形的軸對稱”是“圖形的變化”中的一個重要部分我們知道，對圖形進(jìn)行“折疊”操作，能得到軸對稱圖形中的一系列定理和性質(zhì)，因此，“折疊問題”往往也是中考命題的一個熱點(diǎn)，而對于學(xué)生來說，這類問題是一個難點(diǎn)，本文通過舉例分析，希望能給大家?guī)硪恍┧伎?，給學(xué)生解題帶來一些靈感例1觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖1）；在第一次的折疊基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到AEF(如圖2)小明認(rèn)為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由 分析 在解題過程

2、中，部分學(xué)生從本題的結(jié)論入手，簡單的認(rèn)為通過兩次折疊，AE和AF是可以重合的，直接得到AEF是等腰三角形；或者在連結(jié)DE，DF后（如圖3），憑感覺認(rèn)為AEDAFD，但又找不到可以證明的條件，這兩種做法顯然是不對的究其原因，E、F兩點(diǎn)是在第二次折疊中產(chǎn)生的，無法判斷它們在第一次折疊中是否重合，更無法直接判斷出DE與DF，EDA與FDA的關(guān)系 大部分學(xué)生對于第一次折疊的認(rèn)識是比較清晰的，很明顯根據(jù)折疊的結(jié)果AC落在AB邊上，得到BADCAD而對于的第二次折疊，學(xué)生會感覺結(jié)論非常之多，有的學(xué)生在添加了DE，DF兩條輔助線后，根據(jù)“成軸對稱的兩個圖形全等”得到3對全等的三角形，從而產(chǎn)生很多相等的角和相

3、等的線段，卻無從下手這里給出以下幾種解法： 解法一 如圖3，證明四邊形AEDF是菱形，從而得到AEAF 根據(jù)題意，知 EADEDA，EADFAD， 可得EDAFAD， 從而證得EDAF 同理可證AEFD， 即四邊形AEDF是平行四邊形， 根據(jù)題意可得AEDE， 從而證明四邊形AEDF是菱形， 得到AEAF，即AEF是等腰三角形 解法二 如圖3，證明AEFAFE，根據(jù)“等角對等邊”得到AEAF 根據(jù)解法一，可證得AEFD， 從而得到AEFLDFE 根據(jù)“折疊”，易知AFELDFE， 可得AEFAFE，即AEF是等腰三角形以上兩種解法利用了角平分線、平行線和等腰三角形組合而成的一個基本圖形，將本題

4、中的這個基本圖形提取出來（如圖4）其中，若ABFD，F(xiàn)E平分AFD，則可證得AEF是等腰三角形；若FE平分AFD，AEF是等腰三角形，則可證得ABFD；若ABFD，AEF是等腰三角形，亦可證得FE平分AFD 除了以上兩種思路，我們還有更簡潔的解法，即運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)：“成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分”，很容易完成證明 解法三 如圖5，設(shè)AD與EF的交點(diǎn)為O，根據(jù)“折疊”，可得EF是AD的垂直平分線，即AOEAOF90° 再由AOAO，EAOFAO 可證得AEOAFO， 得到AEAF，即AEF是等腰三角形 例2 如圖6，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD上的E點(diǎn)，

5、折痕為FG，若AD15cm，AB12 cm，F(xiàn)C13 cm，則DE的長度為_cm分析 學(xué)生根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，首先想到利用AF與EF的相等關(guān)系，在RtDEF中，運(yùn)用勾股定理解決問題；同時也注意到AB和FG的數(shù)值，很容易聯(lián)想到5、12、13這組勾股數(shù)，自然會想象將AB平移到圖7中GM的位置，即作GMAD，得到MF5，但這樣也難以解決問題 與例1一樣，考慮到點(diǎn)A按要求折疊得到的點(diǎn)E恰好落在了DC上，這就明顯提示了點(diǎn)E與點(diǎn)A的對應(yīng)關(guān)系折痕FG也就是對稱軸是A、E連線的垂直平分線；同時，當(dāng)折疊得到的全等關(guān)系無法解決問題時，要嘗試?yán)谜郫B帶來的垂直關(guān)系于是，連結(jié)A、E，得到一個新的RtADE，其中線段AD的長

6、度為已知，并且通過AE和GF的垂直關(guān)系，易證FAO與AFO互余；再配合MGF與MFG的互余關(guān)系，從而證得MGFFAO，于是可以得到MCFDAE；再運(yùn)用相似圖形對應(yīng)線段成比例的關(guān)系求得DE的長度 例3如圖8，一張矩形紙片ABCD，其中AD8cm，AB6 cm，先沿對角線BD對折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置，BC'交AD于點(diǎn)G (1)求證：AGC'G；(2)如圖9，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，求EM的長 分析 第(1)問比較簡單，從略 第(2)問中的“再折疊一次”又是先確定了一組對應(yīng)點(diǎn)后進(jìn)行的折疊，所得到的EN是AD的垂直平分線是解決這個問題的金鑰

7、匙，它有三個重要意義： 一是確定EMD的的形狀，這是一個直角三角形，即確定解題思路，通過解RtEMD求EM的長度； 二是得到RtEMD中一條直角邊DM的長度，DMAMAD4 cm； 三是得到EN與DC的平行關(guān)系，配合第一次折疊中DN平分EDC，可以確定DEN的的形狀，這是一個等腰三角形，從而得到EN與ED的相等關(guān)系 那么，根據(jù)題目條件，易得MN3 cm可設(shè)EM為xcm，則 EDEN（x3）cm 根據(jù)勾股定理，得x242(x3)2， 解之，可求得EMcm 由以上幾個例題，可以體會到這一類圖形折疊問題的解法思路是：對于為了讓兩個點(diǎn)重合而進(jìn)行的折疊或在折疊完成后某個點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好出現(xiàn)在特殊位置，可以將對應(yīng)點(diǎn)連結(jié)起來，看一看對稱軸和對應(yīng)點(diǎn)連線得到的垂直和線段相等關(guān)系能否解決問題；同時，我們必須掌握數(shù)學(xué)中的核心知識點(diǎn)，這是解決問題的關(guān)鍵這些知識點(diǎn)在教材中往往和其他更為常見的