第二章軸向拉伸與壓縮

1、中國(guó)地質(zhì)大學(xué)工程學(xué)院力學(xué)課部第二章第二章 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 2-1 軸向拉伸與壓縮的概念軸向拉伸與壓縮的概念2-2 內(nèi)力內(nèi)力. 截面法截面法. 軸力及軸力圖軸力及軸力圖2-3 軸向拉（壓）桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力軸向拉（壓）桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力2-4 軸向拉（壓）桿件的變形軸向拉（壓）桿件的變形. 胡克定律胡克定律2-5 軸向拉（壓）桿件的變形能軸向拉（壓）桿件的變形能2-6 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能2-7 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件. 安全系數(shù)安全系數(shù). 許用應(yīng)力許用應(yīng)力2-8 拉（壓）桿超靜定問題拉（壓）桿超靜定問題2-9 應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的概念

2、1. 受力特點(diǎn)：作用于桿件兩端的外力大小相等，方向相反，作用線與桿件軸線重合，即稱軸向力。2. 變形特點(diǎn)：桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。軸向拉伸軸向拉伸是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生伸長(zhǎng)變形，也簡(jiǎn)稱拉伸軸向壓縮軸向壓縮是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生縮短變形，也簡(jiǎn)稱壓縮計(jì)算簡(jiǎn)圖 2-1 軸向拉伸與壓縮的概念軸向拉伸與壓縮的概念F F F F 2-2 內(nèi)力內(nèi)力. 截面法截面法. 軸力及軸力圖軸力及軸力圖一、內(nèi)力一、內(nèi)力彈性體受力后，由于變形，其內(nèi)部各點(diǎn)均會(huì)發(fā)生相對(duì)位移，因而產(chǎn)生相互作用力。內(nèi)力由于物體受外力作用而引起的其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力的改變量。根據(jù)可變形固體的連續(xù)性假設(shè)可知，物體內(nèi)部相鄰部分

3、之間的作用力是一個(gè)連續(xù)分布的內(nèi)力系，我們所說的內(nèi)力是該內(nèi)力系的合成（力或力偶） F F F F 彈性體內(nèi)力的特征彈性體內(nèi)力的特征: :(1)連續(xù)分布力系(2)與外力組成平衡力系(特殊情形下內(nèi)力本身形成自相平衡力系)F1FnF3F2桿件各截面上內(nèi)力變化規(guī)律隨著外力的變化而改變。桿件各截面上內(nèi)力變化規(guī)律隨著外力的變化而改變。F1FRF3M內(nèi)力主矢與主矩內(nèi)力主矢與主矩FRFNFQMMBMx在確定的坐標(biāo)系中在確定的坐標(biāo)系中, ,軸力、剪軸力、剪力、扭矩、彎矩及其可能產(chǎn)力、扭矩、彎矩及其可能產(chǎn)生的變形效應(yīng)。生的變形效應(yīng)。內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)則內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)則同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào)

4、。FQFQFNFN（1）截面的兩側(cè)必定出現(xiàn)大小相等，方向相反的內(nèi)力；（2）被假想截開的任一部分上的內(nèi)力必定與外力相平衡。 假想用截面把構(gòu)件分成兩部分，以顯示并確定內(nèi)力的方法。二、截面法二、截面法（求內(nèi)力的一般方法）（求內(nèi)力的一般方法）用截面法求內(nèi)力可歸納為四個(gè)字：1）截：欲求某一截面的內(nèi)力，沿該截面將構(gòu)件假想地截成兩部分。2）?。喝∑渲腥我獠糠譃檠芯繉?duì)象，而棄去另一部分。3）代：用作用于截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對(duì)留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡條件，由外力確定未知的內(nèi)力。一般來說，在采用截面法之前不要使用力的可傳性原理，以免引起錯(cuò)誤。 可看出：桿件任一橫截面上的內(nèi)力，其作用線均與

5、桿可看出：桿件任一橫截面上的內(nèi)力，其作用線均與桿件的軸線重合，因而稱之為件的軸線重合，因而稱之為軸力軸力，用記號(hào)，用記號(hào)FN表示。表示。 FFNF F mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFNx（1）截開；）截開；（2 2）代替；）代替；（3）平衡。）平衡。三、軸力三、軸力引起伸長(zhǎng)變形的軸力為正引起伸長(zhǎng)變形的軸力為正拉力（背離截面）；拉力（背離截面）；引起壓縮變形的軸力為負(fù)引起壓縮變形的軸力為負(fù)壓力（指向截面）。壓力（指向截面）。軸力的符號(hào)規(guī)定軸力的符號(hào)規(guī)定:FFNF F mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFNxmm(c) FN(a) F F mm(b) mmFFN

6、xFFFNFN=F mmnn(a) F C BA mmF A (b) FN=FnnBF A (c) nnmmFN=0 (e) mmA FN=FC B(d) F A nnB(f) A F用截面法法求內(nèi)力的過程中，在截面取分離體前，作用于物用截面法法求內(nèi)力的過程中，在截面取分離體前，作用于物體上的外力（荷載）不能任意移動(dòng)或用靜力等效的相當(dāng)力系體上的外力（荷載）不能任意移動(dòng)或用靜力等效的相當(dāng)力系替代。替代。注意：注意：若用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸若用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，所繪出的圖線可以表明線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)

7、值，所繪出的圖線可以表明軸力與截面位置的關(guān)系，稱為軸力與截面位置的關(guān)系，稱為軸力圖軸力圖。 F F FN圖FF F FN圖F四、軸力圖四、軸力圖例例2-1 求圖示桿件的內(nèi)力，并作軸力圖。0 X解：（1）計(jì)算各段內(nèi)力得AC段：作截面11，取左段部分（圖b）。由51NkN （拉力）0 X05152N2NCB段：作截面22，取左段部分（圖c），并假設(shè)方向如圖所示。由 ，102NkN （壓力），方向應(yīng)與圖中所示方向相反。得（2）繪軸力圖 選截面位置為橫坐標(biāo)；相應(yīng)截面上的軸力為縱坐標(biāo)，根據(jù)適當(dāng)比例，繪出圖線。例例2-2 2-2 試作圖示桿的軸力圖。試作圖示桿的軸力圖。求支反力求支反力kN10RF解：解：

8、A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 6003005004001800FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144注意假設(shè)軸力為拉力注意假設(shè)軸力為拉力拉）(kN101NF橫截面橫截面1-11-1：拉）(kN50N2F橫截面橫截面2-22-2：FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144FRFN1 11A FRF1 FN2A B 22此時(shí)取截面此時(shí)取截面3-33-3右邊為分離體方便，右邊為分離體方便，仍假設(shè)軸力為拉力。仍假設(shè)軸力為拉力。拉）(kN204NF橫截面橫

9、截面3-33-3：壓）kN(53NF同理同理FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144F3 F4 FN3 33D E F4 FN4 33E 由軸力圖可看出由軸力圖可看出kN502Nmax,N FF20105FN圖圖(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 33114450例例2-3：試作圖示桿的軸力圖。：試作圖示桿的軸力圖。FFFq=F/ll2llFR112233FFFqFFFFRF=2qlFF =R解：解： 1、求支反力、求支反力FF=N1FF=3Nx1N2FFlFxF1N2lFx

10、F1 2NF 0 xF2FFFq11233FF =RxFF =RFqFFF =RFFFF =RFx10-21RN2lFxFFFNFFFF思考：思考：此題中此題中FNmax發(fā)生在何處？最危險(xiǎn)截面又在何處？發(fā)生在何處？最危險(xiǎn)截面又在何處？FFFq=F/ll2ll2-3 軸向拉（壓）桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力軸向拉（壓）桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力F1FnF3F2參照?qǐng)D示，圍繞M點(diǎn)取微小面積A。根據(jù)均勻連續(xù)假設(shè)， A上必存在分布內(nèi)力，設(shè)它的合力為F ，與A的比值為 AFmp是一個(gè)矢量，代表在A范圍內(nèi)，單位面積上的內(nèi)力的平均集度，稱為平均平均應(yīng)力應(yīng)力。當(dāng)A趨于零時(shí)， Pm的大小和方向都將趨于一定極限，得到d

11、AdFAFlimplimp0Am0A稱為M點(diǎn)處的（全）應(yīng)力應(yīng)力。 M DADFAFNADDD0lim AFQADDD0limM p法向分量法向分量, , 引起長(zhǎng)度改變引起長(zhǎng)度改變切向分量，引起角度改變切向分量，引起角度改變AAFdNAAFdS內(nèi)力與應(yīng)力間的關(guān)系內(nèi)力與應(yīng)力間的關(guān)系 平平面面假假定定 變變 形形 物物性性關(guān)關(guān)系系 靜靜力力方方程程應(yīng)變分布應(yīng)變分布應(yīng)力分布應(yīng)力分布應(yīng)力公式應(yīng)力公式二、軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力二、軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力 FAFAdN無(wú)法用來確定分布內(nèi)力在橫截面上的變化規(guī)律已知靜力學(xué)條件mmF FNmmF F 但荷載不僅在桿內(nèi)引起但荷載不僅在桿內(nèi)引起應(yīng)力，還要引

12、起桿件的應(yīng)力，還要引起桿件的變形。變形?？梢詮挠^察桿件的表面可以從觀察桿件的表面變形出發(fā)，來分析內(nèi)力變形出發(fā)，來分析內(nèi)力的分布規(guī)律。的分布規(guī)律。mmF F mmF FNmmF FN 等直桿相鄰兩條橫向線等直桿相鄰兩條橫向線在桿受拉在桿受拉( (壓壓) )后仍為直后仍為直線，仍相互平行，且仍線，仍相互平行，且仍垂直于桿的軸線。垂直于桿的軸線?，F(xiàn)象現(xiàn)象:F F acbdacbd 變形之前橫截面為平面，變形之后仍保持為平面，而且仍垂直于桿軸線，如圖所示。 根據(jù)平面假設(shè)得知，橫截面上各點(diǎn)沿軸向的正應(yīng)變相同，由此可推知橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力也相同，即等于常量。 平面假設(shè)平面假設(shè)：亦即橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力亦

13、即橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力 都相等。都相等。推論：推論：1 1、等直拉（壓）桿受力時(shí)沒有發(fā)生剪切變形，、等直拉（壓）桿受力時(shí)沒有發(fā)生剪切變形，因而橫截面上沒有切應(yīng)力。因而橫截面上沒有切應(yīng)力。2 2、拉、拉( (壓壓) )桿受力后任意兩個(gè)橫截面之間縱向線桿受力后任意兩個(gè)橫截面之間縱向線段的伸長(zhǎng)段的伸長(zhǎng)( (縮短縮短) )變形是均勻的。變形是均勻的。F F acbdacbd由靜力平衡條件確定的大小 dAdNAdANAANNA由于積分得則 式中：橫截面上的正應(yīng)力；橫截面上的軸力；橫截面面積正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。適用條件：適用條件： 上述正應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)拉（壓）桿的橫截面形狀沒有

14、上述正應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)拉（壓）桿的橫截面形狀沒有限制；但對(duì)于拉伸（壓縮）時(shí)平截面假設(shè)不成立的某些特限制；但對(duì)于拉伸（壓縮）時(shí)平截面假設(shè)不成立的某些特定截面定截面, 原則上不宜用上式計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力。原則上不宜用上式計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力。 實(shí)驗(yàn)研究及數(shù)值計(jì)算表明，在載荷作用區(qū)附近和截面實(shí)驗(yàn)研究及數(shù)值計(jì)算表明，在載荷作用區(qū)附近和截面發(fā)生劇烈變化的區(qū)域，橫截面上的應(yīng)力情況復(fù)雜，上述公發(fā)生劇烈變化的區(qū)域，橫截面上的應(yīng)力情況復(fù)雜，上述公式不再正確。式不再正確。力作用于桿端方式的不同，只會(huì)使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。圣維南原理圣維南原理FFFF影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū)2F2F2F2F

15、xxxANxNxA對(duì)于等截面直桿，最大正應(yīng)力發(fā)生在最大軸力處，此處最易破壞。而對(duì)于變截面直桿，最大正應(yīng)力的大小不但要考慮 ，同時(shí)還要考慮 。例例2-4 起吊鋼索如圖所示，截面積分別為31Acm2，42Acm2，5021llm，12PkN，0280.N/cm3，材料單位體積重量max試考慮自重繪制軸力圖，并求 。1xAPN1111lx011lxAlAPN2212212llxl1解：（1）計(jì)算軸力 BC段：取22截面 （2）繪軸力圖01x時(shí)，12 PNAkN（拉力） 11lx 時(shí)，42.1210503028. 012lAP211BNkN（拉力）12lx時(shí)，42.12)ll (AlAP11211BN

16、kN（拉力） 212llx時(shí)，98.12lAlAP2211CNkN （拉力）AB段：取11截面軸力圖如圖b。（3）應(yīng)力計(jì)算4 .41101031042.126431BBANMPa （拉應(yīng)力）8 .36101041098.126432CCANMPa （拉應(yīng)力）4 .41maxMpaB截面 C截面 BC，的大小，得比較FF 由靜力平衡得斜由靜力平衡得斜截面上的內(nèi)力：截面上的內(nèi)力： F F kkF F kkF F pkk?p三、斜截面上的應(yīng)力三、斜截面上的應(yīng)力 變形假設(shè)：兩平行的斜截面在桿件發(fā)生拉（壓）變形假設(shè)：兩平行的斜截面在桿件發(fā)生拉（壓）變形后仍相互平行。變形后仍相互平行。推論：兩平行的斜截面

17、之間所有縱向線段伸長(zhǎng)推論：兩平行的斜截面之間所有縱向線段伸長(zhǎng)變形相同。變形相同。即斜截面上各點(diǎn)處總應(yīng)力相等。即斜截面上各點(diǎn)處總應(yīng)力相等。F F 0 為拉為拉( (壓壓) )桿橫截面上桿橫截面上( )( )的正應(yīng)力。的正應(yīng)力。 0AFp coscos/AFAFcos0F F pkkF F kkAA總應(yīng)力又可分解為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：總應(yīng)力又可分解為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力： 20coscos psinp2sin20sincos0p2/0max20cos2sin20討論：討論：0（1）450max45900（2）2/0min（橫截面）（橫截面）（縱截面）（縱截面）p20cos2sin20通過

18、一點(diǎn)的所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況，通過一點(diǎn)的所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況，成為該點(diǎn)處的成為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于拉（壓）桿，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由其橫截面上對(duì)于拉（壓）桿，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由其橫截面上一點(diǎn)處正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為一點(diǎn)處正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)。 p,正負(fù)號(hào)分別規(guī)定為：自x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)向斜截面外法線n， 為正；反之為負(fù)； 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；取保留截面內(nèi)任一點(diǎn)為矩心，當(dāng) 對(duì)矩心順時(shí)針 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。2-4 軸向拉（壓）桿件的變形軸向拉（壓）桿件的變形. 胡克定律胡克定律lllD1一、沿桿件軸線的軸向變形

19、如圖，設(shè)等直桿的原長(zhǎng)為l，橫截面面積為A，在軸向力P作用下，長(zhǎng)度由 l 變?yōu)閘1。桿件在軸線方向的伸長(zhǎng)，即軸向變形為 llD縱向伸長(zhǎng)l只反映桿的總變形量，而無(wú)法說明沿桿長(zhǎng)度方向上各段的變形程度。由于拉桿各段的伸長(zhǎng)是均勻的，因此，其變形程度可以每單位長(zhǎng)度的縱向伸長(zhǎng)l/ l來表示：線應(yīng)變由于桿內(nèi)各點(diǎn)軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變?yōu)榫鶆蚍植?，所以一點(diǎn)軸向線應(yīng)變即為桿件的伸長(zhǎng)l除以原長(zhǎng)l： xxdxxxdxuu+dullD但當(dāng)沿桿長(zhǎng)度為非均勻變形時(shí)，為研究一點(diǎn)處的線應(yīng)變，可圍繞該點(diǎn)取一個(gè)很小的正六面體，如圖：當(dāng)桿件因荷載或截面尺寸變化的原因而發(fā)生不均勻變形時(shí)，不能用總長(zhǎng)度內(nèi)的平均線應(yīng)變代替各點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變。FN

20、(x) lBA qxBqqlxyzCAOBDxABxDxDdxx截面處沿x方向的縱向平均線應(yīng)變?yōu)?xxDDdx截面處沿x方向的縱向線應(yīng)變?yōu)?xxxxxxddlim0ddDDDxyzCAOBDxABxDxDdx線應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)。 桿沿x方向的總變形 Dlxlxxl00ddd桿縱向的總伸長(zhǎng)量 Dlxlxxl00dddFN(x) FN(x) +d FN(x) lBA qxBqqldxFN(x)ddxbbbD1bbD二、橫向變形橫向線應(yīng)變可定義為為桿的橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變代數(shù)值之比。由于為反映材料橫向變形能力的材料彈性常數(shù)，為正值，所以，一般冠以負(fù)號(hào)，稱為泊松比或橫向變形系數(shù)。與的關(guān)系

21、為若在圖中，設(shè)變形前桿件的橫向尺寸為b ，變形后相應(yīng)尺寸變?yōu)閎1 ，則橫向變形為由實(shí)驗(yàn)證明，在彈性范圍內(nèi)三、胡克定律實(shí)驗(yàn)證明：當(dāng)桿內(nèi)的應(yīng)力部超過材料的某一極限值，即比例極限時(shí)，桿的伸長(zhǎng)l與其所受的外力F、桿的原長(zhǎng)l成正比，而與其橫截面A成反比。EAPlEANllD引進(jìn)比例常數(shù)E，則胡克定律E稱為彈性模量，其數(shù)值隨材料而異，是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定，是表征材料抵抗彈性變形的能力的量EA稱為桿的拉伸（壓縮）剛度。EAPlEANllDAPEllD1E不僅適用于拉（壓）桿，而且還可以更普遍地用于所有的單軸應(yīng)力狀態(tài)，故又稱為單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律。解：首先分別求得BD、DC、CA三段的軸力例例2-5 圖示為變截

22、面桿，已知BD段21A42Acm2，DA段cm2，ABlD求AB桿的變形 。310120E（材料的 MPa）51PkN，102PkN ，52NkN449311111005. 1102101205 . 0105DDEAlNllBD（m）51NkN53NkN449322221052. 0104101205 . 0105DDEAlNllDC（m）ABlD的負(fù)號(hào)說明此桿縮短。 449333331052. 0104101205 . 0105DDEAlNllCA（m）43211005. 1DDDDllllAB（m）449311111005. 1102101205 . 0105DDEAlNllBD（m）44

23、9322221052. 0104101205 . 0105DDEAlNllDC（m）例例2-6 2-6 圖示桿系，荷載圖示桿系，荷載 F =100kN, , 求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)A的位的位移移DA。已知兩桿均為長(zhǎng)度。已知兩桿均為長(zhǎng)度l =2m，直徑直徑d =25mm的圓的圓桿桿， =30，桿材，桿材( (鋼鋼) )的彈性模量的彈性模量E = 210GPa。解：先求兩桿的軸力。解：先求兩桿的軸力。 cos22N1NFFF0 xFFFcos21N2N1NFF 0yF得得xyFN2FN1 FABC12AF由胡克定律得兩桿的伸長(zhǎng)：由胡克定律得兩桿的伸長(zhǎng)：21llDDEAlFEAlF2N1Ncos2EAFlco

24、sd22EFl根據(jù)桿系結(jié)構(gòu)及受力情況的對(duì)稱性可知，結(jié)點(diǎn)根據(jù)桿系結(jié)構(gòu)及受力情況的對(duì)稱性可知，結(jié)點(diǎn)A只只有豎向位移。有豎向位移。FABC12此位置既應(yīng)該符合兩桿間的約束條件，又滿足兩桿此位置既應(yīng)該符合兩桿間的約束條件，又滿足兩桿的變形量要求。的變形量要求。關(guān)鍵步驟關(guān)鍵步驟如何確定桿系變形后結(jié)點(diǎn)如何確定桿系變形后結(jié)點(diǎn)A的位置？的位置？ABC12A21A2A1AAcoscos21AAAAAA即即 coscos21llADD由變形圖即確定結(jié)點(diǎn)由變形圖即確定結(jié)點(diǎn)A的位移。的位移。由幾何關(guān)系得由幾何關(guān)系得22cos2dEFl21A2A1AA)(mm293. 130cos)mm25()MPa10210()mm

25、102)(N10100(222333A代入數(shù)值得代入數(shù)值得 桿件幾何尺寸的改變，桿件幾何尺寸的改變，標(biāo)量標(biāo)量此例可以進(jìn)一步加深對(duì)變形和此例可以進(jìn)一步加深對(duì)變形和位移兩個(gè)概念的理解。位移兩個(gè)概念的理解。變形變形位移位移結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，矢量結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，矢量與各桿件間的約束有關(guān)，實(shí)與各桿件間的約束有關(guān)，實(shí)際是變形的幾何相容條件。際是變形的幾何相容條件。二者間的函數(shù)關(guān)系二者間的函數(shù)關(guān)系A(chǔ)BC12A0cos12 NN0Y0sin2 PN例例2-7 圖示桿系結(jié)構(gòu)，已知BC桿圓截面d=20mm， BD桿為8號(hào)槽鋼，E200GPa，P60kN，求B點(diǎn)的位移。 160MPa解：（1）計(jì)算軸力，取節(jié)點(diǎn)B（圖b

26、）kN752N（壓）kN451N（拉）0 X得261m10314A得BC桿圓截面的面積262m101020ABD桿為8號(hào)槽鋼，由型鋼表查得截面面積（2）計(jì)算變形BC CD5:4: 3BD：22 lBDm由胡克定律，求得3693111111086. 010314102002 . 11045DEAlNlBB（m）36932222210732. 01010201020021075DEAlNlBB（m）（3）確定B點(diǎn)位移124253llBBDD可以用圖解法求位移5:4:3注意到三角形BCD三邊的長(zhǎng)度比為124253llBBDD4354422344131BBBBBBBBBBm1056. 143)53(5

27、43122lllDDDm1086. 0311DlBBm1078. 1)()(3212313BBBBBBB點(diǎn)的水平位移 最后求出位移（3）確定B點(diǎn)位移設(shè)想將托架在節(jié)點(diǎn)B拆開（圖a），BC桿伸長(zhǎng)變形后變?yōu)锽1C，BD桿壓縮變形后變?yōu)锽2D。分別以C點(diǎn)和D點(diǎn)為圓心， 為半徑，作圓弧相交于B3。B3點(diǎn)即為托架變形后B點(diǎn)的位置。因?yàn)槭切∽冃?，B1B3和B2B3是兩段極其微小的短弧，因而可用分別垂直于BC和BD的直線線段來代替，這兩段直線的交點(diǎn)即為B3。1CB2DB和3BB即為B點(diǎn)的位移。2-5 軸向拉（壓）桿件的變形能軸向拉（壓）桿件的變形能變形能：變形能：彈性體在外力作用下，因變形而儲(chǔ)存的能量稱為變形

28、能（或應(yīng)變能）。對(duì)于始終處于靜力平衡狀態(tài)的物體，如果物體的變形處于彈性范圍內(nèi)，則原來慢慢施加的外力對(duì)變形體所作的外力功W幾乎全部轉(zhuǎn)化為物體的彈性變形能U，則由能量守恒原理：WU F l1lDllPWD21EAPll DEAlPlPWU2212D下面來討論軸向拉伸或壓縮的變形能。對(duì)軸向拉壓（桿），拉力P作功為所以，由胡克定律P l1lDlPDlPDl212DAllPVUuEEEu222122定義比能（或應(yīng)變能密度）u為單位體積的變形能由胡克定律則得單位為焦/米3，J/m3。 兩端受軸向荷載的等直桿，由于其各橫截面上所有點(diǎn)處的應(yīng)力均相等，故全桿內(nèi)的應(yīng)變能是均勻分布的。F F ll1思考：思考：1、

29、應(yīng)變能的計(jì)算不能使用力的疊加原理。想一想、應(yīng)變能的計(jì)算不能使用力的疊加原理。想一想原因是什么？原因是什么？2、如果桿件因?yàn)楹奢d或截面尺寸連續(xù)改變等原因、如果桿件因?yàn)楹奢d或截面尺寸連續(xù)改變等原因而發(fā)生不均勻軸向變形，比如等直桿受自重荷載作而發(fā)生不均勻軸向變形，比如等直桿受自重荷載作用時(shí)，如何計(jì)算桿件的應(yīng)變能？用時(shí)，如何計(jì)算桿件的應(yīng)變能？qxxF)(NEAxxFV2d)(d2NllEAxxFVV02N2d)(dFN(x) FN(x) +d FN(x) lBA qxBqqldxFN(x)J67.64mmN1067.64)mm25(4)MPa10210()mm102()30cos2N1010()cos

30、2(22323323221NEAlFEAlFV解：解：例例2-8 求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點(diǎn)點(diǎn)A的位移的位移DA 。已知。已知 P =10 kN, 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng) l =2m，桿徑，桿徑 d =25mm, =30，材料的彈性模量，材料的彈性模量 E =210GPa。cos22N1NFFFFABC12)(mm293. 1N10100mmN1067.642233FVA21VFAJ67.64mmN1067.643V而而FABC122-6 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 材料的力學(xué)性能，也稱機(jī)械性能，通過試驗(yàn)揭示材料在

31、受力過材料的力學(xué)性能，也稱機(jī)械性能，通過試驗(yàn)揭示材料在受力過程中所表現(xiàn)出的與試件幾何尺寸無(wú)關(guān)的材料本身特性。程中所表現(xiàn)出的與試件幾何尺寸無(wú)關(guān)的材料本身特性。如變形特性，破壞特性等。研究材料的力學(xué)性能的目的是確定在變形和破壞情況下的一些重要性能指標(biāo)，以作為選用材料，計(jì)算材料強(qiáng)度、剛度的依據(jù)。因此材料力學(xué)試驗(yàn)是材料力學(xué)課程重要的組成部分。此處介紹用常溫靜載試驗(yàn)來測(cè)定材料的力學(xué)性能。力學(xué)性能取決于力學(xué)性能取決于內(nèi)部結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)構(gòu)外部環(huán)境外部環(huán)境由試驗(yàn)方式獲得由試驗(yàn)方式獲得一、拉伸試驗(yàn)一、拉伸試驗(yàn)1. 試件和設(shè)備標(biāo)準(zhǔn)試件：圓截面試件，如圖。dl10dl5標(biāo)距l(xiāng)與直徑d的比例分為 或矩形截面試樣：矩形截面

32、試樣： Al3 .11或或Al65. 5試驗(yàn)設(shè)備主要是拉力機(jī)或萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)及相關(guān)的測(cè)量、記錄儀器。試驗(yàn)設(shè)備：試驗(yàn)設(shè)備：試驗(yàn)設(shè)備：試驗(yàn)設(shè)備：1 1、萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)：、萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)：用來強(qiáng)迫試樣變形用來強(qiáng)迫試樣變形并測(cè)定試樣的抗力并測(cè)定試樣的抗力 2 2、變形儀：用來將、變形儀：用來將試樣的微小變形放試樣的微小變形放大到試驗(yàn)所需精度大到試驗(yàn)所需精度范圍內(nèi)范圍內(nèi)2. 低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼，如A3鋼、16Mn鋼。1）拉伸圖（PL），如圖所示。彈性階段（oa）屈服（流動(dòng)）階段（bc）強(qiáng)化階段（ce）局部變形階段（ef）由于PL曲線與試樣的尺寸有關(guān)，為了消除試件尺寸的影響，

33、可采用應(yīng)力應(yīng)變曲線，即曲線來代替PL曲線。2）曲線圖，如圖所示 對(duì)低碳鋼來說，s，b是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。AFNllDl 原始標(biāo)距原始標(biāo)距 名義應(yīng)變名義應(yīng)變A 原始橫截面面積原始橫截面面積 名義應(yīng)力名義應(yīng)力拉伸過程四個(gè)階段的變形特征及應(yīng)力特征點(diǎn)：拉伸過程四個(gè)階段的變形特征及應(yīng)力特征點(diǎn)： 、彈性階段、彈性階段OB此階段試件變形完全此階段試件變形完全是彈性的，且是彈性的，且與與成成線性關(guān)系線性關(guān)系EE 線段線段OA的斜率的斜率比例極限比例極限p 對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A彈性極限彈性極限e 對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)B、屈服階段、屈服階段此階段應(yīng)變顯著增加，但應(yīng)力基本此階段應(yīng)變顯著增加，但應(yīng)力基本不變不變屈服屈服現(xiàn)象。

34、現(xiàn)象。產(chǎn)生的變形主要是塑產(chǎn)生的變形主要是塑性的。性的。拋光的試件表面上可見拋光的試件表面上可見大約與軸線成大約與軸線成45 的滑的滑移線。移線。屈服極限屈服極限 對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（屈服低限）（屈服低限）s、強(qiáng)化階段、強(qiáng)化階段 此階段材料抵抗變形的能力有所增強(qiáng)。此階段材料抵抗變形的能力有所增強(qiáng)。強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限b 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)G ( (拉伸強(qiáng)度拉伸強(qiáng)度) )，最大名義應(yīng)力最大名義應(yīng)力此階段如要增加應(yīng)此階段如要增加應(yīng)變，必須增大應(yīng)力變，必須增大應(yīng)力材料的強(qiáng)化材料的強(qiáng)化、局部變形階段、局部變形階段試件上出現(xiàn)急劇局部橫截面收縮試件上出現(xiàn)急劇局部橫截面收縮頸頸縮縮，直至試件斷裂。，直至試件斷裂。伸長(zhǎng)率伸長(zhǎng)

35、率%1001llld斷面收縮率：斷面收縮率：%1001AAAA1 斷口處最小斷口處最小橫截面面積。橫截面面積。 （平均塑性伸長(zhǎng)率）（平均塑性伸長(zhǎng)率）3）延伸率和截面收縮率 為度量材料塑性變形的能力 工程上通常按延伸率的大小把材料分為兩類：塑性材料；脆性材料 5d%5d%衡量材料塑性變形能力的重要指標(biāo)。MPa240sMPa390bQ235鋼的主要強(qiáng)度指標(biāo)：鋼的主要強(qiáng)度指標(biāo)： Q235鋼的塑性指標(biāo)：鋼的塑性指標(biāo)： %30%20d%60Q235鋼的彈性指標(biāo)：鋼的彈性指標(biāo)： GPa210200E通常通常 的材料稱為的材料稱為塑性材料塑性材料；%5d 的材料稱為的材料稱為脆性材料脆性材料。%5d低碳鋼拉

36、伸破壞斷面低碳鋼拉伸破壞斷面思考：思考： 2、低碳鋼的同一圓截面試樣上，若同時(shí)畫有兩種標(biāo)距，低碳鋼的同一圓截面試樣上，若同時(shí)畫有兩種標(biāo)距，試問所得伸長(zhǎng)率試問所得伸長(zhǎng)率d d10 和和d d5 哪一個(gè)大？哪一個(gè)大？ 1、強(qiáng)度極限、強(qiáng)度極限 b是否材料在拉伸過程中所承受的最大應(yīng)力？是否材料在拉伸過程中所承受的最大應(yīng)力？表面磨光的低碳鋼試樣屈服時(shí)，表面將出現(xiàn)與軸線成45傾角的條紋，這是由于材料內(nèi)部晶格相對(duì)滑移形成的，稱為滑移線，如圖所示。4）卸載規(guī)律及冷作硬化epgdodogddOP卸載規(guī)律卸載規(guī)律：試樣加載到超過屈服極限后（見圖中d點(diǎn)）卸載，卸載線 大致平行于 線，此時(shí)其中e為卸載過程中恢復(fù)的彈性

37、應(yīng)變p為卸載后的塑性變形（殘余變形）卸載至d后若再加載，加載線仍沿dd線上升，因此加載的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合胡克定律。 冷作硬化冷作硬化：材料進(jìn)入強(qiáng)化階段以后的卸載再加載歷史（如經(jīng)冷拉處理的鋼筋），使材料此后的關(guān)系沿dd ef路徑，此時(shí)材料的比例極限和開始強(qiáng)化的應(yīng)力提高了，而塑性變形能力降低了，這一現(xiàn)象稱為冷作硬化。此類材料與低碳鋼共同之處是斷裂破壞前要經(jīng)歷大量塑性變形，不同之處是沒有明顯的屈服階段。3其它塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能錳鋼沒有屈服和局部變形階段強(qiáng)鋁、退火球墨鑄鐵沒有明顯屈服階段共同點(diǎn)：d 5%，屬塑性材料無(wú)屈服階段的塑性材料，以無(wú)屈服階段的塑性材料，以p0.2作作為其名義屈服極限，稱為

38、規(guī)定為其名義屈服極限，稱為規(guī)定非比非比例伸長(zhǎng)應(yīng)力例伸長(zhǎng)應(yīng)力或或屈服強(qiáng)度屈服強(qiáng)度。 p0.2對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于p=0.2%時(shí)的應(yīng)力值時(shí)的應(yīng)力值對(duì)于曲線沒有“屈服平臺(tái)”的塑性材料，工程上規(guī)定取完全卸載后具有殘余應(yīng)變量p0.2%時(shí)的應(yīng)力叫名義屈服極限，用0.2表示?；铱阼T鐵在拉伸時(shí)的灰口鑄鐵在拉伸時(shí)的 曲線曲線特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、 曲線從很低應(yīng)力水平曲線從很低應(yīng)力水平開始就是曲線；采用割線彈性模開始就是曲線；采用割線彈性模量量2、沒有屈服、強(qiáng)化、局部變形、沒有屈服、強(qiáng)化、局部變形階段，只有唯一拉伸強(qiáng)度指標(biāo)階段，只有唯一拉伸強(qiáng)度指標(biāo)b3、伸長(zhǎng)率非常小，拉伸強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率非常小，拉伸強(qiáng)度b基本上就是試件拉斷時(shí)橫截面

39、上基本上就是試件拉斷時(shí)橫截面上的真實(shí)應(yīng)力的真實(shí)應(yīng)力。 典型的脆性材料典型的脆性材料4鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能二、壓縮試驗(yàn)二、壓縮試驗(yàn)1.試驗(yàn)試樣圓截面短柱體圓截面短柱體31dl正方形截正方形截面短柱體面短柱體31bl2.試驗(yàn)曲線特點(diǎn)：特點(diǎn)：1 1、低碳鋼拉、壓時(shí)的、低碳鋼拉、壓時(shí)的s以以及彈性模量及彈性模量E基本相同。基本相同。 2、材料延展性很好，不會(huì)、材料延展性很好，不會(huì)被壓壞。被壓壞。特點(diǎn)：特點(diǎn)： 1 1、壓縮時(shí)的、壓縮時(shí)的b和和d 均比拉伸均比拉伸時(shí)大得多，宜做受壓構(gòu)件；時(shí)大得多，宜做受壓構(gòu)件；2 2、即使在較低應(yīng)力下其、即使在較低應(yīng)力下其 也只近似符合胡克定律也只近似符合胡克定律; ;3

40、 3、試件最終沿著與橫截面大、試件最終沿著與橫截面大致成致成 50 55 的斜截面發(fā)生的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。錯(cuò)動(dòng)而破壞。試驗(yàn)破壞的斷口低碳鋼拉伸試驗(yàn)的斷口鑄鐵拉伸試驗(yàn)的斷口鑄鐵壓縮試驗(yàn)的斷口端面潤(rùn)滑時(shí)端面潤(rùn)滑時(shí)端面未潤(rùn)滑時(shí)端面未潤(rùn)滑時(shí)三、幾種非金屬材料的力學(xué)性能三、幾種非金屬材料的力學(xué)性能 1 1、混凝土：拉伸強(qiáng)度很小，結(jié)構(gòu)計(jì)、混凝土：拉伸強(qiáng)度很小，結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)一般不加以考慮算時(shí)一般不加以考慮; ;使用標(biāo)準(zhǔn)立方使用標(biāo)準(zhǔn)立方體試塊測(cè)定其壓縮時(shí)的力學(xué)性能。體試塊測(cè)定其壓縮時(shí)的力學(xué)性能。 特點(diǎn)特點(diǎn):1、直線段很短，在變形不大時(shí)突、直線段很短，在變形不大時(shí)突然斷裂；然斷裂；2、壓縮強(qiáng)度壓縮強(qiáng)度b及破壞

41、形式與端面及破壞形式與端面潤(rùn)滑情況有關(guān)；潤(rùn)滑情況有關(guān)；3、以、以 曲線上曲線上 =0.4b的點(diǎn)與的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線確定原點(diǎn)的連線確定“割線彈性模量割線彈性模量”。2 2、木材、木材木材屬木材屬各向異性材料各向異性材料其力學(xué)性能具有方向性其力學(xué)性能具有方向性亦可認(rèn)為是亦可認(rèn)為是正交正交各向異性材料各向異性材料其力學(xué)性能具有三個(gè)其力學(xué)性能具有三個(gè)相互垂直的對(duì)稱軸相互垂直的對(duì)稱軸特點(diǎn)：特點(diǎn)：1 1、順紋拉伸強(qiáng)度很高，但受木節(jié)、順紋拉伸強(qiáng)度很高，但受木節(jié)等缺陷的影響波動(dòng)；等缺陷的影響波動(dòng)；2 2、順紋壓縮強(qiáng)度稍低于順紋拉伸、順紋壓縮強(qiáng)度稍低于順紋拉伸強(qiáng)度，但受木節(jié)等缺陷的影響小。強(qiáng)度，但受木節(jié)等缺陷的影

42、響小。3 3、橫紋壓縮時(shí)可以比例極限作為、橫紋壓縮時(shí)可以比例極限作為其強(qiáng)度指標(biāo)。其強(qiáng)度指標(biāo)。4 4、橫紋拉伸強(qiáng)度很低，工程中應(yīng)、橫紋拉伸強(qiáng)度很低，工程中應(yīng)避免木材橫紋受拉。避免木材橫紋受拉。松木順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時(shí)的松木順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時(shí)的 曲線曲線許用應(yīng)力許用應(yīng)力 和彈性模量和彈性模量 E 均應(yīng)隨應(yīng)力方向與木紋方向均應(yīng)隨應(yīng)力方向與木紋方向傾角不同而取不同數(shù)值。傾角不同而取不同數(shù)值。3 3、玻璃鋼、玻璃鋼玻璃纖維的不同排列方式玻璃纖維的不同排列方式玻璃纖維與熱固性樹脂粘合而成的玻璃纖維與熱固性樹脂粘合而成的復(fù)合材料復(fù)合材料力學(xué)性能力學(xué)性能玻璃纖維和樹脂的性能玻璃纖維和樹脂的性能玻

43、璃纖維和樹脂的相對(duì)玻璃纖維和樹脂的相對(duì)量量材料結(jié)合的方式材料結(jié)合的方式纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時(shí)的纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時(shí)的 曲線曲線特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、直至斷裂前、直至斷裂前 基本基本是線彈性的；是線彈性的；2 2、由于纖維的方向性，玻、由于纖維的方向性，玻璃鋼的力學(xué)性能是各向異璃鋼的力學(xué)性能是各向異性的。性的。2-7 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件. 安全系數(shù)安全系數(shù). 許用應(yīng)力許用應(yīng)力1安全系數(shù)與許用應(yīng)力工程材料失效的兩種形式為：（1）塑性屈服，指材料失效時(shí)產(chǎn)生明顯的塑性變形，并伴有屈服現(xiàn)象。如低碳鋼、鋁合金等塑性材料；（2）脆性斷裂，材料失效時(shí)幾乎不產(chǎn)生塑性變形而突然斷裂。如鑄鐵、

44、混凝土等脆斷材料。由于各種原因使結(jié)構(gòu)喪失其正常工作能力的現(xiàn)象，稱為失效。許用應(yīng)力：許用應(yīng)力：保證構(gòu)件安全可靠工作所容許的最大應(yīng)力值。對(duì)于拉壓桿只有危險(xiǎn)面問題，因?yàn)槲ｋU(xiǎn)面上的所有點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)。工程上一般取 脆性材料： 塑性材料： bnb sns分別為塑性材料和脆性材料的安全系數(shù)安全系數(shù)。 bsnn ,塑性材料塑性材料: :脆性材料脆性材料: :對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)極限應(yīng)力極限應(yīng)力us 或或p0.2b許用應(yīng)力許用應(yīng)力nun 1安全系數(shù)或許用應(yīng)力的選定應(yīng)根據(jù)有關(guān)規(guī)定或查閱國(guó)家有關(guān)規(guī)范或設(shè)計(jì)手冊(cè)。通常在靜荷設(shè)計(jì)中取 0 . 25 . 1sn0 . 35 . 2bn安全系

45、數(shù)的選取原則充分體現(xiàn)了工程上處理安全與經(jīng)濟(jì)一對(duì)矛盾的原則，是復(fù)雜、審慎的事。 （1 1）極限應(yīng)力的差異；）極限應(yīng)力的差異；（2 2）構(gòu)件橫截面尺寸的變異；）構(gòu)件橫截面尺寸的變異；（3 3）荷載的變異；）荷載的變異；（4 4）計(jì)算簡(jiǎn)圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異；）計(jì)算簡(jiǎn)圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異；（5 5）考慮強(qiáng)度儲(chǔ)備。）考慮強(qiáng)度儲(chǔ)備。關(guān)于安全關(guān)于安全因數(shù)因數(shù)的考慮的考慮從力學(xué)角度討論安全系數(shù)的影響因素： （1）對(duì)載荷估計(jì)的準(zhǔn)確性與把握性對(duì)載荷估計(jì)的準(zhǔn)確性與把握性：如重力、壓力容器的壓力等可準(zhǔn)確估計(jì)與測(cè)量，大自然的水力、風(fēng)力、地震力等則較難估計(jì)。（2）材料的均勻性與力學(xué)性能指標(biāo)的穩(wěn)定性材料的均勻性與力學(xué)性能指標(biāo)的

46、穩(wěn)定性：如低碳鋼之類塑性材料組織較均勻，強(qiáng)度指標(biāo)較穩(wěn)定，塑性變形階段可作為斷裂破壞前的緩沖，而鑄鐵之類脆性材料正相反，強(qiáng)度指標(biāo)分散度大、應(yīng)力集中、微細(xì)觀缺陷對(duì)強(qiáng)度均造成極大影響。（3）計(jì)算公式的近似性計(jì)算公式的近似性：由于應(yīng)力、應(yīng)變等理論計(jì)算公式建立在材料均勻連續(xù)，各向同性假設(shè)基礎(chǔ)上，拉伸（壓縮）應(yīng)力，變形公式要求載荷通過等直桿的軸線等，所以材料不均勻性，加載的偏心，桿件的初曲率都會(huì)造成理論計(jì)算的不精確。（4）環(huán)境環(huán)境：工程構(gòu)件的工作環(huán)境比實(shí)驗(yàn)室要復(fù)雜的多，如加工精度，腐蝕介質(zhì)，高、低溫等問題均應(yīng)予以考慮。2強(qiáng)度條件 NmaxAF保證拉（壓）桿不因強(qiáng)度不足發(fā)生破壞的條件保證拉（壓）桿不因強(qiáng)度不足發(fā)生破壞的條件maxmax,NmaxAFmax,NFAmaxN,AF例例2-9 桿系結(jié)構(gòu)如圖所示，已知桿AB