微積分基本定理

1、微積分基本定理bxxxxxann1210, 1iiixx任取niixf1)(做和式：常數(shù)）且有，(/ )(lim10Anabfniin復習：復習：1、定積分是怎樣定義？定積分是怎樣定義？設函數(shù)設函數(shù)f f（x x）在）在aa，bb上連續(xù)，在上連續(xù)，在aa，bb中任意插入中任意插入n-1n-1個分點：個分點：把區(qū)間a,b等分成n n個小區(qū)間，個小區(qū)間，, 1iixx在每個小區(qū)間./ )(1nabfniibadxxf)(則，這個常數(shù)則，這個常數(shù)A稱為稱為f(x)在在a，b上的上的定積分定積分(簡稱積分簡稱積分)記作記作nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即xfSii)(被積函數(shù)

2、被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即積分和積分和 1、如果函數(shù)如果函數(shù)f（x）在）在a，b上連續(xù)且上連續(xù)且f（x）0時，那么：時，那么：定積分定積分 就表示以就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積）為曲邊的曲邊梯形面積。badxxf)( 2、定積分定積分 的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示。形面積的代數(shù)和來表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba )(復習：復習：2、定積分的幾何意義是什么？、定積分的幾何意義是什么

3、？, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負值曲邊梯形的面積的負值4321)(AAAAdxxfba 說明：說明：1A2A3A4A定積分的簡單性質定積分的簡單性質(1)( )( ) ()bbaakf x dxkf x dxk為常數(shù)1212(2) ( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)( )( )( ) (acb)bcbaacf x dxf x dxf x dx題型題型1：定積分的簡單性質的應用定積分的簡單性質的應用20082007102132)()()()(1dxxfdxxfdx

4、xfdxxf、化簡481, 9,29, 323033023030dxxdxxxdxdx、已知，?)1512218()2(?)8634123032330dxxxxdxxxx（）（求：點評：點評：運用定積分的性質可以化簡定積分計算，也可以運用定積分的性質可以化簡定積分計算，也可以把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差問題問題2 2：一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)律律S SS(t)S(t)。由導數(shù)的概念可以知道，它在任意。由導數(shù)的概念可以知道，它在任意時刻時刻t t的速度的速度v(t)v(t)SS（t)t)。

5、設這個物體在時間。設這個物體在時間段段a a，b b內(nèi)的位移為內(nèi)的位移為S S，你能分別用，你能分別用S(t)S(t)，v(t)v(t)來表示來表示S S嗎？嗎？從中你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)和定積分的內(nèi)在從中你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)和定積分的內(nèi)在聯(lián)系嗎？聯(lián)系嗎？另一方面，從另一方面，從導數(shù)導數(shù)角度來看：角度來看：如果已知該變速直如果已知該變速直線運動的路程函數(shù)為線運動的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時間區(qū)間，則在時間區(qū)間a,b內(nèi)物內(nèi)物體的位移為體的位移為s(b)s(a)， 所以又有所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s(t)是是v(t)的原函數(shù)，這就是說，的原函數(shù)，這就是說，定積分定積分 等于

6、被積函數(shù)等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的增量上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)( 從從定積分定積分角度來看：角度來看：如果物體運動的速度函數(shù)為如果物體運動的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時間區(qū)間，那么在時間區(qū)間a,b內(nèi)物體的位移內(nèi)物體的位移s可以用定可以用定積分表示為積分表示為.d)(battvs微積分基本定理：設函數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且上連續(xù)，并且F(x)f（x)，則，則，baaFbFxxf)()(d)(這個結論叫這個結論叫微積分基本定理微積分基本定理（fundamental theorem of calculu

7、s)，又叫，又叫牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或記作說明：說明：牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便提供了計算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積只要求出被積函數(shù)函數(shù) f f( (x x) )的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)F F( (x x) )，然后，然后計算原函數(shù)計算原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b 上的增量上的增量F F( (b b) )FF( (a a) )即可即可. .該公式該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題。把計算定積分歸

8、結為求原函數(shù)的問題?；境醯群瘮?shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則例例1 1 計算下列定積分計算下列定積分 解解（）（）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找

9、出找出f(x)的原的原函數(shù)是關鍵函數(shù)是關鍵 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxbabalnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx練習練習1: _4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121 ：公公式式例計算定積分例計算定積分 解解:dxxx 312213 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123123121313原原式式 37611311313331313 xx 達標練習：達標練習： _14_1233_12_231212122

10、1102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee練習：P 55 1微積分基本定理微積分基本定理)()()(aFbFdxxfba 三、小結banbannxdxx121 ：公公式式abxdxxbabalnlnln11 ：公公式式作業(yè)：P55 A組 1|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定積分公式定積分公式6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnnaxnxdxx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|l

11、nxbaaa牛頓 牛頓，是英國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。 牛頓1661年入英國劍橋大學三一學院，1665年獲文學士學位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學創(chuàng)造的藍圖。1667年回劍橋后當選為三一學院院委，次年獲碩士學位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學會會長。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學與神學。 牛頓在科學上最卓越的貢獻是微積分和經(jīng)典力學的創(chuàng)建。返回返回萊布尼茲萊布尼茲，德國數(shù)學家、哲學家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國的漢諾威。他父親是萊比錫大學倫理學教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學學習法律，又曾到耶拿大學學習幾何，1666年在紐倫堡阿爾