解三角形實際應(yīng)用

1、解三角形的實際應(yīng)用參考答案與試題解析1如圖，從氣球A測得正前方的濟南全運會東荷、西柳兩個場館B、C的俯角分別為、，此時氣球的高度為h，則兩個場館B、C間的距離為（）ABCD1、解：過A作垂線AD交CB于D，則在RtADB中，ABD=，AB= 又在ACB中，ACB=，BAC=，由正弦定理，得BC=即兩個場館B、C間的距離為故選：B2一張1.4m高的圖片掛在墻上，它的底邊高于觀察者的眼睛1.8m，問觀察者應(yīng)站在距離墻多少米處看圖，才能最清新（即視角最大，視角是指觀察圖片上底的視線與下底的視線所夾的角）（）A1.0B1.6C2.0D2.42、解：由題意，設(shè)觀察者距離畫的距離為xm，視角為，如圖則ta

2、n=tan（BAD）=， 當(dāng)且僅當(dāng)x=時，即x=2.4m時，tan有最大值，因此有最大值，所以觀察者應(yīng)站在距離墻2.4米處看圖，才能最清新；故選D3已知A、B兩島相距100km，B在A的北偏東30°，甲船自A以40km/h的速度向B航行，同時乙船自B以30km/h的速度沿方位角150°（即東偏南60°）方向航行，當(dāng)兩船之間的距離最小時，兩船合計航行距離（）A等于kmB小于100kmC大于100kmD等于100km3、解：由題意得，兩船航行方向所在直線的夾角為60°，令航行時間為t小時，此時兩船之間的距離為skm，則甲船到B的距離為（10040t）km，乙

3、船離B的距離為30tkm，由余弦定理可得s2=（1004t）2+（30t）22×30t×（10040t）cos60°=3700t211000t+10000t=時，s2取得最小值，即s取得最小值，此時兩船合計航行距離為40t+30t=km100km，故選：C4如圖，在RtABC中，C=90°，D為BC上一點，DAC=30°，BD=2，AB=，則AC的長為（）AB3CD4、設(shè)AC=x，則BC=2+xAC2+BC2=AB2x2+（2+x）2=12解得x=或2（舍去）故選C6在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點A，B到C

4、點的距離AC=BC=2km，且ACB=120°，則A，B兩點間的距離為（）AkmB2kmC2kmD2km考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：解三角形分析：直接利用與余弦定理求出AB的數(shù)值解答：解：根據(jù)余弦定理 AB2=a2+b22abcos，AB=2（km）故選：B點評：本題是基礎(chǔ)題，考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力7（2009武漢模擬）輪船A和輪船B在中午12時離開海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船A的航行速度是25海里/小時，輪船B航行速度是15海里/小時，下午2時兩船之間的距離是（）A35海里B35海里C35海里D70海里考點：解三角形的實際應(yīng)用菁

5、優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：應(yīng)用題分析：題意可得，AC=50，BC=30，ACB=120°，作出示意圖，由余弦定理可得AB2=AC2+BC22ACBCcosBCA可求AB，即兩輪船的距離解答：解：由題意可得，AC=50，BC=30，ACB=120°由余弦定理可得，AB2=AC2+BC22ACBCcosBCA=4900AB=70海里故選：D點評：本題主要考查了余弦定理在解決實際問題中的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并能利用數(shù)學(xué)知識進行解答8如圖甲、乙二人同時從A點出發(fā)，甲沿著正東方向走，乙沿著北偏東30°方向走，當(dāng)乙走了2千米到達(dá)B點時，甲走到了C點，兩

6、人距離BC=千米，那么這時甲走的距離AC為（）A2千米B2千米C千米D1千米考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：解三角形分析：直接利用余弦定理求出AC的距離即可解答：解：由題意可知：BC2=AB2+AC22ABACcosBAC，AB=2，BC=，BAC=60°3=4+AC22×2ACcos60°解得AC=1千米故選：D點評：本題是基礎(chǔ)題，考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力10在20米高的樓頂測得對面一塔吊頂部的仰角為60°，塔基的俯角為45°，那么這座塔吊的高度是（）A20（1+）B20（+）C10（+）D20（1+）考點：解三角形的實際

7、應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：由題意，AB=20米，DAE=60°，DAC=45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由ADCE，得出DC，AD的長度，再求出DE即可得出塔吊的高度解答：解：由題意，AB=20米，DAE=60°，DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米再由，DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20塔高為DE+CD=20+20 =20（+1）故選D點評：本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵是建立起符合條件的模型，然后再由三角形中的相關(guān)知識進行運算，解三角形的應(yīng)用一般

8、是求距離（長度問題，高度問題等）解題時要注意綜合利用所學(xué)的知識與題設(shè)中的條件，求解三角形的邊與角11（2011安徽模擬）如圖，在山腳下A測得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走a米到達(dá)B，在B處測得山頂P的仰角為，則山高PQ為（）ABCD考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；應(yīng)用題分析：PAB中，由正弦定理可得 PB=，根據(jù)PQ=PC+CQ=PBsin+asin 通分化簡可得結(jié)果解答：解：PAB中，PAB=，BPA=（）（）=，=，即PB=PQ=PC+CQ=PBsin+asin=，故選 B點評：本題考查正弦定理的應(yīng)用，直角三角形中的邊角關(guān)系，求出 PB=，是解題的關(guān)鍵12如圖，

9、當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往B處救援，則sin的值等于（）ABCD考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：應(yīng)用題分析：先根據(jù)題意做出圖象，在ABC中，利用 余弦定理求得BC，然后根據(jù)正弦定理求得sinACB，則cosACB可得，進而利用sin=sin（30°+ACB）根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式解決解答：解：根據(jù)題目條件可作圖如圖：在ABC中，AB=20，AC=10，CAB=120°，由余弦定理有BC2=A

10、C2+AB22ACABcosCAB=202+1022×20×10cos120°=700，BC=10，再由正弦定理得=，sinACB=，cosACB=所以sin=sin（30°+ACB）=sin30°cosACB+cos30°sinACB=×+×=故選D點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用考查了考生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力13（2009溫州一模）北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°

11、，看臺上第一排和最后一排的距離米（如圖所示），旗桿底部與第一排在一個水平面上，已知國歌長度約為50秒，升旗手勻速升旗的速度為（）A（米/秒）B（米/秒）C（米/秒）D（米/秒）考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；應(yīng)用題分析：先根據(jù)題意可知DAB，ABD和ADB，AB，然后在ABD利用正弦定理求得BD，進而在RtBCD求得CD，最后利用路程除以時間求得旗手升旗的速度解答：解：由條件得ABD中，DAB=45°，ABD=105°，ADB=30°，AB=10，由正弦定理得BD=AB=20則在RtBCD中，CD=20×sin60°=30所

12、以速度V=米/秒故選A點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用考查了學(xué)生分析問題和基本的推理能力，運算能力14（2009韶關(guān)二模）北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），則旗桿的高度為（）A10米B30米C10米D米考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；數(shù)形結(jié)合分析：先畫出示意圖，根據(jù)題意可求得AEC和ACE，則EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在RtABC中利用AB=ACsinACB求得答案解答：解：如圖所

13、示，依題意可知AEC=45°，ACE=180°60°15°=105°EAC=180°45°105°=30°由正弦定理可知=，AC=sinCEA=20米在RtABC中，AB=ACsinACB=20×=30米答：旗桿的高度為30米故選B點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用此類問題的解決關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用所學(xué)知識解決15（2010武漢模擬）飛機從甲地以北偏西15°的方向飛行1400km到達(dá)乙地，再從乙地以南偏東75°的方向飛行1400km到達(dá)丙地，

14、那么丙地距甲地距離為（）A1400kmB700kmC700kmD1400km考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；數(shù)形結(jié)合分析：設(shè)A，B，C分別對應(yīng)甲、乙、丙三地，由B向x軸做垂線垂足為D，則BAD和DBC可知，進而求得ABC=60°判斷出三角形為正三角形，進而求得AC解答：解：依題意，設(shè)A，B，C分別對應(yīng)甲、乙、丙三地，由B向x軸做垂線垂足為D，則BAD=75°，DBC=75°ABC=75°15°=60°AB=BC=1400ABC為正三角形AC=1400千米故選A點評：本題主要考查了解三角形的應(yīng)用要注意特殊三角形的運用

15、16（2011大連二模）已知A船在燈塔C北偏東75°且A到C的距離為3km，B船在燈塔C西偏北15o且B到C的距離為km，則A，B兩船的距離為（）A5kmBkmC4kmDkm考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：先畫出簡圖求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值解答：解：依題意可得簡圖，可知A=150°，根據(jù)余弦定理可得，AB2=BC2+AC22BC×ACcosC=16，AB=4故選C點評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用屬基礎(chǔ)題主要在于能夠準(zhǔn)確的畫出圖形來17如圖，某船在海上航行中遇險發(fā)出呼救信號，我海上救生艇在A處獲悉后，立即測出該船在方位角45&

16、#176;方向，相距10海里的C處，還測得該船正沿方位角105°的方向以每小時9海里的速度行駛，救生艇立即以每小時21海里的速度前往營救，則救生艇與呼救船在B處相遇所需的最短時間為（）A小時B小時C小時D小時考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：設(shè)所需時間為t小時，在點B處相遇則可求得AB和BC，進而利用余弦定理建立等式求得t解答：解：設(shè)所需時間為t小時，在點B處相遇在ABC中，ÐACB=120°，AC=100，AB=21t，BC=9t，由余弦定理：（21t）2=102+（9t）22×10×9t×cos120

17、6;整理得：36t29t10=0 解得：t=或（舍負(fù)）故救生艇與呼救船在B處相遇所需的最短時間為故選D點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用解題的關(guān)鍵是利用了余弦定理，利用已知的邊和角建立方程求得時間18（2010江門一模）海事救護船A在基地的北偏東60°，與基地相距海里，漁船B被困海面，已知B距離基地100海里，而且在救護船A正西方，則漁船B與救護船A的距離是（）A100海里B200海里C100海里或200海里D海里考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：先根據(jù)正弦定理求得sinB的值，進而確定B的值，最后根據(jù)B的值，求得AB解答：解：設(shè)基地為與O處，根據(jù)正弦定理可

18、知=sinB=OA=B=60°或120°當(dāng)B=60°，BOA=90°，A=30°BA=2OB=200當(dāng)B=120°，A=B=30°OB=AB=100故漁船B與救護船A的距離是100或200海里故選C點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸思想和邏輯思維的能力19甲船在島B的正南方A處，AB=10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（）A分鐘B分鐘C21、5分鐘D2、15分鐘考點：解三角形的

19、實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：設(shè)經(jīng)過x小時距離最小，然后分別表示出甲乙距離B島的距離，再由余弦定理表示出兩船的距離，最后根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法可得到答案解答：解：假設(shè)經(jīng)過x小時兩船相距最近，甲乙分別行至C，D如圖示可知BC=104x，BD=6X，CBD=120°CD2=BC2+BD22BC×BD×cosCBD=（104x）2+36x2+2×（104x）×6x×=28x220x+100當(dāng)x=小時即分鐘時距離最小故選A點評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于畫出圖象屬基礎(chǔ)題20一船自西向東航行，上午10時到達(dá)燈塔P的南偏西7

20、5°、距塔68海里的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為（）A海里/時B34海里/時C海里/時D34海里/時考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：應(yīng)用題分析：根據(jù)題意可求得MPN和，PNM進而利用正弦定理求得MN的值，進而求得船航行的時間，最后利用里程除以時間即可求得問題的答案解答：解：由題意知MPN=75°+45°=120°，PNM=45°在PMN中，由正弦定理，得=，MN=68×=34又由M到N所用時間為1410=4（小時），船的航行速度v=（海里/時）；故選A點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)

21、用考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力21一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時（）A5海里B5海里C10海里D10海里考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：如圖，依題意有BAC=60°，BAD=75°，所以CAD=CDA=15°，從而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出這艘船的速度解答：解：如圖，依題意有BAC=60°，BAD=75°，所以CAD=C

22、DA=15°，從而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是這艘船的速度是=10（海里/小時）故選C點評：本題考查三角形知識的實際運用，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運用23一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點間的距離是（）A10海里B10海里C20海里D20海里考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；壓軸題分析：先根據(jù)題意畫出圖象確定BAC、ABC的值，進而可得到A

23、CB的值，最后根據(jù)正弦定理可得到BC的值解答：解：如圖，由已知可得，BAC=30°，ABC=105°，AB=20，從而ACB=45°在ABC中，由正弦定理，得故選A點評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用考查對基礎(chǔ)知識的掌握程度24（2010武昌區(qū)模擬）某人朝正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好，那么x的值為（）A2或B2CD3考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：作出圖象，三點之間正好組成了一個知兩邊與一角的三角形，由余弦定理建立關(guān)于x的方程即可求得x的值解答：解：如圖，AB=x，BC=3，AC=，AB

24、C=30°由余弦定理得3=x2+92×3×x×cos30°解得x=2或x=故選A點評：考查解三角形的知識，其特點從應(yīng)用題中抽象出三角形根據(jù)數(shù)據(jù)特點選擇合適的定理建立方程求解25如圖：D，C，B三點在地面同一直線上，DC=a，從C，D兩點測得A點仰角分別是，（），則A點離地面的高度AB等于（）ABCD考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：設(shè)AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，進而求得BD，同時在RtABD中，可用x和表示出BD，二者相等求得x，即AB解答：解：設(shè)AB=x，則在RtABC中，CB=BD=a+在RtABD中，B

25、D=a+=，求得x=故選A點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力26在200m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別為30°和60°，則塔高為（）AmBmCmDm考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：先畫出簡圖，然后從塔頂向山引一條垂線CM，根據(jù)根據(jù)直角三角形的正切關(guān)系得到AB=BD×tan60°，AM=CM×tan30°，進而可得到AM的長，再相減即可解答：解：依題意可得圖象，從塔頂向山引一條垂線CM則AB=BD×tan60°，AM=CM×ta

26、n30°，BD=CMAM=所以塔高 CD=200=m故選A點評：本題主要考查構(gòu)造三角形求解實際問題屬基礎(chǔ)題27如圖，C、B、D三點在地面同一直線上，A點在D點的正上方，AD=h，從A處測得河流的兩岸B、C的俯角分別是、，則河流的寬度BC等于（）ABCD考點：解三角形的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；解三角形分析：在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，求得BD，CD，再由BC=CDBD，運用同角公式和兩角差的正弦公式，化簡即可得到解答：解：在直角三角形ABD中，ABD=，AD=h，則BD=，在直角三角形ACD中，ACD=，AD=h，則CD=，故BC=h（）=h=故選C點評：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查運用直角三角形的正切函數(shù)的定義，考查兩角差的正弦公式和同角的商數(shù)關(guān)系，屬于中檔題29A，B是海面上位于東西方向相距5（3+）海里的兩個觀測點現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西6