(完整版)雙星模型三星模型四星模型專練

1、雙星模型、三星模型、四星模型專練1、天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為 雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特 征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為 T,兩顆恒星之間的距離 為，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為 G）2、神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 .天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了 LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見星 A和不可見的暗星B構(gòu) 成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的0 點(diǎn)做

2、勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖4-2所示.引力常量 為G,由觀測(cè)能夠得到可見星 A的速率v和運(yùn)行周期T.(1)可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于。點(diǎn)處質(zhì)量為m '的星 體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為mi、m2,試求m ' (用m 1、m2表示).(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率V、運(yùn)行周期T和質(zhì)量rm 之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量 ms的2倍，它將有可能 成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7 X105 m/s，運(yùn)行周期T=4.7 % X104 s,質(zhì)量mi=6m s,試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(

3、G=6.67 XW11 N m2/kg 2, m s=2.0 X1O30 kg )3、天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們?cè)谌f(wàn)有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運(yùn)動(dòng)，設(shè)雙星間距為L(zhǎng),質(zhì)量分別為Mi> M2,試計(jì)算(1)雙星的軌道半徑(2)雙星運(yùn)動(dòng)的周期。5、宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三4、如右圖，質(zhì)量分別為 m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)。一一已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在 / 一 ：人-v B h C jpO的兩側(cè)。引力常數(shù)為Go J /求兩星

4、球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為 Ti。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 Xi0 24kg和7.35 乂10 22kg。求T2與Ti兩者平方之比。(結(jié)果保留3位小數(shù))星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用.已觀測(cè)到穩(wěn)定的三 星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩 顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行.設(shè)每個(gè)星體的

5、質(zhì)量均為 m.(1)試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期.(2)假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距 離應(yīng)為多少？6、宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通?？珊雎云渌求w對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用.已觀測(cè)到穩(wěn)定應(yīng) 四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為 a的正方形的理個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 其運(yùn)動(dòng)周期為T；另一種形式是有三顆星位于邊長(zhǎng)為 a等邊三角形區(qū)三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行， 其運(yùn)動(dòng)周期為1方， 恒星質(zhì)量M與外側(cè)恒星質(zhì)量m的比值£ 而第四顆星剛好位于三角形

6、的兄心不動(dòng).試求兩種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的同一、，工期N比T .T2答案7、宇宙中存在一些離其它恒星很遠(yuǎn)的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對(duì)它們的引力作用，穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在多種形式，其 中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正 方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；另一種四顆恒星始終位于同一直線 上，均圍繞中點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng).已知萬(wàn)有引力常量為 G,求：(1)已知第一種形式中的每顆恒星質(zhì)量均為m, 正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng),求其 中一顆恒星受到的合力；(2)已知第二種形式中的兩外側(cè)恒星質(zhì)量均為 m、兩內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量均 為M,四顆恒星始終位于同一直線，且相鄰恒星之間距離相等.求內(nèi)側(cè)解

7、、設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為ri、2,角速度分別為r1r2r根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓定律,6嗎2m1W12r1rmi、m2,做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為1、3 2。根據(jù)題意有2(2)由牛頓第二定律，有Gmm2 m rri聯(lián)立以上各式解得而可見星A的軌道半徑ri /m2rmim2將小曲代入上式解得3m2(mi m2)23v T2-G根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知(3)將mi 6ms代入上式得3m2(6ms2m2)3-1- v T2-G聯(lián)立式解得代入數(shù)據(jù)得3m223.5ms(6ms m2)mim24 2 3-2rT2G2、解析：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為 小，由題意知,A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為厘。由

8、牛頓m23(6msm2設(shè)m2nms(n0),將其代入上式得m23(6ms m2(6 i)n-ms 3.5ms2運(yùn)動(dòng)定律，有 Fami ", Fb m2 2r2,FaFb設(shè)A、B間距離為"，則r ri上可見,由以上各式解得rmim2rim2由萬(wàn)有引力定律，有FaGm2”,代入尸得Far3mm2g m2)2 ri2令FaGm,通過(guò)比較得mri3mh(mim2)2ms61)2 n3.5ms3m22(6msm2)ms(-i)2 n的值隨附的增大而增大，試令n 2,得0.i25ms 3.4ms可見，若使以上等式成立，則忽必大于2,即暗星B的質(zhì)量ms必大于2ms,由此可得出結(jié)論：暗星

9、B有可能是黑洞。.3、解析：雙星繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即：M1M 22G 12 2 M1L1M22L2化簡(jiǎn)得L3GMT22.L1 L2 L由以上兩式可得:LiM2M1 M2L,L2M2 LM1 M22MM 24又由 G 12 2 M1L1 .L2T2得：T2L ,G(ML1 M2)5、解析5.98 1024 7.35 10225.98 10241.01(1)對(duì)于第一種運(yùn)動(dòng)情況，以某個(gè)運(yùn)動(dòng)星體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律有：4、A和B繞。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力,Gm2Gm2F1= rF22R2(2R)2則A和B的向心力相等。且A和B和。始終共線，說(shuō)明

10、A和B有相F1+F 2=mv 2/R同的角速度和周期。因此有m 2r M 2R, r R L,連立解得 R m L , m M對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得 GMmM .r Lm M/2 、2M .m(一)LT M m運(yùn)動(dòng)星體的線速度：v =個(gè)周期為T,則有2tR T= v化簡(jiǎn)得 T 2,G(M m)L3D3 RT=4 兀、|5Gm公，一 一 ?L3將地月看成雙星，由得T1 2 0mL m) 設(shè)第二種形式星體之間的距離為r,則三個(gè)星體做圓周至動(dòng)曳半年/%將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律陽(yáng) GMm2 a得m(一) LL2TR= -JLZ2cos30由于星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力靠其它兩個(gè)星體的萬(wàn)有引力的7、解：（1）對(duì)其中任意一顆恒星，它受到的合力為2 4 F合=mR所以 r=（12）3R5一 （ 后 mm（2）設(shè)相鄰兩顆恒行間距為-2器（2、工1）6、對(duì)三繞一模式，三顆繞行星軌道半徑均為 a,所受合力等于向心力,恒星運(yùn)動(dòng)的角速度 相同, 律，對(duì)內(nèi)側(cè)星M有四顆星總位于同一直線，即四顆 由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定因此有m22 G cos30 +G(一 3a)24 2=m 葭aT12_ MM _ Mm . MmG 2 G 2 G 2-a (2a) a對(duì)外側(cè)星m有-Mm - Mm- mmG G 2