(完整版)平方差公式與完全平方公式試題(含答案)1[1]2

1、乘法公式的復(fù)習(xí)連用公式變化，x y x y x2 y2一、復(fù)習(xí):-2ab+b2(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2(a+b)(a 2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a 3 b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化，x yy xx2 y2 符號(hào)變化，x y x y x 2 y2 x 2 y2 指數(shù)變化，x2 y2x2 y2x4 y4 系數(shù)變化，2a b2a b4a2 b2換式變化，xy z m xy z mxy 2 z m2 x2y2 z m z m x2y2 z2 zm zm m2 x2y2 z2 2

2、zm m2 增項(xiàng)變化，x y z x y zx y 2 z22 xyxy zx2 xy xy y2 z2x2 2xy y2 z2x22x44 逆用公式變化，x y z2 xyzxyz xyz xyz xyz2x 2y 2z4xy 4xz例1.已知ab2,ab1,求a2b2的值。解：; (a b)2 a2 2ab b2. a2 b2=(a b)2 2aba b 2 , ab 1. a2 b2 = 22 2 1 2例2.已知ab8,ab2 ,求(ab)2的值。解：:(a b)2 a2 2ab b2(a b)2 a2 2ab b2(a b)2 (a b)2 4ab . (a b)2 4ab = (a

3、 b)222. a b 8, ab 2 (a b) 84 2 56例 3:計(jì)算 19992-2000 X 1998解析此題中2000=1999+1， 1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000 X 1998 =1999 2- (1999+1) X ( 1999-1 )=19992- ( 19992-1 2) =19992-19992+1 =1例 4：已知 a+b=2, ab=1,求 a2+b2和(a-b) 2的值解析此題可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b) 2-2ab=4-2=2( a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5:已知 x-y

4、=2 , y-z=2 , x+z=14。求 x2-z2 的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、 y、 z 的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即 可。解： 因?yàn)?x-y=2， y-z=2， 將兩式相加得x-z=4， 所以x2-z 2=( x+z)(x-z)=14 X4=56。例6:判斷( 2+1) (22+1) (24+1)(22048+1 ) +1的個(gè)位數(shù)字是幾？解析 此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到1=( 2-1 )和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1 ) +1

5、=(2-1 ) (22+1) (24+1)(22048+1) +14096=161024因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6 的時(shí)候， 這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字都是6，所以上式的個(gè)位數(shù)字必為6。例7.運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算(1) 1032(2) 1982解：(1 ) 1032 100 3 21002 2 100 3 32 10000 600 910609一、 22 ) 198200 2 22002 2 200 2 2240000 800 439204例8.計(jì)算(1) a 4b 3c a 4b 3c解 ：( 3x y 2 3x y 21)原a 3c 4b a 3c 4ba 3c 2 4b 2 a2 6ac

6、 9c2 16b2(2)原式 3x y 2 3x y 29x2y2 4y 4 9x2 y2 4y 4例9.解下列各式(1)已知 a2 b2 13, ab 6,求 a b2, a b 2的值。(2)已知 a b 2 7, a b 2 4,求 a2 b2, ab 的值。22(3)已知 aa 1 a2 b 2,求 ab的值。2(4)已知x 1 3,求x4 4的值。 xx分析：在公式a b 2 a2 b2 2ab中，如果把a(bǔ) b, a2 b2和ab分別 看作是一個(gè)整體，則公式中有三個(gè)未知數(shù)，知道了兩個(gè)就可以求出第 三個(gè)。解：(1) va2 b2 13, ab 6a b2 a2 b2 2ab 13 2

7、6 25a b2 a2 b2 2ab 13 2 6 1a b2 7, a b 2 4a2 2ab b2 7a2 2ab b2 4得 2 a2 b2 11,即 a2 b2 -2得4ab 3,即ab另4(3)由 a a 1a2 b 2 得 a b 222a b ,12,2,1212ab a b 2ab a b222222由x x 3,得x 19即X221X 11XX2121 即 X4 32 121xX41X 119X例10.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1, 一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于1 2 3 4 1 25 52223 4 5 1 121 11234 5 6 1 361 192得猜想：任意四個(gè)

8、連續(xù)自然數(shù)的乘積加上 1,都是平方數(shù)。解：設(shè)n, n 1, n 2, n 3是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)則 n n 1 n 2 n 3 1n n 3 n 1 n 2 1n2 3n 2 2 n2 3n 1n2 3n n2 3n 2 1n2 3n 1 2.n是整數(shù)，n2, 3n都是整數(shù)n2 3n 1一定是整數(shù)n2 3n 1 是一個(gè)平方數(shù)四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與1 的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。例 11 計(jì)算（ 1）x2 x 122） 3mn p解 ：（1）x2 x 1 2 x2 2 x 2 12 2x2 x 2 x2 1 2 x 1 x4 x2 1 2x3 2x2 2xx4 2x3 3x2 2x 1（2）3m np 23

9、m2n2p 22 3mn2 3m p 2 n p9m2n2p26mn 6mp 2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣abcab ca b 2 2 a b c c2a2 2ab b2 2ac 2bc c2a2 b2 c2 2ab 2bc 2aca b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法（一 ）、套用 : 這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。例 1. 計(jì) 算 ：5x2 3y2 5x2 3y2 解 ： 原 式5x2 23y

10、2 225x4 9y4（二 ）、連用 : 連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例 2. 計(jì)算： 1 a a 1 a2 1 a4 1解：原式1 a2 1 a2 1 a41 a4 1 a41 a8例 3. 計(jì)算： 3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1解：原式2y 5z 3x 1 2y 5z 3x 1222y 5z 3x 14y2 9x2 25z2 20yz 6x 1三、逆用: 學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。例 4. 計(jì)算： 5a 7b 8c 2 5a 7b 8c 2解：原式5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b

11、 8c 5a 7b 8c10a 14b 16c140ab 160ac: 題目變形后運(yùn)用公式解題。例 5. 計(jì)算： x y 2z x y 6z解：原式x y 2z 4z x y 2z 4z22x y 2z 4zx2 y2 12z2 2xy 4xz 4yz五、活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：2221. ab2abab2. ab22aba2b23. ab2ab 22 a2 b2224. abab4ab靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6.已知a b 4, ab 5,求a2 b2

12、的值。解： a2 b2a b 2 2ab 42 2 5 26例 7. 計(jì)算： a b c d 2 b c d a 2解：原式b c a d 2 b c a d 2222b c a d22222a2 2b2 2c2 2d2 4bc 4ad例 8. 已知實(shí)數(shù)x、 y、 z 滿足 x y 5， z2 xy y 9， 那么 x 2y 3z解：由兩個(gè)完全平方公式得:ab 4從而z24 52x y2 y 925 122y6y 6y22 . z y 30z 0, y 3x 2 x 2y 3z 2三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題(一)、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”.例 1 計(jì)算(-2 x2-5)(2

13、x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中、5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而、5 是公式(a+b)( a-b尸a2-b2中的a,而“2x2”則是公式中的b.解：原式=(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4x4.例 2 計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a, “4b”就是公式中的b;若將題目變形為(4b-a2)2時(shí)，則“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)(二)、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計(jì)算(2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析： 粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩

14、個(gè)因式中的“ 2x” 、“5”兩項(xiàng)同號(hào)，“寸、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式解：原式= (2 x+5)+( y- z) (2 x+5)-( y- z) =(2x+5)2-( y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2例 4 計(jì)算( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3+1) 2分析： 若先用完全平方公式展開，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便解：原式=( a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1) 2=(a3-1)( a6+a3+1) 2=(a9-1) 2=a18-2 a9+1例 5 計(jì)算 (2+

15、1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) 分析： 此題乍看無公式可用， “硬乘” 太繁， 但若添上一項(xiàng)( 2-1 ) ，則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡(jiǎn)解：原式=(2-1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)=(22-1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)=(24-1)(2 4+1)(2 8+1)=( 28-1 )(28+1)=216-1(三)、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推廣得到：2222( a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積2 倍例 6 計(jì)算(2

16、 x+y-3) 2解：原式=(2x)2+y2+(-3) 2+2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)22=4x +y +9+4xy-12x-6y(四)、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例 7 (1)已知 x+y=10, x3+y3=100,求 x2+y2 的值；(2) 已知：x+2y=7, xy=6,求(x-2y)2 的值.分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=( x+y) 2-2 xy, x3+y3=( x+y) 3-3 xy( x+y) , (x+y) 2-( x- y) 2=4xy,問 題則十分簡(jiǎn)單解：(1) ,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),

17、將已知條件代入得100=103-3 xy 10,.xy=30 故 x2+y2=(x+y)2-2 xy=102-2 x 30=40.(2)( x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8 X6=1.例 8 計(jì)算(a+b+c) 2+(a+b- c)2+(a- b+c)+( b- a+c) 2分析： 直接展開，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而問題容易解決.解：原式=( a+b)+ c 2+( a+b)- c 2+ c+( a- b) 2+c-( a- b) 2=2( a+b) 2+c2+2 c2+(a-b) 2222=2(a+b)

18、+(a- b) +4 c=4a2+4b2+4c2(五)、注意乘法公式的逆運(yùn)用例 9 計(jì)算 ( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2分析：若按完全平方公式展開，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多解：原式=( a-2 b+3c)+( a+2b-3c)( a-2 b+3c)-( a+2b-3c)=2a(-4 b+6c)=-8 ab+12ac例 10 計(jì)算(2a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5b)2分析： 此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便解：原式=(2a+3b) 2+2(2a+3b)(4

19、a-5 b)+(4 a-5b)2=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2=(6 a-2 b) 2=36a2-24 ab+4b2四、怎樣熟練運(yùn)用公式：(一) 、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)； 等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式(二) 、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、 b 可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公2式.如計(jì)算(x+2y-3z),右視x

20、+2y為公式中的a, 3z為b,則就 可用(ab) 2=a2 2ab+b2來解了。(三)、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì) 算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn).常見的幾種變化是：1、位置變化 如(3x+5y) (5y 3x)交換3x和5y的位置后即 可用平方差公式計(jì)算了.2、符號(hào)變化如(2mn7n) (2mn 7n)變?yōu)?2m+7n) (2m 7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化 如 98X 102, 992, 912等分別變?yōu)?100 2) (100+2), (1001) 2, (90+1)

21、2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數(shù)變化 如(4n+- ) (2mv n)變?yōu)?2 (2n+- ) (2nnr n) 2444后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了.5、項(xiàng)數(shù)變化 如(x+3y+2z) (x3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z 2z) (x-3y+4z+2z)后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了.(四)、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭?使計(jì)算更簡(jiǎn)便.如計(jì)算(a2+1) 2(a2-1) 2,若分別展開后再相乘， 則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便.即原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a41) 2=a8 2a4+1.對(duì)數(shù)

22、學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用.如計(jì)算（1 口）（1 ，）（1 二）（1234乙）（1乙），若分別算出各因式的值后再行相乘， 不僅計(jì)算繁難，910而且容易出錯(cuò).若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題.即原式=（1 。）（1+-） （1-） （1+二）x x 11-） （1+）22331010=1 x 2 X 2 X 4 X-X= 1 x 11=11.2233101021020有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= （a+b） 22ab, a2+b2= （ab） 2+2ab

23、 等.用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效.如已知 m+n=7, mr=18,求 n2+n2, m2 mn+ n2的值.面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，即 m+n2= （m+n） 2-2mnF72-2x （ 18） =49+36=85,m2 mr+ n2= （m+n） 23mnF72 3x （ 18） =103.下列各題，難不倒你吧？ ！1、若 a+1=5,求(1) a2+L, (2) (a3)2的值. aaa2、求( 2+1) (22+1) (24+1) (28+1) ( 216+1) (232+1) (264+1) +1 的末位數(shù)字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2.

24、 6 )五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(a+b)(a b尸a2b2, (a 士 b)=a2 2ab+ b： (a b)(a 2 ab+ b2)=a 3 b3.第一層次一一正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用.例1計(jì)算1二 2 (2)(24(2)(-2x-y)(2x y) .解原式=-償卜as -U J8(2)原式=(-y) 2x( -y) +2x=y24x2.第二層次一一逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用.例2計(jì)算(1)1998 2- 1998 . 3994+ 19972;(1用(1周卜+卜匕用卜-哥解(1)原式= 19982 2 1998 1997+ 19972 =(

25、1998- 1997)2=1Q)原式=3卜撲那母1-撲+養(yǎng)郊*13 2 4E 10 9 11 11=+ 一 一 * -* * 一. * * _ = _2 2 3 39 9 10 10 20.第三層次一一活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例 3化簡(jiǎn)： (2 1)(2 2 1)(2 4 1)(2 8 1) 1分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“2 1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式=(2 1)(2 1)(2 2 1)(2 4 1)(2 8 1) 1=(22 1)(2 2 1)(2 4 1)(

26、2 8 1) 1=216例 4 計(jì)算： (2x 3y 1)( 2x 3y 5)分析仔細(xì)觀察，易見兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符.于是可創(chuàng)造條件一“拆”數(shù)：1=2 3, 5=2+ 3,使用公 式巧解解原式 =(2x3y3 2)( 2x3y 32)=(2 3y) (2x 3)(2 3y)(2x 3)=(2 3y) 2(2x 3) 2=9y24x2 12x12y5第四層次一一變用：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式 的一些恒等變形式，如a2 b2=(a b)2 2ab， a3b3=(a b)33ab(a+ b)等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快.例 5 已知 a + b=9, ab=14,求

27、 2a2+2b2和 a3+b3 的值.解： a + b=9, ab=14,2a2+2b2=2(a + b)2 2ab=2(9 22 14)=106,a3+b3=(a+b)33ab(a + b)=933 . 14 . 9=351第五層次綜合后用：將(a + b)2=a2+2ab+ b2和(a b)2=a2 2ab+ b 綜合,可得(a +b)2+(a b)2=2(a2+b2); (a + b)2(a b)2=4ab;新穎、簡(jiǎn)捷.合理地利用這些公式處理某些問題顯得例 6 計(jì)算：(2x + y z + 5)(2x y + z + 5).=-(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5) 4解：原式2-1

28、 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)24=(2x +5)2(y z)2=4x2+20x+25 y2 + 2yzz2六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種(三個(gè))乘法公式：平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b2、 完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+t2 ; (a-b) 2=a2-2ab+b2,可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。 假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法 公式。如圖1,兩個(gè)矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為(a+b)(a-b),通過左右兩圖的對(duì)照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b尸a

29、 2-b2;圖2中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b) 2,通過面積的計(jì)算方 法，即可得到兩個(gè)完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+t2與 (a-b) 2=a2-2ab+b2o2、乘法公式的使用技巧：圖二提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免 負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。例1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：,、一一，一、一2(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1)解：(1)(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x) 2=1-9x2.(2) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1)2= 4m2

30、+4m+1.改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排 列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(品b )(- 1b -a );(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)3 443為111 a 1111解：(1) (3a-4b )(- 4b 3 尸(-4b+ 3a )(- 4b -3a )二(b -a43)( 4b +3a)=12121 21 2(4b) ( 3a) = wb- 9a(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1(x2+1/4)=(x2-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16.逆用公式將哥的公

31、式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b 2 = (a+b)(a-b),逆用積的乘方公式，得anbn=(ab) n,等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、計(jì)算：(1)(x/2+5) 2-(x/2-5) 2;(2) (a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2)解：(1 )(x/2+5) 2-(x/2-5) 2=(x/2+5)+(x/2-5)(x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)(x/2+5-x/2+5)=x - 10=10x.(2) (a-1/2) (a +1/4) (a+1/2)=(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2)2 =(a-1/2)

32、 (a+1/2)(a 2+1/4) 2=(a 2-1/4 ) (a 2+1/4) 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8-a4/8+1/256.合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算： ( 1) (x+y+1)(1-x-y);( 2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解 ：(1)(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y) 2=1-(x 2+2xy+y2)= 1-x 2-2xy-y 2.2)

33、 (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z(2x+5) 2-(y-z) 24x2+20x+25-y2+2yz-z2)=(4x2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)4x2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。 尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡(jiǎn)便易行。一.先分組，再用公式例 1.計(jì)算：(a b c

34、d)(a b c d)簡(jiǎn)析：本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開，則顯得非常繁雜。 通過觀察，將整式 (a b c d)運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為 (b d) (a c);將另一個(gè)整式(a b c d)變形為(b d) (a c),則 從其中找出了特點(diǎn)，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式(b d) (a c) b d a c22(b d) (a c)b2 2bd d2 a2 2ac c2二.先提公因式，再用公式例2.計(jì)算：8x ? 4x) 24簡(jiǎn)析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的 X的系數(shù)成 倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多 項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來，

35、變?yōu)? 4X2，則可利用乘法公式。4解：原式2 4x 4x 24422 4x2 工4232x2 8三.先分項(xiàng)，再用公式例 3.計(jì)算：2x 3y 2 2x 3y 6簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法 公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將 2分解成4與2的和, 將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式=(2x 4) (2 3y) 2x 42 3y22(2x 4)2 3y4x2 16x 12 12y 9y2四.先整體展開，再用公式例 4.計(jì)算：(a 2b)(a 2b 1)簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無聯(lián)系，但

36、把第二個(gè)整式分成兩部分，即(a 2b) 1 ,再將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式(a 2b) (a 2b) 1(a 2b)(a 2b) (a 2b)22a2 4b2 a 2b五.先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式例 5.計(jì)算：3 (38 1)(34 1)(32 1)(3 1)簡(jiǎn)析：由觀察整式(3 1),不難發(fā)現(xiàn)，若先補(bǔ)上一項(xiàng)(3 1),則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易 行。_4，一 一解：原式 3 (31)(31)(31)(3 1)(3 1)2333352(38 1)(34 1)(32 1)(32 1)2(381)(341)(341)2(381)(381)2(3161)2316六.先用公式，再展開例6.計(jì)算：111_102T簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式1 2V可表示為121，由簡(jiǎn)單的變化,可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù) 的積，化簡(jiǎn)即可。解：原式111111 111)1 1111223344101032 3344101020七.乘法公式交替用例 7.計(jì)算：(x z)(x2 2xz z2)(x z)(x2 2xz z2)簡(jiǎn)析：利用乘法交換律，把第一個(gè)整式和第四個(gè)整式結(jié)合在一起，把第二個(gè)整式與第三個(gè)整式結(jié)