(完整版)二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型,推薦文檔

1、二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型資料編號(hào)：20190802一、二次根式的定義形如癡(a>0)的式子叫做二次根式.其中 個(gè)”叫做二次根號(hào)，a叫做被開方數(shù).(1)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).據(jù)此可以確定字母的取值范圍；(2)判斷一個(gè)式子是否為二次根式，應(yīng)根據(jù)以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷：是否含有二次根號(hào)“J 一” ；被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合，則是二次根式；若只符合其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，則不是二次根式.(3)形如mji ( a >0)的式子也是二次根式，其中m叫做二次根式的系數(shù)，它表示的是：m府 m s/a ( a >0)；(4)根據(jù)二次根式有意義的條件,若二次根式4A B與4

2、B A都有意義，則有A B.二、二次根式的性質(zhì)二次根式具有以下性質(zhì)：(1)雙重非負(fù)性：ja>0,a>0；(主要用于字母的求值 )(2)回歸性:&2 a (a >0);(主要用于二次根式的計(jì)算 )一 a(a 0)(3)轉(zhuǎn)化性：、-a2a '.(主要用于二次根式的化簡 )a(a 0)重要結(jié)論：(1)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.若 A B2 運(yùn) 0,則 A 0,B 0,C 0.應(yīng)用與書寫規(guī)范：: A B2 兀0,A >0, B2 >0,后 a0A 0, B 0,C 0.該性質(zhì)常與配方法Z合求字母的值.第5頁B；主要用于二次根式的化簡BA

3、2 B A(3) aVB A2 B A 0,其中B>0;該結(jié)論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡：可以考慮把二次根號(hào)外面的系數(shù)根據(jù)符 號(hào)以平方的形式移到根號(hào)內(nèi)，以達(dá)到化簡的目的.一 2(4) aVba2 B,其中 B>0.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算，則x的取值范圍是，即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，注意分母不能為0.一 ,1例1.式子-= 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.x 1分析：本題考查二次根式有意義的條件解:由二次根式有意義的條件可知：x例2.若x, y為實(shí)數(shù)，且y Jx171x1,化簡：MJ2 y 1分析：本題考查二次根式有意義的條件，且有重要結(jié)論：若二次根式 Ja B與J b A都有意義，則有

4、A B.x >0習(xí)題1.如果<3a 5有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是習(xí)題2.dx 3 J3 x 2,貝 Uxy習(xí)題3.要使代數(shù)式V1 2x有意義，則x的最大值是習(xí)題4.1 2x 右函數(shù)y ，則自變量x的取值范圍是x習(xí)題5.已知 b V3a 12 <8 2a 1,則 ab例3.若癡b2 4b 4 0,則ab的值等于【】(A)2(B) 0(C) 1(D) 2分析：本題考查二次根式的非負(fù)性以及結(jié)論：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.解：1 b2 4b 4 0 2_ a 1 b 2024a 1 >0, b 2 >0a 1 0,b 2 0a 1,b 2ab 1 2

5、 2 .選擇【D】.例4.無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式Jx2 6x m都有意義，則m的取值范圍是 .分析：無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式Vx26xm都有意義，即被開方數(shù)x2 6x m >0恒成立，所以有如下兩種解法：解法一：由題意可知：x2 6x m >0一一 22x 6x m x 3 m 9 > 02x 3 > 9 m -2- x 3 >01. 9 mW 0,m >9.解法二：設(shè)y x2 6x m,無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式Jx2 6x m都有意義y x2 6x m > 0 恒成立即拋物線y x2 6x m與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn) 26 4m 36 4m <

6、0解之得：m > 9.例5.已知a,b,c是4ABC的三邊長，并且滿足7a 6 8 b| c2 100 20c,試判斷 abc的形狀.分析：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)常和配方法結(jié)合用于求字母的值m：7a-6 8 b c2 100 20c .、.a6b8c220c1000 .a6b8c10 202, va 6 >0, b 8 >0, c 10 >0a 6 0,b 8 0, c 10 0a 6,b 8,c 10a2 b2 62 82 100,c2 102 100. a2 b2 c2.ABC為直角三角形.習(xí)題6.已知實(shí)數(shù)x, y滿足x 4 4 y 8 0 ,則以x,y的值為兩邊長的等腰三角

7、形的周長為【(A) 20 或 16(B) 20(C) 16(D)以上答案均不對(duì)習(xí)題7.當(dāng)x 時(shí),，9x 1 1取得最小值，這個(gè)最小值為 .x2 44 x2習(xí)題8.已知y ，則xy的值為x 2習(xí)題9.已知非零實(shí)數(shù)a,b滿足8a 16 |b 3 ) a 5 b2 14 a,求ab1的值.提不：由a 5 b2 12>0,且 b 1 0 可彳# : a 5>0, a >5.例6.計(jì)算:_ 2(1)而;(2) V2x(3)3分析：本題考查二次根式的性質(zhì)a (a >0).該性質(zhì)主要用于二次根式的計(jì)算_ 2解：(1) <62x 3;32、32注思：ABA2B,其中B>0.

8、該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算例7.化簡：(1) 4252 ;(2)2107(3) Vx2 6x 9x3.分析：本題考查二次根式的性質(zhì)a(a 0).該性質(zhì)主要用于二次根式的化簡a(a 0)解：(1) J2522525；5(2)210710710一；7(3)6x 9，原式 3注意：結(jié)論：J A B 2 A B簡.例8.當(dāng)有意義時(shí)化簡：|x解：,二次根式 Jx 3有意義x 3 >0B .該結(jié)論主要用于二次根式和絕對(duì)值的化Bx>3第7頁x 5, x 2, 1 xx 5 x 22習(xí)題13.計(jì)算：五 xx 5 x 2 x 13x 22例 9.化簡：Ux 3 J x 2 .分析：J x 2 2

9、x 2,繼續(xù)化簡需要x的取值范圍，而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件：7x3的被開方數(shù)x 3為非負(fù)數(shù).解:由二次根式有意義的條件可知：0x > 3x 3 2x 3 xx 3 x2x 5例10.已知0 a 1,化簡Ja - 2 J a - 2 aa1忑1.a1- a1a1a2 - a例11.已知直線ym 3 x n 2 （ m, n 是常數(shù)）第19頁如圖（1）,化簡 m n n2 4n 4 m 1 .解:由函數(shù)y m 3x n 2的圖象可知：m 3 0,n 2 0m 3, n 2 mn|/ n24n4m12mn, n2m1m nn 2| |m 1m n2 n m 1m n 2 n

10、m 11例12.已知a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖(2)所示化簡:怙 7 a c 1 -習(xí)題14.若dx 3 2 x 3成立，則x的取值范圍是 習(xí)題15.下列等式正確的是 c a 2 后.圖（2）解:由數(shù)軸可知：c a 0 b- a c 0 a .a c 2, c a 2 b2a a c |c a| |ba a c a c ba b22習(xí)題10.要使J x 2JX2 ,x的取值范圍是 .習(xí)題11.若da2 a 0 ,則a的取值范圍是 .習(xí)題12.計(jì)算：J(A) 73 2 3(B) d 323. 4(C)相 3(D)內(nèi)23習(xí)題16.下列各式成立的是(A)J1-(B) 73- 3222(C).1-(

11、D) J32 427,22習(xí)題17.計(jì)算:2、72習(xí)題18.化簡:x2x2習(xí)題19.若 4a2 3a 1 b2 2b 1 0,則 a習(xí)題20.已知1 a 0,化簡21a 4a習(xí)題21.實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖(3)所示，化簡代數(shù)式、,72a 1 b cVa2 2ab b2 的結(jié)果為(B)1(D) b c 1(A) 2b c 1(C) 2a c 1圖(3)習(xí)題22.化簡：t4x2 4x 1例13.把a(bǔ)j 1中根號(hào)外的因式移至ij根號(hào)內(nèi)，結(jié)果是【】a(A) bT(B) Va(C) Oa(D)a分析：本題實(shí)為二次根式的化簡：某些二次根式在化簡時(shí)，把根號(hào)外的系數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，可以達(dá)到化簡的目的

12、，但要注意根號(hào)外面系數(shù)的符號(hào).有如下的結(jié)論：.A2 B A 0A、；B，其中 B>0.A2 B A 01解:由二次根式有意義的條件可知：1 0a-1 a 0a J -Ja2-.選擇【D 】.:aa 一1習(xí)題23.化簡2 a 得.三、二次根式的乘法一般地，有：n bb Tab ( a >0,b >0)(1)以上便是二次根式的乘法公式，注意公式成立的條件：a > 0, b > 0.即參與乘法運(yùn)算的每個(gè)二次根式的被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù)；(2)二次根式的乘法公式用于二次根式的計(jì)算；(3)兩個(gè)帶系數(shù)的二次根式的乘法為：ma nv'b mnv'ab ( a >

13、;0,b >0);(4)二次根式的乘法公式可逆用，即有：Jab <a 而(a >0,b >0)公式的逆用主要用于二次根式的化簡.注意公式逆用的條件不變.例14.若vx Jx 6 v'x x 6成立，則【(A) x>6(B) 0< x<6(C) x>0(D) x為任意實(shí)數(shù)分析：本題考查二次根式乘法公式成立的條件7a 屁 Vab ( a >0,b >0)解:由題意可得解之得:x >6.選擇【A】.例15.若&1 <x 1 vx 1成立，則x的取值范圍是分析：本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件:jab Oa

14、bb (a>0,b>0)x 1 0解：由題思可得：x 1 0解之得：x >1.例 16.計(jì)算：72a J1a ( a > 0).81 8a1 -， 一a (30)2習(xí)題24.計(jì)算：，工227 3 3一人3習(xí)題25.已知m 3(A) 5 m 6(C) 5m 4習(xí)題26.化簡v;12的結(jié)果是四、二次根式的除法一般地，有：解：2a2a 1a2、21，則有(B) 4(D) 6m 5(1)以上便是二次根式的除法公式，要特別注意公式成立的條件 ；(2)二次根式的除法公式用于二次根式的計(jì)算；(3)二次根式的除法公式可寫為：V3 Jb Ja b ( a >0,b 0)(4)二次根

15、式的除法公式可逆用，即有：a a心忑(b。)公式的逆用主要用于二次根式的化簡，注意公式逆用的條件不變.五、最簡二次根式符合以下條件的二次根式為最簡二次根式：(1)被開方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式；（2）被開方數(shù)中不含有分母或小數(shù)注意：二次根式的計(jì)算結(jié)果要化為最簡二次根式 六、分母有理化把分母中的根號(hào)去掉的過程，叫做分母有理化.,.1 如對(duì)進(jìn)仃分母有理化.2、.22 .21， ，一，；對(duì)進(jìn)行分母有理化，過程.2 3為:一1 一2 33.232由舉例可以看出，分母有理化是借助于分?jǐn)?shù)或分式的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)的例17.計(jì)算:(1)(2) 8. 3 3. 22 ;(3) 428xy,7y2 .解：（1）5

16、454,93.28(3) J28xy2,.7y2,28xy27y2V4x2Gx.例18.化簡:(1)(2) - 0.4;(3) 、a6a9a (a 3).解：（1）/5 ,6、530,6,6, 、2 40.4 2-2.10a3 6a2 9aa a2 6a 9,以簡化計(jì)算.注意：隨著學(xué)習(xí)的深入，在熟練時(shí)某些計(jì)算或化簡的環(huán)節(jié)可以省略成立的條件例19.式子分析：本題求解的是x的取值范圍，考查了二次根式除法公式逆用成立的條件 ：;aalb b . b(a >0,b 0).x解：由題息可得:x解之得：x 2 .例20.計(jì)算:志長;(2)20 1、.5.32 ,8(3) ,2解：(1)羽_2_, 7

17、5, 3 75225、2T;(2).201.201 2、.5.5,5(3)解法1：.82,16解法2:64.2.162二次根式的乘除混合運(yùn)算 例21.計(jì)算:(2) -，12.27 ,18.解：（1）原式'303 8232303216 23434原式樣18卷幾2、2 .習(xí)題27.下列計(jì)算正確的是(B),32(C) J x3xV_x:12(D) Vx習(xí)題28.計(jì)算：27 -3.2習(xí)題29.計(jì)算：46x3習(xí)題30.直線y . 3x1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是習(xí)題31.如果ab 0, ab 0，那么下面各式：:ab;b 1' ab 1; Tab.a b.其中正確的是（填序號(hào)）習(xí)題32.若ab

18、0,則化簡Jab2的結(jié)果是習(xí)題33.計(jì)算:(1)2 13 282522例22.先化簡，再求值：413 2 .2 2 .3解：-x 14x 41x 1x 2 21-2"x 2x 2第21頁當(dāng)x J2 2時(shí)原式 2 2 22 4 2 2 1.222,2習(xí)題34.先化簡，再求值：2 a 1一 土淇中a <2 1.a 1 a 2a 1 a 122x y-2 n2x 2xy y淇中x2習(xí)題35.先化簡，再求值：x一yx 1x習(xí)題36.卜列根式中是最簡二次根式的是(3)檢查結(jié)果.第25頁(D)(B) V3例23.觀察下列各式：12-31.3.4122、2 1 .22 321333 . 4.3 <4 341；、.3(1)請(qǐng)利用上面的規(guī)律直接寫出、2;3;、99 % 100的結(jié)果;(2)請(qǐng)用含n (n為正整數(shù))的代數(shù)式表示上述規(guī)律 ，并證明;1111(3)計(jì)算： 一1一一1一 yj一.1 , 一 1 J201712,2. 3,34201620