空間的雙重意義

1、空間的雙重意義數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的科學.當然，這里的“教”和“空間”都要在更廣的意義下去理解.咱們將詮釋現(xiàn)代數(shù)學中廣為利用的“空間”一詞的雙重意義，介紹幾種大體的抽象空間.1關于空間的簡要爆述空間在數(shù)學中有著雙重意義關于空間的觀念和空間的幾何，自古希措時期以來，經(jīng)歷了顯普的轉變.對于古希臘人來講，只有一個歐氏空間，與之相聯(lián)系，幾何中的大體關系是全等或疊合的關系，隨著17世紀解析幾何的進展，空間才被想象成點的集合.19世紀非歐幾何的創(chuàng)建，教學家們才承認有多于一種幾何，可是空間仍被看做圖形能在其中彼此比較的軌跡，幾何被看做是對點的構形的某種性質的研究.1872年，克萊因在愛爾蘭根綱領中指

2、出一種幾何可概念為一個變換群下的不變星理論，為幾何學提供了一種超藪筒練的分類，推行了幾何學的所有初期概念,是教學史上的一個里程碑.到19世紀末，形成了如此的思想、：一個數(shù)學分支是由一組公理演譯出的一套定理，而一種幾何是教學的一個特殊分支，1906年，弗雷謝（M.Frcchct,18781973）開創(chuàng)了抽象空間的研究.是教學史上的又一個里程碑、他把一些對象（通常稱為點），連同這些點被包含于其中的一組關系的集臺叫做空間，簡言之,空間是用公理肯定丁其元素和元素間關系的集會.例如線性空間是具有加法和數(shù)乘運算，而且知足相應算律的一個集合，這里，加法和數(shù)乘運算,和算律都由公理給出.元素（或點）受限制的這套

3、公因肯定丁空間的結構，不同的結構取得不同的空間，每一種空間都有自己的性質，自己的“幾何”.由上可知，在數(shù)學中廣為利用的“空間”一詞有著雙重意義：一方面是現(xiàn)實空間，即物質存在形式；另一方面是抽象空間，指用公理肯定了元素關系的集臺，它反映了必然的現(xiàn)實形式，但這些形式不必然與通常意義下的空間形式一致，需要在更廣的意義下去理解.隨著科學技術和數(shù)學本身理論的不斷進展，人類對現(xiàn)實空間熟悉的深切，增進了抽象空間理論的進展，反之，抽象空間理論的進展，令人們更深刻地熟悉現(xiàn)實空間的本質，給出已知現(xiàn)象的解釋和新現(xiàn)象的預言，指出人類實踐活動的方向，數(shù)學正是在如此的進程中不斷地進展、創(chuàng)新而永葆其青春！2距離和距離空間距

4、離是數(shù)學、物理中的重要概念之一，平面幾何、立體幾何、解析幾何及物理學等課程中很多內(nèi)容都離不開距離概念，極限理論頂用來刻劃“遠近”的重要尺度是兩點間的“距離”(也可用拓撲來刻劃).那么距商的本質特征究意是什么?在討論中學教學中常見距離的基礎上，抽象歸納出距離的一般概念，給出抽象距離空間概念，并介紹緊縮映象原理及其初步應用.2.1、兩點間的距離中學講義中是用長度(作為不加概念的概念)來解釋兩點間的距離的：“連結兩點的線段的長度，叫做這兩點間的距離”.在中學數(shù)學中涉及到的距離大致有：(1)直線上、平而上或空間中兩點的距離；(2)平面上點到直線的距離：(3)平面上兩平行直線間的距離；(4)異而直線間的

5、距離；(5)空間一點到平面的距離：(6)直線到與它平行平面的距離；(7)兩平行平面間的距離；而它們都是以兩點間的距離為基礎的.另外，對于平面上(或空間中)一點P到一個集A的距離，自然可概念為d(P,A)=infd(P,x),X/l平面上(或空間中)兩集合A、B間的距離顯然可概念為d(P,A)=infd(P,x),平面上(或空間中)兩集合A、B間的距離顯然可概念為d(A9B)=infd(xyy).A/l也是以兩點間距離為基礎的微積分中的極限、持續(xù)等概念的描述，也是以兩點間的距離為基礎，用距離來刻劃兩個點的接近程度：lim%=A=Ve>0,mNeN,Vn>Nn-有d(4,A)=|%-2

6、.2、兩函數(shù)間的距離在微積分中，咱們會遇見用函數(shù)列逼近函數(shù)的問題，例如用多項式匕(刈=4。+4爐+/x"去逼近概念在a.b上的持續(xù)函數(shù)f(x).自然會想：應如何選取系數(shù)4,才能使匕(x)對f(x)有最好的逼近(Vxea，W)?應注意的是這里的逼近不是對個別點來講的，而是指整個區(qū)間a.b.因此必需明確什么是“最好的追近”？現(xiàn)在，或許會想是不是可用I2")-/(x)I的大小作為逼近好壞的標準，但那個值仍隨點X而異.對于兩個不同的多項式P?(x)、產(chǎn)(X),會在某些點上Ip：D(x)-/(x)l的值小些，而在另一些點上，I匕(用一的值小些，這就無法判定究竟用哪個逼近兀6較好.為此

7、，咱們需尋求某種合理的方式來肯定Pn(x)與f(X»向的“距離”，使得“距離”越小，逼近就越好.對于不同的函數(shù)集，能夠用不同的方式來成立兩函數(shù)間的“距離”.例(1)設M=“d):x(f)是概念在a,b上的有界函數(shù).Vx()，(x)eM可規(guī)定：”(x,y)=sup|x(/)-y(O|.能夠驗證d(x,y)知足:1°d(x,y)>0;"(x,y)=0=x(t)=y(0；2°d(xfy)=d(yix);30d(x,y)<"(x,z)+d(z,>')(2)設%>=/«)為概念在a,b上的持續(xù)函數(shù)).W，g

8、63;Ca如可規(guī)定d(f,g)=max1/(0一g«)Iy。川不難驗證d(f,g)知足：12(f,g)>0;J(7,g)=0of(t)三g;2X/,g)="(gJ);3Od(f,g)£d(f,h)+d(h,g).(3)設兒=/«)：/«)是a,b上的勒貝格可積函數(shù).W，ge4，規(guī)定則也驗證d(f,g)知足(1)、(2)中的三個條件(只是第一個條件中"(/,g)=0o/與g幾乎處處相等，因為在勒貝格積分中，兩個幾乎處處相等函數(shù)的積分值相同).由上可知，無論是兩點間的距離，仍是兩個函數(shù)間的“距離”，它們都有以下共性：(i) d(x.

9、y)>0,d(x,y)=0<=>x=y;(ii) (x,y)="(y,x);uii)d(x,y)K"(x,z)+"().因此，用(iii)作為距離公理，即可成立一般距離和距離空間的概念.、距離空間1 .距離空間的概念和例子概念1設X為非空集合，二元實值映射：XxXfR若知足：有(i) d(x,y)>0,d(x,y)=0<=>x=y;(ii) d(x,y)="(y,x);(iii) 4(x,y)«d(x,z)+d(z,y).則稱d為X上的一個距離函數(shù)，d(x,y)為點x,y間的距離，裝備了距離的集合稱為距離空間

10、，記為(X.d)(或簡記為X).有了距離，就可以夠在抽象的距離空間中，借用R1、氐、R3中的幾何術語和幾何直觀、幾何方式去成立和理解有關理論.荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗蘭登塔爾說過：“空間概念推行到了無窮維在利用空間術語的同時，他們同時抓住了整套的幾何術語，幾何思想方式與幾何直觀”，康德也曾說過：“缺乏直觀的概念是空虛的”，咱們要專門好地理解現(xiàn)代數(shù)學中“空間”的雙重意義.例1X=/?2,V尸(演,9),0(工2，9)心(1)規(guī)定d(P,Q)=一再+(力-M)2，則也是氐上的一個距離函數(shù),(R2,J1)是一個距離空間.B=Pe/?2：f/(P,0)<l為平面上通常的以原點0為圓心，以1為半徑

11、的閉圓面.(2)若規(guī)定4(0，0)=【】31±一占1,1)，2-升1，則可驗證d?為R2上一距離函數(shù),(R2,d3)為一距離空間，借用原來的幾何直觀和幾何語言，“閉圓面”B=Pe/?2：6/2(P,O)<l.(3)若規(guī)定4(P，。)=1±-1+1為一y1，則一樣可驗證ch為R?上的一個距離函數(shù),(R2,d3)為一距離空間，現(xiàn)在，“閉圓面”B=PeR?:J3(P,O)<1.例2設X=(0,l),Vx,yeX,d(x,y)=lx)，1,顯然d為X上的一個距離函數(shù)，(X1)為一距離空間.例3前述的函數(shù)集合M、(加別離在、式所規(guī)定的距離下，成為距離空間.例4設S=(xj

12、9x2):x/eR,i=l,2,V可=(%，,一，%,*),丁=(M，必.，穌，)£S,規(guī)定、31氏fI心不K'Y則易知d知足距離公理的前兩條，注意到函數(shù)一的遞增性(當x>_i時)，提到1+x一22"1+氏-訃*燈寧1卜-4-£汨+"|=d(x,z)+d(z,y).所以d為S上的一個距離函數(shù)，(S,d)為一距離空間.2 .4、距離空間中的收斂性抽象距離空間中的點能夠是原來意義下的點，但一般來講，是指集合中的元素，因此點列收斂的具體含義隨對象不同而異.概念2設A；)cz(X,6/)=X,xoeX,稱點列xn收斂于xo,若是limd(%,演)=

13、0,記作i->玉)(->-Ko).一佟一般距離空間的收斂點列與微積分中的收斂點列有類似的性質：極限點X。唯一：收斂點列是有界集.為此，先給出一般距離空間中有界集的概念，類比RI的情形，咱們有概念3給定(X,d),Xo£X,r>0.點集B(x0,r)=xeX:4(尤與)<廣叫做X內(nèi)以X。為中心、以r為半徑的開球.設AuX,如有X中的一個開球8(%/)nA,則稱A為有界集.定理1距離空間內(nèi)的點列最多收斂于一個點.證明：設玉uX,一>，%且X”一%.則有0<dg,%)<d(x09xn)+d(xn,yn)->0=4()，%)=°，所以

14、/=%定理2距離空間的收斂點列是有界集.證明：設占一%，取=1,則eN,V”N,有d(4,Xo)vl.記a=max"(玉，x(),d(x2,.7),d(xN,x()，則有x“u8(Xo，+l).卜面咱們通過兩個例子來體會距離空間中點列收斂的具體含義隨對象不同而異.為此先給出兩個不等式.Cauchy不等式，任給2n個實數(shù)”"；。/也,，狐則有j-17/-Ij-i證明：V幾£凡由0«Z(4+獨)?=Z片+2/Z，他+22工計1-1i-li-li-1知右端的判別式fnVnnZ岫-£。；£片40,j-i/j-ij-i此即欲證之式.由上不等式可

15、得下面的Schwarz不等式任給2n個實數(shù)片,出，勺;仇也，2則有4+盯2：+J-I/r-1/r-1/證明:£(+2)2=i；+2反*+£彳f-1r-1r-1UInn、/(/心2+2)；Z彳+Z彳r-1r-1/j-1/i-1(n=2y+I：-(-/-i7兩邊開方即得式.例5設X=R"Nx=(%,X2一x),y=(y,y2，)'Jz=(Z,Z2z)eR",規(guī)定坐"*,)，)=)2則易知d知足距離公理的前兩條.另外，在式中令%=%-"=號一凹,就有”(%)，)=匯(石-)"_N一=<4(%-Zj)+(zf)“1%&

16、quot;，1%<Z*i-z廳+Z(z,-)j-r-1Lr-1.=d(x,z)+d(z,y).所以d是Rn上的一個距離函數(shù)，(Rn,d)為一距離空間.設£'=(1以,琛)-=(#,理嚀).此即-n平2(X'"'；)>0(?一>4-oO)-r-1.0(W(X”X：)-0(/7?>+)/-I=x；n.x：且巧一引,<X：(m.+S)所以Rn中點列按上述距離收斂的含義是按坐標收斂.例6G。卜./依距離d(/,g)=max"(f)-g(f)l收斂是函數(shù)列的.致收斂,這是因為04(。/)-。()omax/)(/)I-0(

17、t)閨。0V£>OJNeN,V>N和Wea9b9有I<(t)-f(t)l<此即合(t)一致收斂于應指出的是在RI、R2、R3中的某些性質，在一般距離空間不必然成立(本質原因是因為一般距離空間不必然是有限維的)，例如在微枳分中的一個大體原理一一聚點原理：任一有界的無窮集(含無窮個元素)必有極限點，在一般距離空間就不成立.X例7設尸=工=(占,4,乙一)：工1天尸+雙七£R,i=l,2.Vx,ye/2,規(guī)定w-id*，y)=(£i七一則能夠驗證d是戶上的距離函數(shù).#/)為距離空間,尸中的子集M=qn=1,2,3.其中e“=(0,0,1,(),)

18、,記o=(0,0,),則有所以M為/2中的無窮集，但M中不存在任何收斂子列，因為VC：,"£加,、J5/2Gj,d(e1,e)=、JI。i=/因此在一般距離空間中需引進新的概念,運用一些新的思想方式去研究和成立有關理論.其中關于距離空間完備化問題是一個大體問題，因為數(shù)學中的一個大體問題存在性問題與空間的完備性有關，下而咱們介紹有關內(nèi)容.踐離空間的完備化及其應用(1)距離空間的完備化距離空間完備化的意義類似于從有理數(shù)域到實數(shù)域的完備化的意義.完備化的進程也可類比于從Q-R的進程進行.概念4給定(X,),x“uX.若對V£>03NeN,使對有”(，毛)<&

19、#163;，則稱為X中的大體列.距離空間中的大體列具有實數(shù)域中大體列的性質.定理3(1)距離空間中的收斂列均為大體列.(2)距離空間中有收斂子列的大體列是收斂列.證明方式與微積分中方式完全一樣略去.概念5給定(X.d).若X中每一大體列都是收斂列則稱X為完備的距離空間.例(l)(Rn,d)為完備的距離空間，其中“T"4*，)')=2(七一爐(2)(0,4)為完備的距離空間，其中d(7,g)=ma?l/(f)-g(f)l.(3)(X,d).其中X=(O,l)/(x,y)=lxyl,則X為不完備的距離空間，因為|是X中的大體系.但不是收斂列,極限點oSx.123nJ一樣.X=(0

20、川對距離函數(shù)d(x,y)=lx-yl也不是完備的距離空間.咱們需要指出的是每一個距離空間都能夠通過添加新元而成為完備的距離空間.為此，需要引進幾個概念.概念6給定(X,"),X中的開球8*0，&)稱為小的£鄰域(或球形鄰域)，若SuX且8(%,刃為S子集，則稱S為孔的一個鄰域易知，在X=/?時，/的£領域就是區(qū)間(/-£,%)+£),包括(玉)-£,%+£)的任一集為X。的鄰域.概念7給定(X/),AuX,8uX.若是B中每一點的任意鄰域都含有A的點，就說A在B內(nèi)稠.例如：因為每一個無理數(shù)的任何領域中均有有理數(shù)，所以

21、有理數(shù)集在無理數(shù)集中稠.反之，無理數(shù)集也在有理數(shù)集中稠.另外，有理數(shù)集還在實數(shù)集中稠.因此每一實數(shù)都可看做是有理數(shù)列的極限.事實上，咱們正是將有理數(shù)大體列的等價類添加到有理數(shù)集(每一有理數(shù)也看做是某大體列組成的等價類)中而取得實數(shù)集的.基于這一大體思想，咱們來介紹距離空間的完備化.概念8給定距離空間(X4)、(X”4).若存在X,到X2上的一一映射夕，知足條件:Vx,yeX,有4(x,y)=4(9(x),/(>).則稱。是Xi上到X?的等距映射，現(xiàn)在，稱X1與X2是等距同構的.對于兩個等距同構的空間，不考慮它們元素的具體屬性，而只是作為距離空間來考察,或說從距離結構來考察，二者沒有本質的

22、區(qū)別.定理4任何距離空間必存在完備化空間，且其完備化空間在等距同構意義下是唯一的.這就從理論上解決了距離空間的完備性問題.而其它抽象空間，如線性賦范空間、內(nèi)積空間的完備性問題也都可歸結為距離空間的完備性問題.緊縮映射原理及其應用解方程是學數(shù)學的中心內(nèi)容之一.可是在中學數(shù)學中學生會解的只是一些極簡單的代數(shù)議程和特殊超越方程.而對于大部份方程是不會解的，即即是一些很實用的形狀不復雜的議程，也亳無辦法，例如1=0.事實上，在很多情形下只能求出方程的近似值，用迭代法求方程的近似值，這就產(chǎn)生了如何迭代能保證收斂于方程的精準解.且能估量出近似值的誤差是多少？在求解微分方程、枳分方程等其它方程時，一樣存在上

23、述問題.通過研究發(fā)覺，代數(shù)方程、微分方程、積分方程等求解問題，在許多情形下能夠歸為求某映射的不動點問題，并可用逐次逼近法求出不動點（或近似解）.牛頓（IsaacNewton1642-1722）用切線法求方程f（x）=O根的大體思想就是求不動點.常微分方程中Picard的逐次逼近法也是.這種思想方式經(jīng)波蘭數(shù)學家Banach提煉為緊縮映射原理.下而咱們簡要介紹有關內(nèi)容.概念10給定距離空間（X/）及映射X.若存在點,使有7V=/,則稱x為映射T的不動點.對于映射/（X）=/來講，0和1均為了：RR的不動點.概念11給定（X,"）及映射X,若存在常數(shù)e:0vavl,使有d(Tx,Ty)&l

24、t;ad(x,y),則稱T為X的緊縮映射.例8設X=L,X/x,yeX,"(x,y)=lx-yl,則(X/)為距離空間.又設r：xfX為_X1Tx=+2x貝|Jcl(Tx,Ty)=（火（x，y）1 1李-V=Ld(x,y),a=-,所以T為緊縮映射.22定理5給定完備距離空間（X,d）,T:XfX為緊縮映射，則T恰有一個不動點（緊縮映射原理）.證明：Vx()eX則*/為大體列，事實上，咱們有«。"(4，七1)=。"(必7V2)<<zv/(x,_pxm_2)<.<aHW(xpx0)對任取的自然數(shù)z,，不妨設?<，則有“(/，X

25、，<d(xm,毛川)+”(4+4+2)+”(X"t，/)Ka"'d(X,/)+'"+勿(%，/)+a'l(x,%)+.+a'i)”(M，Xo)a<"(X,%)>0(/7/5n>+s).由X的完備性知，X£X，使xn>X下證金是T的不動點，為此只需證，/(7V,x*)=0,這從0<4(/,Tx)<4(/,Xa)+d(xn,TV)=d(xxn)+d(Txn_l,Tx4)<dxyxn)+a"(4_,x*)-0(nf+s)即得.最后證明不動點是唯一的.若不然，設T

26、有兩個不動/和，則從Tx=x,Ty*=amd(xy)=<-d(x,x0),l-a證明：從定理證明中的amdK,yn)=<d(xA,x0)9-a固定?,讓一即得.由上可知，定理5不僅給出了必然條件下方程解的存在唯一性，而且提供了求解的具體方式一一逐次逼近(或迭代法)，推論給出了第m次近似解的誤差估量.這對處置問題無疑是十分有利的.例9用緊縮映射原理給出方程V+x-l=0解的一種收斂的迭代程序.解：設/(x)=d+xl,收/(0)v0,/>0,由持續(xù)函數(shù)介值定理知，方程在0,1上有根，注意到x3+x-l=0<=>-=x+x2取丁：0,1f0,1為=<從+廠廠=,

27、rv)=：(；)(1+廠廠。+廠)3可知，當人=時，I廠(x)l有最大值3/8,d(TxJy)=Tx-y<x-y.8顯然a=3/8<0.65<l,所以T為完備距離空間0.1上的緊縮映射.由定理5,T有不動點/，此即原方程的解，并可給出以下收斂的迭代順序：上=。，-%=7(x”-i)=zy,(=1,2,=J.1+玉_2第n次近似的誤差估量為4(x,xn)=<-"($,x°)=-.1-a2(1-a)3.o線性空間.n維向量空間在數(shù)學和實際問題中，常常會碰到用n(n24)元有序數(shù)組來表示的對象的問題.例如n次系數(shù)多項式詼+4工+2/+與11+1元有序實數(shù)組

28、(),4,”2,4。相對應，一個球的大小和位置需要用四元有序數(shù)組(x,y,z,r)來表示，等等.因此，人們很自然地把向量的概念推行到n元有序數(shù)組，稱n元有序數(shù)(，小生,-4)為n椎向量，而且能夠把相等向量、向量的加法、數(shù)乘向量的運算類比平面(長)上和空間(巾)中的情形進行，例如：一。3,。2，/)，/=1也，也)eeR,a+趴。1+4,a?+%+“；).Aa=(Aal,Aa2i-Aa/i).不難驗證，關于加法和數(shù)乘向量，知足以下八條算律：其中(V)一(viii)是關于數(shù)乘向量的算律：(i)給合律(&+/)+/=”+(/7+7);(ii)互換律a+/7=Z?+a;(iii)存在零向量0=

29、(0,。，,0)，使VaeR”.有a+0=a;(iv) VaeR"日反向量一。=(一,-，一a“)，使有a+(-a)=0;(v) a=a(vi) 4.(4a)=(4%)&(vii)(4+4)a=+(viii) A(a4-/7)=Aa+入0.稱n維向量,火，心)(川e=1,2,全部為n維向量空間，記作Rn.一般地，若qtP(i=l,2,兒P為數(shù)集)，稱n維向量(卬,，勺)全部為n維向量空間F,不難看出，Pn是以RP，為基礎的原理性抽象.線性空間由上能夠明白，幾何向量的加法和數(shù)乘向量涉及到集合R3（或R2）和數(shù)集R.pn中向量的加法和數(shù)乘向量也涉及到兩個集Pn和P,而且關于加法和

30、數(shù)乘向量知足八條算律.另外我們還可對多項式集y中的元素（多項式）作加法和數(shù)乘多項式運算：對概念在a,b上的持續(xù)函數(shù)集中的元素作加法和數(shù)乘函數(shù)的運算，且都知足八條算律.因此，從運算角度來看，把它們的一路特征分離歸納出來，具有相同的代數(shù)結構：涉及兩個集合，一個是有加法運算的集合（如pn,y,A,CM）,一個是數(shù)集（能夠是R或C或其它數(shù)集），這兩個集合由數(shù)乘“向量”把它們聯(lián)系起來，且對加法和數(shù)乘知足八條算律，數(shù)學中把具有這種代數(shù)結構的集稱為線性空間，即有如下概念.概念4設V是非空集，K是數(shù)域，在V的元素間規(guī)定了一種運算叫做加法"+”，在K0V的元素間規(guī)定了一種運算叫做數(shù)乘“"，且

31、知足以下算律：Va,/7,/eV（1）結合律（a+/7）+y=a+（£+y）;（2）互換律2+/=/7+a;（3）存在零向量（記為0）,使。+0=a;（4） VaeV,使有。+4=0;（5） l-a=a,（6） K，有幾（0）=（4）。；（7） K，有+=/la+a;（8） VAeK,有丸（。+夕）=，a+幾就稱集V為數(shù)域K上的線性空間（或向量空間），V中的元素稱為點或向量.線性空間又稱向量空間，這是借用了幾何向量的語言，也反映了線性空間的客觀幾何背景.因此，如前所述在現(xiàn)代數(shù)學中，''空間”一詞具有雙重意義，一是表示現(xiàn)實生活空間，一是表示抽象空間，指用公理肯定了元素間

32、關系的非空集合，它反映了必然的現(xiàn)實形式，但這些形式不必然與通常意義下的空間形式一致，需要在更廣的意義下去理解.例如（1）實系數(shù)多項式組成的集y是實數(shù)域R上的線性空間.（2） mXn階復矩陣組成的集A是復數(shù)域C上的線性空間.（3）概念在a.b上的實值持續(xù)函數(shù)組成的集q.加是實數(shù)域R上的線性空間.4、內(nèi)積空間歐氏空間R：、R，的特點除距離這處，最突出的特點是向量的內(nèi)積，成立坐標系以后，向量與有序數(shù)組成立了一一對應關系，向量的模、|:零向量的夾角、正交等概念都可由內(nèi)枳導出.對于/?（之4）,Va=®/2,，氏）、人=（4/2,，”）£內(nèi)，可概念、b的內(nèi)積為£>也，

33、現(xiàn)在，雖然夾角、夾角余弦沒有直觀的幾何意義了，但仍可由內(nèi)積引出向量a的模r-l(nV2及兩向量正交的概念：ll=Z4：M與b正交=4與6的內(nèi)積進而，對內(nèi)積所具有的特征性質，可將內(nèi)枳概念拓廣到更一般的線性空間，將裝備J'內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)枳空間.將有限維歐氏空間拓廣為“無窮維歐氏空間”.為此先介紹幾個有關的概念.幾個大體概念概念5設X為數(shù)域K上的線性空間，映射M：XfH叫做X上的范數(shù)，若是它知足:(OVxe,|.r|>0;|乂|=0ox=0(零向量)；(")VaeK,x£X,心刈=冏.同；(iii)Wx,yeX,有卜+司<|x|+|y|.與RXR3)中的

34、向量模(長度)比較，不難看出，范數(shù)是長、心中向量“?！钡母拍钤诰€性空間的拓廣.且由范數(shù)可導出距囹d(x,y)=|a-v|.裝備了范數(shù)的線性空間叫做線性賦泡空間，記作(X，H),完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間.例(1)R"(21)是巴拿赫空.(2)CM對加法：VAgwC”,(/+g)*)=/(x)+g(x)和數(shù)乘：VaeRJeC”j,(5)(x)=a/(x)知足八條算律，是線性空間WeJ，概念|/|=max|/(x)|,則可驗證H|是一個范數(shù),所以(；")是一線性賦范空間，但不是完備的線性賦范空間.概念6設(乂|出)、(丫,小|,)為同一數(shù)域K上的線性賦范空間，山X的某子空

35、間D到Y的映射T稱為算子，記為T:XfY.知足以下兩條性質的算子稱為線性算子：Vxj-x2e。(丁)有丁區(qū)+x2)=T(x1)+T(x2),VxeD(T),c(wK,有T(ax)=a-T(x).特別地，當Y為數(shù)域K或其子集時，稱T為線性泛函.例設x=q“，y=Ga*K=R7：Xf丫如下W£x,(m(x)=1/«)，則T為X到Y的線性算子.(2)設x=Ga*y=K=凡T：x-丫如下V/,eX,fbV=工/(x)"x,則T就是Y的一個線性泛函.此刻咱們再來看R：、R，中內(nèi)積的特性，它具有以下性質：(i) aa20;4=0=a=0;(ii) aa-b=a(a-b)；(iii) (a+b)-c=a-c+b-c且在引進坐標系后，”=(",小，"3)/=(伉/2,4)的內(nèi)積為£?也.因此，很自然地，/-I若F中的P為復數(shù)集，則為使就應概念山=£«