例析分類討論思想在圓中的應(yīng)用

1、例析分類討論思想在圓中的應(yīng)用 由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；既具有對稱任意性，又具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此往往給解題帶來一定的復(fù)雜性為了避免在求解與圓有關(guān)的問題時出現(xiàn)漏解，本文將分類討論思想在圓中的應(yīng)用作相關(guān)歸納與分析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考 一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不唯一性 例1 已知點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，PA，PB是O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C是O上的任意一點(diǎn)(不與A，B重合)若APB=50°，求ACB的度數(shù) 分析 解題時若對點(diǎn)C位置理解不透，容易出現(xiàn)漏解的情況，須注意針對分點(diǎn)C在優(yōu)弧與劣弧兩種情況分類討論解析 如圖1，連結(jié)OA、OB，PA，PB是O的兩條切線，PAO=PBO=90

2、°APB=50°。在四邊形PA OB中，AOB=360°一PAO一APB一PBO=130°若點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，則ACB= AOB=65°；若點(diǎn)C在劣弧AB上，則ACB=×(360°-130 °)=115°ACB的度數(shù)為65°或115° 變式 已知點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，PA，PB是O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C是O上的任意一點(diǎn)(不與A，B重合)若APB=n°，求A CB的度數(shù) 二、弦與弦的位置關(guān)系不唯一性 例2 在半徑為1的O中，弦AB=，A C=，求BAC的度數(shù) 分析 此題主

3、要考查的是垂徑定理和勾股定理，初學(xué)者多數(shù)只會做出一個解，要么求得15°，要么求得75°實(shí)際上應(yīng)全面考慮兩弦與圓心的位置，分弦AB與CD在圓心O的兩側(cè)與同側(cè)兩種情況討論 解析 如圖2，分別作ODAB，OEA C，垂足分別是D、EODAB，OEA C，AD=BD=，AE=BE：，cosDAO=，cosAEO = =，DA O=45°，AEO=30°當(dāng)AB與CD在圓心O的兩側(cè)時，BA C=BAO+CAO=75°；當(dāng)AB與CD在圓心O的同側(cè)時，BAC=BAO-CAO=15°，BAC的度數(shù)為15°或75°變式 如圖3，已知A

4、B是O的直徑，AB=2，弦AC=，在圖中畫出弦AD，使AD=1，并求CAD的度數(shù)三、弦與它所對圓周角的不唯一性 例3 圓的一條弦長等于它的半徑，求這條弦所對的圓周角的度數(shù) 分析 多數(shù)學(xué)生只是求出30。，而未能求出150°，原因是學(xué)生對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、弦所對的圓周角理解不透一條弦(非直徑)所對的弧有優(yōu)弧和劣弧，一條弦所對的圓周角有銳角和鈍角兩種情況，需要區(qū)分優(yōu)弧和劣弧所對的圓周角進(jìn)行計(jì)算解析 連結(jié)OA、OB，OA=OB=AB，AOB為正三角形，ADB=60°當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上時，P=A OB=30°；當(dāng)點(diǎn)Q在優(yōu)弧AB上時，Q=180°一P=150

5、6;弦AB所對的圓周角為30°或150°變式1 已知點(diǎn)O為ABC的外心，若BOC=100°，求BA C的度數(shù)變式2 在半徑為4的O中，弦AB=4，求弦AB所對的圓周角的度數(shù)變式3 一條弦AB分圓成1：4兩部分，求弦AB所對的圓周角的度數(shù)四、直線與圓的位置關(guān)系不唯一性 例4 直線上一點(diǎn)P到圓心O的距離是5cm，O的半徑也是5cm，求直線與的位置關(guān)系 分析 多數(shù)學(xué)生誤以為圓心O到直線的距離為OP，即把直線上一點(diǎn)P當(dāng)作垂足，得出直線與O的位置關(guān)系是相切，出現(xiàn)漏解 解析 (1)當(dāng)OP時，則圓心O到直線的距離為OP OP=5，R=5， OP=R， 點(diǎn)P到直線的距離等于O的半

6、徑，則直線與O相切； (2)當(dāng)OP不垂直直線時，圓心O到直線的距離小于OP，則直線與O相交 直線與O的位置關(guān)系是相切或相交 變式 直線上一點(diǎn)P到圓心O的距離是，O的半徑是，并且=，求直線與O的位置關(guān)系五、圓與圓的位置關(guān)系不唯一性 例5 以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓的半徑分別是9和5，與這兩個圓相切，求的半徑分析 由于兩圓為同心圓，可能與小圓外切、與大圓內(nèi)切，的直徑等于兩圓的半徑之差；也可能與小圓、大圓都內(nèi)切，的直徑等于兩圓的半徑之和(如圖5)解析 當(dāng)與小圓外切、與大圓內(nèi)切時， 的直徑為 ； 當(dāng)與小圓、大圓都內(nèi)切時， 的直徑為 ， 的半徑是2或7變式 已知兩圓相切，圓心距是7，其中一圓的半徑是2，求

7、另一圓的半徑六、在圓錐側(cè)面展開圖計(jì)算中的應(yīng)用例6 如圖6，在Rt ABC中，ACB=90°，AC=20，BC=15，RtABC的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求出這個幾何體的全面積。分析 題中只說明RtABC的一邊旋轉(zhuǎn)一周，而未說明具體是哪一邊旋轉(zhuǎn)，所以必須分情況進(jìn)行討論 解析 ACB=90°， AC=20，BC=l 5， AB= ， 25CD=20×1 5， CD=l 2 若繞AC旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，則它的全面積為 ； 若繞BC旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，則它的全面積為 =900； 若繞AB旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，則它的全面積為 繞RtABC的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體的全面積為 600或900或420變式 在RtABC中，AC