課例數(shù)列的遞推公式

1、課例：數(shù)列的遞推公式（高一數(shù)列復(fù)習課）1 回顧回顧一：復(fù)習等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義式（遞推公式）及通項公式，為后面由遞推公式推導(dǎo)通項公式做鋪墊?；仡櫠罕匦?中2.1的例2：謝賓斯基三角形（1）介紹數(shù)學史 上世紀初，波蘭的數(shù)學家謝賓斯基想要找到一個圖形，當它的面積無限減小時，它的周長則無限增大。用幾何畫板進行迭代演示。（2）數(shù)一數(shù)將上述迭代過程逐一展示，讓學生數(shù)數(shù)在每個圖形中綠色三角形的個數(shù)依次為多少？引出該等比數(shù)列的遞推式及通項公式。2 探究（3）再數(shù)一數(shù)：每個圖形中綠色、黑色三角形的總個數(shù)依次為多少?學生容易先得出前三項為1，4，13。探究一：第4項是多少？（從特殊到一般，引出遞推公式）方

2、法一（幾何方法）從第二個圖象起，每一個圖象可以看成由前一個圖象的三份縮影加上中間一個黑三角形。因此，。方法二（代數(shù)方法）從前三項的數(shù)值上也可以發(fā)現(xiàn)：，方法三（代數(shù)方法） （）方法四（幾何方法）從第二個圖象起，每一個圖象是在前一個圖象的每個綠三角形中挖走一個中心三角形，這樣如圖所示的圈內(nèi)一個三角形就變?yōu)樗膫€三角形，增加三個三角形。在第個圖形中，綠三角形的個數(shù)為，所以，即。 歸納：當我們面對較為一個復(fù)雜的數(shù)列時，很難一眼看清其全貌的話，可以先得出其遞推關(guān)系，這就是本堂課復(fù)習的重點數(shù)列的遞推公式。遞進：然而，我們得到該數(shù)列的遞推公式便滿足了嗎？請問，它的第5項是幾？第6項是幾？（學生輕松回答。）那么

3、，第100項是幾呢？（學生一時語塞，隨即提筆思考。） 探究二：第100項是多少？（引出求通項公式的方法） 方法一的引導(dǎo)：教師讓學生觀察遞推公式， 提問：從而，誘導(dǎo)出利用“累加法”來解決此問題。 教師小結(jié)以上解法：其一，用了累加法，此法早在等差數(shù)列中由定義式推導(dǎo)通項公式就曾用過，類似的還有累乘法；其二，用了等比數(shù)列求和公式。 方法二的引導(dǎo)：教師再讓學生觀察遞推公式。在遞推式中，若去1，就是等比數(shù)列；若改3為1，則是等差數(shù)列。是否可構(gòu)造以3為公比的等比數(shù)列呢？如何把常數(shù)1進行分配呢？假設(shè)等式左邊分得m，則右邊就得3m。所以有：小結(jié)：這可謂“殊途同歸”！同一個數(shù)列有兩個不同的遞推公式，兩個不同的遞推

4、公式推出同一個通項公式，雖分別用了“累加法”和“構(gòu)造法”，但卻都是化歸為等差或等比數(shù)列的有關(guān)概念來解決！ 探究三 請試由遞推公式推得數(shù)列的通項公式。給學生些許思考時間。部分學生均只能由已知條件求出第3項為9，第4項為13，則猜想就是前面的數(shù)列。教師則引導(dǎo)從開始出發(fā)，是否可再構(gòu)造等比數(shù)列？即即為探究二中的兩個遞推公式，當然此數(shù)列就是前面的數(shù)列。3鞏固思考意圖：一、讓學生再次經(jīng)歷特殊到一般的歸納過程，培養(yǎng)合情推理的能力；二、從歸納的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)通項的分母為等差數(shù)列的通式，從而為嚴格論證的開啟思路。變式訓練：4 歸納小結(jié) 當我們研究一個較為復(fù)雜的數(shù)列時，若不能馬上得出它的通項公式，可以先通過其特殊項或

5、其蘊含的幾何背景來發(fā)現(xiàn)它的遞推公式，然后利用累加法、累乘法、構(gòu)造法等，將遞推公式化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)問題，從而最終求出數(shù)列的通項公式！化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列 特殊項 通項公式發(fā)現(xiàn) 遞推公式 幾何背景5 課外作業(yè)本課例參加了2007年3月14-15日在浙江麗水市進行了一次校本培訓活動，共兩天。以上是第一天的課堂設(shè)計，課堂效果不明顯，前段后段較好，中間探究部分還不能很好引起學生的共鳴。在專家的指導(dǎo)下，給學生留了恰當?shù)奶骄刻荻?，做了如下的修改，收效甚好?修改后（為了便于前后對照，下面的編號與前面的一致。） 2探究 探究二：第100項是多少？（引出求通項公式的方法）一開始，教師先不引導(dǎo)，

6、而是給學生一定的思考時間。（老師的行為改變了，學生的反映也隨即發(fā)生了變化） 不久，學生甲在其草稿紙上寫下： 教師小結(jié)以上解法：其一，其二，同上，其三，從結(jié)果中含看，應(yīng)有可能為等比數(shù)列。（為另一遞推公式推導(dǎo)通項公式埋下伏筆。） 探究三先給學生充分的思考時間。學生甲：我求得了所以我猜測就是前面的數(shù)列，即當然這有一定的局限性。學生乙：我根據(jù)式子的特征，將一個移到等號左邊，得：，則為以3為公比的等比數(shù)列。教師小結(jié)：其一，對于乙的解法，教師先給與充分肯定，再提出思考，你怎么看出從等號右側(cè)移一個到左側(cè)呢？一般情況下，如何解決呢？引出利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列的方法（見原設(shè)計）。 其二，前面的遞推式我們均能從幾何背景找到它們的解釋，對于此遞推公式，仍能從謝賓斯基