解題中的一種思維方法—— 微元法

1、解題中的一種思維方法 微元法上海市曹楊中學(xué)（200333） 鈄方健“微元法”通俗地說就是把研究對象分為無限多個(gè)無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學(xué)思維方法。高中物理中的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢等等，都是用這種方法定義的，還有單擺的周期公式的推導(dǎo)，也用到了這種方法。從數(shù)學(xué)上講，是一種微分的思想方法，但在高三物理總復(fù)習(xí)中，用“微元法”來解有些問題，簡捷明了是一種普適的好辦法。下面從三方面，談?wù)劇拔⒃ā痹诮忸}中的應(yīng)用。一、合理“取樣”，從局部求整體當(dāng)物體各部分的運(yùn)動(dòng)情況相同時(shí)，取其中一小部分作為研究對象，是利用“微元法”解題的一種思維方

2、法。例1 一質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，半徑為R，質(zhì)量為m，設(shè)該環(huán)均勻地帶正電，總帶電量為，現(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上，勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度為，方向豎直向下。當(dāng)此環(huán)繞通過其中心的豎直軸以的角速度順時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，環(huán)中的張力等于多少？（電苛間的作用力忽略不計(jì)）分析與解：如圖1，取環(huán)上微小的一段圓弧，質(zhì)量為m。，設(shè)其張角為2，由于環(huán)旋轉(zhuǎn)，那么電苛隨環(huán)運(yùn)動(dòng)形成電流，小圓弧因而受到磁場對它的安培力，方向沿半徑向外。又小圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，必須有向心力。所以環(huán)中必定存在張力T，小圓弧所受張力T在沿半徑方向的分力和安培力的合力，提供了小圓弧運(yùn)動(dòng)的向心力。得到： 圖1 由以上三式,并且當(dāng)很小時(shí)，sin求

3、得：二、“化變?yōu)楹恪薄ⅰ盎鸀橹薄鼻笏矔r(shí)速度圖2a 圖2b例2 如圖2a，以不變的速率v通過繩拉河中的小船，當(dāng)繩與水平方向成角時(shí)，求小船的瞬時(shí)速度。分析與解：如圖2b所示，當(dāng)繩與水平成角時(shí)，小船處在A點(diǎn)?，F(xiàn)經(jīng)一段很短的時(shí)間t(t0)，小船被繩由A拉至B。期間繩的長度變化SS-S'，則。而在這段時(shí)間內(nèi)，由于AO與 BO間的夾角很小，故小船的位移可作下列近似計(jì)算，。由于在極短的時(shí)間內(nèi)，船的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以船在A處的瞬時(shí)速度無限接近t內(nèi)的平均速度。由以上分析可知，小船在A處的瞬時(shí)速度為例3三個(gè)物體A、B、C，用繩連接掛在兩個(gè)定滑輪上，A、B質(zhì)量相等且整個(gè)裝置左右對稱，設(shè)某一瞬間A、B

4、的下降速度為，在這一瞬間繩OD、OE間的夾角為2,求此時(shí)刻物體C的上升速度。分析與解：圖3，實(shí)線代表某一時(shí)刻繩與物體所在的位置，虛線代表經(jīng)極短時(shí)間后繩物體的位置。是物體C在極短時(shí)間內(nèi)的位移，以E的圓心，以為半徑，在上截取EF=，就是物體A在極短時(shí)間內(nèi)的位移，本來是圓弧，但0，可以看成是直線，并且垂直，這樣=，又因?yàn)樵跇O短的時(shí)間內(nèi)物體C可以是勻速直線運(yùn)動(dòng)，即： 圖3 從上面的計(jì)算知道，只要用“微量法”，“化變?yōu)楹恪?、“化曲為直”作出一個(gè)直角三角形，就可以直接求出物體的瞬時(shí)速度。例4如圖4a，長為的直棒一端可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端擱在升降平臺上，平臺以速度勻速上升，當(dāng)棒與豎直方向的夾角為時(shí)，棒的角速

5、度為多少？ 圖4a 圖4b 如圖4b，用“微量法”作出直角三角形，即得：三、找“聯(lián)系點(diǎn)”、“聯(lián)系物”求相關(guān)速度例5如圖5a，一輕質(zhì)細(xì)桿長為L，一端可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端系一小球A，一物塊高為h卡在水平面與細(xì)桿之間，此時(shí)OA桿與水平面成角，物塊向右的速度為vB，求A球此時(shí)的速度大小。 分析與解：桿與物塊的接觸點(diǎn)是vB與vA的“聯(lián)系點(diǎn)”，我們可以假設(shè)接觸點(diǎn)處有一小滑環(huán)C固定在物塊上。如圖5b,當(dāng)OA桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)很小的角度到達(dá)OA，可以看出環(huán)C是既繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)又沿桿子滑動(dòng)，最后到達(dá)B點(diǎn)，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)的角度很小，可以認(rèn)為CC垂直O(jiān)A，從直角三角形得到，VC=VBsin。 故 圖5a 圖5b例6 如圖6直棒AB兩端分別靠在豎直墻和水平地面上，接觸處均光滑，當(dāng)直棒滑到與水平面成角時(shí)，點(diǎn)向下移時(shí)動(dòng)的速度為 ，則此時(shí)點(diǎn)的移動(dòng)速度為多少？ 分析與解：要求出VB這里的“聯(lián)系物”是棒，根據(jù)微量法作出直角三角形和，分別得到如下兩式： sin= V棒v cos= V棒VB 故 VB= vtg圖6例7、如圖7，A、B兩物體用繩相連，在水平面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體A的速度為，則物體B的速度VB=？分析與解：明顯這里的“聯(lián)系物”是繩子，由直角三角形，得到如下兩式： cos = V繩VB con = V繩 故 VB=concos 圖7從以上幾個(gè)例子看出