C語言知識學(xué)習迭代法詳細講解

1、迭代法,跟迭代法相對應(yīng)迭代法也稱輾轉(zhuǎn)法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程精確迭代和近的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代法又分為 似迭代。“二分法”和“ 牛頓迭代法”屬于近似迭代法。迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合 做重復(fù)性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí) 行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作: 、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接 地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)

2、系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個 值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推 或倒推的方法來完成。三、對迭代過程進行控制。在什么時候結(jié)束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考 慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過程的控制通?？煞譃閮煞N 情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次 數(shù)無法確定。對于前一種情況，可以構(gòu)建一個固定次數(shù)的循環(huán)來實現(xiàn)對迭代過程的控制；對于后一種情況，需要進一步分析出用來結(jié)束迭代過程的條件。例1 : 一個飼養(yǎng)場引進一只剛出生的新品種兔子,這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一

3、只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到 第12個月時，該飼養(yǎng)場共有兔子多少只?分析： 這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設(shè)第1 個月時兔子的只數(shù)為1 ，第 2 個月時兔子的只數(shù)為u 2 ，第 3 個月時兔子的只數(shù)為根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一只兔子”，則有u 2 = u 1 + u1 X 1 = 2u3 = u2 + u2X 1根據(jù)這個規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式：un = un 1 X 2(n > 2)y 和 x ，可將上面的遞推公式對應(yīng) u n 和 u n 1 ，定義兩個迭代變量 轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系：y=x*2x=y讓計算機對這個迭代關(guān)系

4、重復(fù)執(zhí)行11 次， 就可以算出第 12 個月時的兔子數(shù)。參考程序如下：clsx=1for i=2 to 12y=x*2x=ynext iprint yend3 分鐘。將若干個例 2 ： 阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用阿米巴放在一個盛滿營養(yǎng)參液的容器內(nèi)，45 分鐘后容器內(nèi)充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 220,220 個。試問，開始的時候往容器內(nèi)放了多少個阿米巴？請 編程序算出。分析： 根據(jù)題意，阿米巴每 3 分鐘分裂一次，那么從開始的時候?qū)⒚装头湃肴萜骼锩?，?45 分鐘后充滿容器，需要分裂45/3=15 次。而“容器最多可以裝15次分裂之后的2人20阿米巴2人20個”

5、，即阿米巴分裂 15次以后得到的個數(shù)是2人20 。題目要求我 們計算分裂之前的阿米巴數(shù)，不妨使用倒推的方法，從第個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的個數(shù)，再進一步倒推出第13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、第 1 次分裂之前的個數(shù)。設(shè)第 1 次分裂之前的個數(shù)為 x 0 、第 1 次分裂之后的個數(shù)為x 1 、第 2次分裂之后的個數(shù)為第 15 次分裂之后的個數(shù)為 x 15，則有x 14 =x 15 /2x 13 =x 14 /2x n-1 =x n /2(n > 1)x ，則可因為第 15 次分裂之后的個數(shù) x 15 是已知的，如果定義迭代變量為 以將上面的倒推公式

6、轉(zhuǎn)換成如下的迭代公式：讓這個迭代公式重復(fù)執(zhí)行x=x/2（ x的初值為第15次分裂之后的個數(shù)2人20）15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個 數(shù)。因為所需的迭代次數(shù)是個確定的值，我們可以使用一個固定次數(shù)的循環(huán)來實現(xiàn)對 迭代過程的控制。參考程序如下：clsx=2A20for i=1 to 15x=x/2next iprint xendps: java 中冪的算法是 Math.pow(2, 20) ；返回 double ，稍微注意一下象：對于任意一個自然數(shù)例 3 ： 驗證谷角猜想。 日本數(shù)學(xué)家谷角靜夫在研究自然數(shù)時發(fā)現(xiàn)了一個奇怪現(xiàn)1 。人們把n ，若 n 為偶數(shù)，則將其除以 2 ；若 n

7、 為奇數(shù)，則將 其乘以 3 ，然后再加 1 。如此經(jīng)過有限次運算后，總可以得到自然數(shù)谷角靜夫的這一發(fā)現(xiàn)叫做“谷角猜想”。要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數(shù)n ，把 n 經(jīng)過有限次運算后，最終變成自然數(shù) 1 的全過程打印出來。用 QBASIC分析： 定義迭代變量為 n ，按照谷角猜想的內(nèi)容，可以得到兩種情況下的迭代 關(guān)系式：當 n 為偶數(shù)時， n=n/2 ；當 n 為奇數(shù)時， n=n*3+1語言把它描述出來就是：if n 為偶數(shù) thenn=n/2elsen=n*3+1end if這就是需要計算機重復(fù)執(zhí)行的迭代過程。這個迭代過程需要重復(fù)執(zhí)行多少次，才 能使迭代變量 n 最終變成自然數(shù) 1

8、，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一 步確定用來結(jié)束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個1 ，就已經(jīng)完成了驗證工作。自然數(shù) n ，只要經(jīng)過有限次運算后，能夠得到自然數(shù)因此，用來結(jié)束迭代過程的條件可以定義為：n=1 。參考程序如下：clsinput "Please input n="ndo until n=1if nmod 2=0 thenrem如果 n 為偶數(shù)，則調(diào)用迭代公式n=n/2n=n/2print" "n;elsen=n*3+1print " "n;end ifloopend迭代法開平方：#incl

9、ude<stdio.h>#include<math.h>void main()double a,x0,x1;printf("Input a:n");scanf("%lf",&a);/ 為什么在 VC6.0 中不能寫成“ scanf("%f",&a);”？if(a<0)printf("Error!n");elsex0=a/2;x1=(x0+a/x0)/2;dox0=x1;x1=(x0+a/x0)/2;while(fabs(x0-x1)>=1e-6);printf(&

10、quot;Result:n");printf("sqrt(%g)=%gn",a,x1);求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0) 。算法： 1. 先自定一個初值x0 ，作為 a 的平方根值，在我們的程序中取a/2 作為 a的初值；利用迭代公式求出一個x1 。此值與真正的 a 的平方根值相比，誤差很大。x1.3. 利用迭代公式再求出一個新的2. 把新求得的 x1 代入 x0 中，準備用此新的 x0 再去求出一個新的x1 的值， 也就是用新的 x0 又求出一個新的平方根值 x1 ，此值將更趨近于真正的平方根值。4. 比較前后兩次求得的平方根值 x0 和 x

11、1 ，如果它們的差值小于我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1 就是 a 的平方根值，去執(zhí)行步驟5 ；否則執(zhí)行步驟 2 ，即循環(huán)進行迭代。f(x)=0 ，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價的形式x=g(x) ，然后按以下步驟執(zhí)行：1)選一個方程的近似根，賦給變量x0 ；2)將 x0 的值保存于變量 x1 ，然后計算 g(x1) ，并將結(jié)果存于變量x0 ；3)當 x0 與 x1 的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟(2)的計迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法。設(shè)方程為算。若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0 就認為是方程的根。上述算

12、法用C 程序的形式表示為：算法】迭代法求方程的根 x0= 初始近似根；do x1=x0 ；x0=g(x1)/* 按特定的方程計算新的近似根 */ while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)printf( “方程的近似根是 %fn ”， x0) ；迭代算法也常用于求方程組的根，令X= (x0 , x1，xn-1 )設(shè)方程組為：xi=gi(X) (1=0 , 1，n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：算法】迭代法求方程組的根 for (i=0;ix= 初始近似根 ;do for (i=0;iy=x;for (i=0;ix=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i

13、if (fabs(y-x)>delta)delta=fabs(y-x) while (delta>Epsilon) for (i=0;i printf（ “變量 x%d 的近似根是 %f”， I， x）； printf( “ n ”)；具體使用迭代法求根時應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：1 ） 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；（2 ）方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理, 也會導(dǎo)致迭代失敗。遞歸遞歸是設(shè)計和描述算法的一種有力的工具,由于它在復(fù)雜算法的

14、描述中被經(jīng)常采用，為此在進一步介紹其他算法設(shè)計方法之前先討論它。能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解,并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題,并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當規(guī)模N=1時，能直接得解。【問題】編寫計算斐波那契（Fib on acci ）數(shù)列的第 n項函數(shù)fib （ n ）。斐波那契數(shù)列為:0、 1、 1、 2、 3、，即:fib(O)=O;fib(1)=1;（當 n>1時）。fib( n)=fib( n-1)+fib( n

15、-2)寫成遞歸函數(shù)有:intfib(i ntn)if (n=0) return 0;if(n=1)retur n1;if(n >1)returnfib( n-1)+fib( n-2);遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)n）的求解。例如上例中,模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于求解 fib(n) ，把它推到求解 fib(n-1) 和 fib(n-2) 。也就是說，為計算 fib(n) ，必須先1 和 0。在遞推計算 fib(n-1) 和 fib(n- 2)，而計算 fib(n-1) 和 fib(n-2) ，又必須先計算 fib(n-3)

16、和 fib(n-4) 。依次類推，直至計算 fib(1) 和 fib(0) ，分別能立即得到結(jié)果階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib 中，當 n 為 1 和 0 的情況。在回歸階段，當獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(O)后，返回得到 fib(2)的結(jié)果，在得到了 fib(n-1)和fib(n -2) 的結(jié)果后，返回得到 fib(n) 的結(jié)果。在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當前調(diào)用層，當 遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由

17、于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n 項的函數(shù) fib(n) 應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第 n 項。問題】 組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、 n 中任取 r 個數(shù)的所有組合。例如 n=5 ，r=3 的所有組合為：1)5、4、32)5、4、 2 (3)5、4、14)5、3、25) 5、3、16) 5、2、17) 4、3、28)4、3、19)4、2、110 ) 3、 2、1分析所列的 1

18、0 個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為 void comb(int m,int k) 為找出從自然數(shù)1、2、 m 中任取 k 個數(shù)的所m-1 個數(shù)中取 k-1 數(shù)有組合。當組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的的組合。 這就將求 m 個數(shù)中取 k 個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求 m-1 個數(shù)中取 k-1 個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在ak 中，當一個組合求出后， 才將 a 中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素

19、，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb 。程序】# include# define MAXN 100int aMAXN;void comb(int m,int k) int i,j;for (i=m;i>=k;i-) ak=i;if (k>1)comb(i-1,k-1);else for (j=a0;j>0;j-)printf( “ %4d ” ,aj);pnntf( “ n ” );voidmai n() a0=3;comb(5,3);【問題】 背包問題問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物

20、品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和 最大。設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、 vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option，該方案的總價值存于變量maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop。假定當前方案已考慮了前i-1件物品,tw ;至此，若其余物品現(xiàn)在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，

21、繼續(xù)考察當前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。對于第 i 件物品的選擇考慮有兩種可能：1） 考慮物品 i 被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。2 ） 考慮物品 i 不被選擇，這種可能性僅當不包含物品更大的方案的情況。按以上思想寫出遞歸算法如下： /* 考慮物品 i 包含在當前方案中的可能性*/i 也有可能會找到價值tv）try（ 物品 i ，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值if（ 包含

22、物品 i 是可以接受的 ） 將物品 i 包含在當前方案中；if （itry（i+1,tw+ 物品 i 的重量 ,tv）;*/else/* 又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案以當前方案作為臨時最佳方案保存恢復(fù)物品 i 不包含狀態(tài)；/* 考慮物品 i 不包含在當前方案中的可能性*/if （ 不包含物品 i 僅是可男考慮的 ）if （itry（i+1,tw,tv- 物品 i 的價值 ） ；else*/* 又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案以當前方案作為臨時最佳方案保存為了理解上述算法，特舉以下實例。設(shè)有4 件物品，它們的重量和價值見表：物品 0 1 2 3重量

23、5 3 2 1價值 4 4 3 1并設(shè)限制重量為 7 。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個 解，算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會 在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：程序】# include# define N 100double limitW,totV,maxV;int optionN,copN;struct double weight;double value;aN;int n;void find(int i,double tw,double tv) int k;/* 考慮物品 i

24、包含在當前方案中的可能性*/if (tw+a.weight<=limitW) cop=1;if (i else for (k=0;k optionk=copk;maxv=tv;cop=0;/* 考慮物品 i 不包含在當前方案中的可能性*/if (tv-a.value>maxV) if (i else for (k=0;k optionk=copk;maxv=tv-a.value;void main()doublew,v;printf(輸入物品種數(shù) n ” );scanf(%d ” ,&n);printf(輸入各物品的重量和價值n ” );for (totv=0.0,k=0;

25、k scanf( “ %1f%1f ” ,&w,&v);ak.weight=w;ak.value=v;totV+=V;printf( “輸入限制重量 n ” );scanf( “ %1f ” ,&limitV);maxv=0.0;for (k=0;kfind(0,0.0,totV);for (k=0;kif (optionk)printf( “ %4d ” ,k+1);printf( “ n總價值為 %.2fn ”,maxv);作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進

26、i 的考察有步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品 這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當前正在形成的候選解 中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好tp的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選 解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進一步考慮下 一個物品。程序】# include# define N 100double limitW;int copN;struct ele double weight;double value; aN;int k,n;struct int ;doubletw;doubletv;twvN;void next(int i,double tw,double tv) twv.=1;twv.tw=tw;twv.tv=tv;double find(struct ele *a,int n) int i,k,f;double maxv,tw,tv,totv;maxv=0;for (totv=0.0,k=0;ktotv+=ak.value;next(0,0.0,totv);i=0;While (i>=0) f=twv.;tw=twv.tw;t