不等式的概念和基本性質(zhì)

1、不等式的概念和基本性質(zhì)重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì) 難點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用主要內(nèi)容:1.不等式的基本性質(zhì)(1) ab obb,bc nac (3) a+bc Oab Oa+cb+c(4) ab2.不等式的運(yùn)算性質(zhì)(1)加法法則:ab,cd =a+cb+d(2)減法法則:ab,cd na-db-c(3)乘法法則:ab0,cd0=acbd0(4)除法法則:a bab0,cd0 Q 0(5)乘方法則:ab0,a nb n0 (n N, n 2)(6)開(kāi)方法則:ab0,刼 躬 0 (n N, n 2)3 .基本不等式(1) a R,a2 X)（當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取等號(hào)）(2) a,b R,a2+b2 2a

2、b(當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取等號(hào))Ct + b(3) a,b R+,2X厲（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）(4) a,b,c R+,a3+b 3+c3 3abc(當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c 時(shí)取等號(hào))a + b + c(5) a,b,c R+,?X阪（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）(6) |a|-|b| w|a b| w|a|+|b|4.不等式的概念和性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換,證明不等式和解不等式的依據(jù)，應(yīng)正確理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì)，弄清每條性質(zhì)的條件與結(jié)論，注意條件與結(jié)論之間的關(guān)系?；静坏仁娇梢栽诮忸}時(shí)直接應(yīng)用。例1對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c判斷以下命題的真假(1)若ab,貝U acbc 2,貝U ab;(3)若ab

3、abb 2;(4)若 ab|b|;(5)若ab, 5卜,則 a0, bbc 2,所以CM0,從而c20，故原命題為真命題。（3）因?yàn)閍 chxo所以a2ab所以abb 2綜合得a2abb 2故原命題為真命題.（4）兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.故原命題為真命題.(5)因?yàn)镈 cJ b所以從而abb所以 a0, b0.故原命題為真命題.例 2 .已知 f(x)=ax 2-c 且-4 wf(1)w-1 , -1 f(2) W5,求 f(3)的范圍.解：由題意可知:05f(3)=9a-c=? f(2)- f(1)運(yùn)算可知-1 wf(3) 201-4錯(cuò)解：依題設(shè)有(tw館消元，得lc7f(3)=9a-

4、c-7 f(3) 0從而H0從而Gv 47 + b2=0從而AQ綜上所述，當(dāng)a, b為不相等的正實(shí)數(shù)時(shí),HGA G + “ I應(yīng)a-b|故而更接近例5 .船在流水中在甲地和乙地間來(lái)回駛一次平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么?解：設(shè)甲、乙兩地的距離為S,船在靜水中的速度為u，水流速度為v( uv0 )則船在甲、乙兩地行駛的時(shí)間t為:t=燈+V + 一卩=平均速度山=28宀以 7-u=-u=從而船在流水中來(lái)回一次的平均速度小于船在靜水中的速度.練習(xí)1 .若a,b,c為實(shí)數(shù)，判斷下列命題的真假(1)若 ab,則 ac2bc 2;(2 )若 ab0，則盤(pán) 占;h (3)若 abb ;(4)若

5、ab0，則 E ab0 ，則口7 0,4y (id*x+ y 4命題乙xy 0(2)命題甲y2；命題乙椚4命題甲與命題乙的充分必要條件.(1)命題甲2 .設(shè)x,y R,判定下列兩題中,3. a R 試比較 3(1+a2+a4)與(i+a+a 2)2 的大小.4. ai, mn0 ，比較 am+門和an+吃的大小.5 .已知函數(shù)y=f(x), x R滿足(1)對(duì) x R,都有 f(x) 2 ;(2 )對(duì) xi R, X2 R,都有 f(x i+X2)f(xi)f(x 2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)xi, X2，都有：lgf(x i+X2)wigf(x i)+lgf(x 2)參考答案1 .解(1)T C2

6、,當(dāng)c=0時(shí)ac2=bc 2=0故原命題為假命題(2)舉特例-2-i-i故原命題為假命題(3)由于 ab0丨 a故原命題為假命題(4)v abab0c-bc-a00又ab0.工-說(shuō)-b故原命題為真命題.2 .解(1)當(dāng) x0, y0 時(shí)，很明顯 x+y0, xy0當(dāng)xy0時(shí)，x,y同號(hào)；又x+y0，可知x, y同正，即x0, y0.因此：命題甲是命題乙的充要條件.(2)T x20 , y20 x+y4, xy4但是: 反例如下：x=5, y=i, 這時(shí) x+y=64, xy=54, 但 x2, y0.3(i+a 2+a4)(i+a+a 2)21 1 1 14 .解：(am+)-(a n+ )=

7、(a m-an)+( )= 由 ai, mn0 可知 ama n ,am+n i.(am+ 由)-(a n+由)0 即：am a n+5 .證明：設(shè) xi R, x2 R.f(Xi)f(X2)-f(X i)+f(x 2) = f(xi)2-i+f(x 2)2-i 對(duì)任意x RfM2 -i f(x i)f(x2) F(x i)+f(x 2)再由條件(2) f(xi+x2)Wf(xi)+f(x 2).對(duì)任意實(shí)數(shù) xi RX2 R 有: f(x i+x 2)wf(x 1)x2)lgf(x i+x 2)wigf(x i)f(X2)=lgf(x i)+lgf(x 2)從而對(duì)任意實(shí)數(shù) xi R, X2 R

8、 有：lgf(x i+x 2)lgf(x i)+lgf(x 2)不等式綜合能力測(cè)試一、選擇題:1 .設(shè) I=R，集合 M=x|lg(x+1)WO,則 M 等于()A、(- 8,-1) U (0,+ S)B、(- 8,0C、(- 8,-1) U 0,+ 8)D、(- 8,0)2 .若函數(shù)y=igi+log 12 （1+log2x）的值域?yàn)镽+，則其定義域?yàn)椋ǎ〢、R+B、(1,+ 8)C、(2 ,+ 8)D、(2 ,1)3 .使方程cos2x+sinx=a有實(shí)數(shù)解的a的取值范圍是（）A、(- 8, SS_9-1, h C、0,亍SD、-2,亍4 .已知函數(shù):(1) y=x+X (x 丸)，y=c

9、osx+ 匸0：兀(0x0), y=(1+cotx)(2 +2tgx)(0xbc，則有（）A、|a|b|c|B、|a|b|c-b|a+b|b+c|6 .不等式Jl- ax+1的解集是（A、x|-1 wx W1B、x|0 x1C、x|x 0 且 a 工1)的大小關(guān)系是10 .不等式Ig(x2+2x+2)1 的解集是 11 .函數(shù) y= J? 1 2+arcsin(2x-3)的定義域?yàn)榻獾迷坏仁降慕饧癁閤|x0或1x2或2x4 .12 .不等式x T |2- 3 |的解集是三、解答題log J2|113 .解不等式兀4H 0.14 .如果 0a1,0b1,0c0.16 .已知 |a|1, |b|

10、1, |c|1, 求證:i3r + 占 + C + abc11 + 盤(pán)占 + &： + 口3 |log a(1+)10. x|-4x2311. 1,空312. x|x03-0w(4 )3.(2)0,14 .假設(shè)(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 同大于 4 , abc(1-a)(1-b)(1-c)(4 )3.a i-i-a 1111又 a(1-a) w(2)2= 4 ,即 a(1-a) w4，同理 b(1-b), c(1-c) w4 ,. abc(1-a)(1-b)(1-c) 與矛盾，所以結(jié)論成立.齊1-/15 .設(shè) x=tan(-90 90 ),則 J1 十卅=sin , 1 +

11、F =cos2，原不等式化為 sin +cos2即 2sin 2 -sin -10,Irr JTjy- - 2 sin 1.- 6 -號(hào).故 原不等式的解集是(-3，+ ).df + A + C+ abc11 +At； + 芒兌 |11a2+b 2+c2+a 2b2c20,即 原不等式成立.設(shè) M=lg(y lgx)=|gx lgy, t x, y X旅, lgx0, lgy0Ig A+lgy M w(Ig矽2)2=( 丁)2 = 1,當(dāng) x=y=10 時(shí)等號(hào)成立，又 xy=100,/ lgx+lgy=2 / M=-(lgx-1)2+1,丄 丄 1 2由, y X航，得 lgx X , lgy X , lgx J ,空當(dāng) lgx=2 或 |gx=3空時(shí)，M有最小值4 ,3故lg