三角形五心及其性質(zhì)

1、.三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。三角形垂心的性質(zhì)設(shè) ABC的三條高為AD BE CF,其中D E、F為垂足，垂心為H,角 A B、C的對(duì)邊分別為 a、b、c, p=（a+b+c）/2 .1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心;3、垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在 ABC的外接圓上。4、 ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組（每組四個(gè)）相似的直角三角形，且 AH?HD=BHHE=CHHR5、H、A B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂6、心（并稱這樣的四點(diǎn)為

2、一一垂心組）。 ABC ABH BCH ACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過 H的直線交AB AC所在直線分別于P、Q 貝J AB/AP?tanB+AC/AC?tanC二tanA+tanB+tanC。8 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。9、設(shè)0, H分別為 ABC的外心和垂心，則/ BAO=/ HAC / ABH二/ 0BCZ BC0M HCA10、銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。11、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形（頂點(diǎn)在原三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。12、西姆松定理（西姆松線）

3、：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。13、設(shè)銳角 ABC內(nèi)有一點(diǎn)T那么T是垂心的充分必要條件是P B* PC*BC+PB* PA*AB+PA*P C*AC=AB*BC*CA垂心的向徑定義設(shè)點(diǎn)H為銳角三角形ABC的垂心，向量OH=h向量OA=a向量OB=b 向量 OC=c則 h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC).垂心坐標(biāo)的解析解:設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a1，b1）（a2，b2）（a3，b3），那么垂心坐標(biāo) x= x/2/ , y=- y/2/。其中,二det(x2-x1 , x3-x2 ,y2-y1 ,

4、 y3-y2)；X二det(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y3-y2);y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2) y=det(x3-x2(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3);垂心的向量特征：三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)0,向量OA?OB=OBOC=OC 0A則點(diǎn)0是三角形的垂心證明由 0A?0B=0B0C 得OA?OB-OCOB=0(OA-OC)?OB=0CA?OB=0即OB垂直于AC邊同理由O召OC=O?OA可得OC垂直于AB邊由OA?OB=O?OA 得OA垂直于BC

5、邊顯然點(diǎn)O是三角形的垂心三角形的重心重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過程又是 塞瓦定理 的特例。三角形重心已知： ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于0,CO延長(zhǎng)線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。證明：根據(jù)燕尾定理，SA AOB= AOC又SA AOB=S BOC SA A0C= B0C再應(yīng)用燕尾定理即得 AF=BF命題得證。重心的幾條性質(zhì):1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2： 1。2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4. 在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)

6、平均，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+ Y2+Y3)/3);空間 直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y 2+Y3)/3 豎坐標(biāo):(Z1+Z2+Z3) /35. 重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。證明：剛才證明三線交一時(shí)已證。6. 重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。其它規(guī)則圖形的重心注：下面的幾何體都是均勻的，線段指細(xì)棒，平面圖形指薄 板。三角形的重心就是三邊中線的交點(diǎn)。線段的重心就是線段的中點(diǎn)。平行四邊形的重心就是其兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是兩對(duì)對(duì)邊 中點(diǎn)連線的交點(diǎn)。平行六面體的重心就是其四條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是六對(duì)對(duì)棱 中點(diǎn)連線的交點(diǎn)

7、，也是四對(duì)對(duì)面重心連線的交點(diǎn)。圓的重心就是圓心，球的重心就是球心。錐體的重心是頂點(diǎn)與底面重心連線的四等分點(diǎn)上最接近底 面的一個(gè)。四面體的重心同時(shí)也是每個(gè)定點(diǎn)與對(duì)面重心連線的交點(diǎn)，也是每條棱與對(duì)棱中點(diǎn)確定平面的交點(diǎn)。圖 3-115三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心叫做旁心。旁心是一個(gè)三角形內(nèi)角平分線 與其不相鄰 的兩個(gè)外角平分線的 交點(diǎn)，它到三角形三邊的 距離相等。如圖， 點(diǎn)M就是 ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定 在三角形外。若設(shè)0為 ABC的旁心，用向量表示則有 aOA二bOB+cOC1、三

8、角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即 內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線 交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點(diǎn)到角兩邊內(nèi)心定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的 角平分線 交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三 角形的內(nèi)心。注意到內(nèi)心到三邊距離相等（為內(nèi)切圓半徑）,內(nèi)心定理其實(shí)極易證。若三邊分別為11 ,12 ,13，周長(zhǎng)為P,則內(nèi)心的 重心坐標(biāo) 為(11/ p,l2/p,l3/p)直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊 的差的二分之一。雙曲線上任一支上一

9、點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí) 軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。三角形內(nèi)心 的性質(zhì) 設(shè)/ABC的內(nèi)切圓為。O（半徑r），角A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c, p=（a+b+c）/2。1、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑3、r=S/p。證明：SA ABC=S OAB+S OAC+S OBC=(cr+b葉ar)/2二rp.即得結(jié)論。 ABC中，/ C=90°, r=(a+b-c)/2。5、/ BOC=90 +A/2。6、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn) O是/ ABC內(nèi)心的 充要條 件是:a（向量 OA）+b（向量 OB）

10、+c（向量 OC）二向量0。7、點(diǎn)0是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是/ ABC內(nèi)心的充要條件是:向量 Ol=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c)。8 / ABC 中，A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3)，那么 /ABC內(nèi)心 I的坐標(biāo)是:(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。9、（歐拉定理）/ ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，0和I分別為其 外心和內(nèi)心，則 01八2=RA2-2Rr 。10、（內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度

11、關(guān)系）角平分線分對(duì)邊與該角的兩邊成比例。證明： ABC中，AD是/ A的角平分線， D在BC上，abc是角的對(duì)邊 ABC, d=AD。由于正弦定理 b/sinB=c/sinC d=R1sinB二R2sinC , R1是 ABD的外接圓半徑， R2是 ACD的外接圓半徑，所以 R1/R2=sinC/sinB二c/b.又 BD=R1sinBAD,CD=R2sinCAD,/ CAD2 BAD 所以 BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就在這個(gè)外接圓上a、b、三角形外心的性質(zhì)設(shè)/ABC的外接圓為。

12、G(R)，角A、B、C的對(duì)邊分別為c， p二(a+b+c)/2 .1:( 1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi);(2)直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合;(3 )鈍角三角形的外心在三角形外2:Z BGC二N A,(或/ BGC=2(180° - / A).3:點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn) G是/ABC外心的充要條件是:(向量GA+向量GB)-向量AB=(向量GB+向量GC)-向量BC=(向量GC+向量GA) 向量 CA=|向量0.4:點(diǎn)G是平面 ABC上一點(diǎn)，點(diǎn) P是平面ABC上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)G是/ ABC外心的充要條件是:(1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(