陜西師范大學(xué)練習(xí)1

1、陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院（網(wǎng)絡(luò)教育）課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)（一）一、單項(xiàng)選擇題1.如果 A B = A 一 B，則（C）。A. A 二 B B. A 二：B C. A = B D. A = B2設(shè)S =0,1,2，則S上的等價(jià)關(guān)系有（D ）個(gè)。A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 指出下列運(yùn)算（ C ）是對(duì)應(yīng)集合的二元運(yùn)算a*A.在有理數(shù)集 Q上，a bB.在非零有理數(shù)集 Q上，a'b = a-bbC.在有理數(shù)集Q上，a'b = a-b D.在非零有理數(shù)集 Q*上，a'b=：a2_b24. 下列集合（A ）對(duì)運(yùn)算a b = a - b-2作成交換群。A.整數(shù)集Z B.非零實(shí)

2、數(shù)集R* C.非零有理數(shù)集Q* D.非零整數(shù)集Z*5. 模6加群Z6的生成元有(A)個(gè)。A. 2 B. 3 C. 4 D. 56. 設(shè)G =(R*,)，下列( B )規(guī)則是群G的自同態(tài)映射。2 1A. x 2x B. x xC. X_ -x D. x x7. 下面( A )環(huán)是非交換環(huán)。A. (Mn(F), v)B. (Z, ,)C. (Zm, ',*)D.高斯整環(huán)8. 設(shè)F是域，且|F|=16，則F的特征為（A ）。A. 2 B. 3C. 49. 模12的剩余類環(huán)Z12中，子環(huán)（D. 8B ）無零因子。A. 0,6 B. 0,4,8C. 0,3,6,9 D. 0,2,4,6,8,10

3、10. 設(shè)R , R是兩個(gè)環(huán)，且R R，則下列命題中的錯(cuò)誤的是（C ）。A.若R是可換環(huán)，則R可換B.若R有單位元，則R有單位元C.若R無零因子，則 R無零因子.、計(jì)算題D.若a是R的逆元，則a象是R逆元。設(shè)匚,. S5，其中二=(123)(45),02345、T =。5 4 1 3 2,1. 求二的周期；2. 求二J及其周期;_13將二表示成形式為(1i)的2-循環(huán)置換的乘積。提示：1因?yàn)?(123) =3, :(45)H 2,且(123)(45) = (45)(123), (2,3) =1故:(123)(45) =6 .1 A 12.二 =(.(1).(2) (3)( (4) . (5)

4、=(541)(32) =(154)(23) , U(二)=6；3二=(154)(23) =(14)(15)(12)(13)(12).三、計(jì)算與證明題設(shè)S3是三次對(duì)稱群。1. 把S3的所有元素寫成不相連的循環(huán)置換的乘積。2. 證明S3是階數(shù)最小的不可換群。提示：1.S3 二(1),(12),(13),(23),(123),(132)；2、利用拉格朗日定理及每個(gè)元素的平方是單位元是可換群，素?cái)?shù)階群一定是循環(huán)群。四、證明題假定是一個(gè)群 G的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并且對(duì)于 G 的任意三個(gè)元 a, x, y來說，有 axay= xy。證明：與G的單位元e等價(jià)的元所作成的集合是G的一個(gè)子群。提示：設(shè)H=e,

5、由于是等價(jià)關(guān)系，故ee,即e H -4 分；一 a, b H ,貝U ae, b e 因而 aea', be bb，由題設(shè)可得ea ' , eb',-10 分；由對(duì)稱性及傳遞性得b，a',a'ab_a_e,再由題設(shè)得a b-1e即 a b H ,那么與G的單位元e等價(jià)的元所作成的集合 G的一個(gè)子群五、證明題設(shè)群G=(a)且a的周期是n .證明：對(duì)n的每一個(gè)正因子k ,有且只有一個(gè)k階子群。提示：對(duì)n的每一個(gè)正因子k ,則|ak |=k，令H =(ak)，則H是G 一個(gè)k階子群；設(shè)M =(am)是G任一個(gè)k階子群，則amk=e ,于是n | mk ,因而-

6、| m ,從而knn(am)H =(ak)，-10 分然而 | H |=| M |，因而，M = H = (ak)，從而 G 有且只有一個(gè)k階子群。六、證明題設(shè)G是一個(gè)階大于1的群,證明：G只有平凡子群當(dāng)且僅當(dāng) G為素?cái)?shù)階循環(huán)群。提示：充分性，由Lagrange定理知，顯然成立。必要性，因?yàn)閨G| 1，所以存在aG,a=e。設(shè)H = (a)，則H =e，但是H G， 由假設(shè)，H二G ;若| a | - ：，則(a若 | a |= n 是合數(shù)，即 n = mn2， n>1, n2，則 | an |= n2，從而(an1)是 G 的非平凡子群與假設(shè)矛盾。因此G為素?cái)?shù)階循環(huán)群。七、證明題(20

7、分)假定Rx是整數(shù)環(huán)R上的一元多項(xiàng)式。1.寫出Rx的理想(2,x)所含元素形式.2. 證明：(2,x)不是Rx主理想.3. 證明：若R是有理數(shù)域，那么(2,x)是Rx的一個(gè)主理想.4. (x)是不是Rx的最大理想？若R是有理數(shù)域時(shí)，情形如何？提示：1、(2,x)剛好包含所有多項(xiàng)式：2a0 anxn,(a- R,n 0).2、假定(2,x)是主理想，即(2,x)=(p(x)那么 2 (p(x),(p(x),因而 2 = q(x) p(x), x = h(x) p(x)但由 2 = q(x)p(x),可得 p(x) = a R ,即a 二 1, x 二 h(x)a 這樣 一1 二 p(x) (2,

8、 x)是矛盾的. 13、 若R是有理數(shù)域，那么Rx包含有理數(shù)，于是 2 =1 (2,x),因而它的理想 2(2,x)含有單位元1,因此(2,x)等于主理想(1).4.(x)不是Rx的最大理想，若R是有理數(shù)域時(shí)，(x)是Rx的最大理想八、寫出Z20的所有理想和最大理想。答案：Z20 的理想：H1 二0，H2=Z20，H3 二0,4,8,12,16)是G的非平凡子群，與假設(shè)矛盾；H 4 = 0,2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, H 5 二 0, 5, 10, 15,H6 = 0,10 ; Z20 的最大理想： H =0,5,10,15,H 4 = 0,2, 4, 6,

9、 8, 10, 12, 14, 16, 18九、證明：在一個(gè)沒有零因子的環(huán)R里所有不等于零的元對(duì)于加法來說的階都是一樣的。提示：如果R里所有不等于零的元對(duì)于加法來說的階都是無限大，那么結(jié)論成立；假定R*中的某個(gè)元a的階是有限整數(shù)，而b是環(huán)R里任意不等于零的元，那么由(n a)b =a( nb)=0及R是無零因子的環(huán)知 n b=0，所以b的階乞a的階，同理a的階 目b的階，即有a的階二b的階，從而結(jié)論得證。十、證明：有理數(shù)域 Q是所有復(fù)數(shù)a bi，其中a,b是有理數(shù)，作成的域 R(i)的唯一的真 子域。答案：設(shè)F是域R(i)的一個(gè)真子域，由于有理數(shù)域Q是最小數(shù)域，則Q F ；若Q = F ,則存

10、在a bL F, b = 0。于是i = b J(a bia F，所以F = R(i)矛盾，從而有理 數(shù)域Q是R(i)的唯一的真子域。陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院(網(wǎng)絡(luò)教育)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)(二)二、判斷題1、 門是集合A1 A2 An到集合D的映射，則A(i =1,2，n)不能相同。2、集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系決定 A的一個(gè)分類。3、 在環(huán)R到環(huán)R的同態(tài)滿射下，則 R的一個(gè)子環(huán)S的象S不一定是R的一個(gè)子環(huán)。4、任何一個(gè)子群都同一個(gè)變換群同構(gòu)。5、設(shè)N為正整數(shù)集，并定義a a b ab (a,b N)，那么N對(duì)所給運(yùn)算 能作成 一個(gè)群。提示：1、X,2、V3 、X4、“5、“三、證明題1、設(shè)G是整數(shù)環(huán)Z上

11、行列式等于1或-1的全體n階方陣作成集合， 證明：對(duì)于方陣的普通 乘法G作成一個(gè)群。提示：證：G顯然非空，又任取 A , BE G，貝U A = ±1, B = ±1，于是AB是整數(shù)方陣， 且AB=|AB=±1,故AB ，即G對(duì)乘法封閉。結(jié)合律顯然成立，且E是G單位 丿元。又設(shè)A G，由于A是整數(shù)方陣，故 A的伴隨矩陣 A”也是整數(shù)方陣；又A=±1,故Aa = A = ±，即AA也是整數(shù)方陣，即 G中每一個(gè)元在 G中都有 IA逆元，從而證得 G作成一個(gè)群。2、 證明：在群 G中只有單位元滿足方程x2 =x。提示：設(shè)e是群G的單位元，則e顯然滿足

12、方程另外設(shè) a，G,且a2 =a，則有aa2二aa即a=e,即只有e滿足方程x2 = x。3、設(shè)G=(a)是循環(huán)群，證明：當(dāng) a =閔時(shí)，G=(a)與整數(shù)加群同構(gòu)。提示：設(shè)a| =比，則當(dāng)m式n時(shí)，a an，于是映射：am t m就是g=( a)到整數(shù)加群Z的一個(gè)一一映射。又 am an =am4nT m + n，故是G到Z的同構(gòu)映射。即 G=( a)與整數(shù)加群Z同構(gòu)。4、 設(shè)R是一個(gè)有單位元1的環(huán)，a,bR,證明：如果1 ab在R中有逆元，貝U 1 ba在R 中也有逆元。提示： 令 c 是 1+ab 的逆元，則有：c (1+ab) =(1+ab) c=1 或：c-1+cab=c-1+abc=

13、0,于是有：(1-bca) (1+ba)=1-bca+ba-bcaba=1-bc-1+cab=1同理有：(1+ba) (1-bca)=1.即 1-bca 是 1+ba的逆元。5、 證明：高斯整環(huán) Z a bi | a, Z ?中的單位有且只有 一1 , - i。提示：二1,二i顯然是Zi的單位，設(shè)x=a+bi是Zi中的任意單位，則存在y=c+di ：= Zi使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)2 2 2 2 2從而 ac-abd 二 a 又 ad= -)c 代入前式有：(a ，b)c = a

14、，即(a b ) |a若 a=0,則由(1)有 bd= -1,只有 b= ± 1,即卩 x = ±i。若a=0，則由(a2，b2)|a得b=0, a=1，即卩x=1,因此證得：Zi的單位元只有 士 1, = i。四、解答題1、A = "1,2,3100：',找一個(gè) A A的一個(gè)滿射。解：G :(%宀2)；mi n玄勺衛(wèi)?,玄勺衛(wèi)？ A，就是一個(gè) A A到A的一個(gè)滿射。2、設(shè)R2為所有實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)作成的集合，對(duì)運(yùn)算 (a,b)'(c,d) =(a c,b-d) , R2能否構(gòu)成群，說明理由。a =(0,0),b = (0,0),c = (0,1)

15、3、設(shè)H是G的一個(gè)非空子集，且H 2二H1)H是否為G的一個(gè)子群?證明：當(dāng)H有限時(shí)，H是G的子群。提示：解1) H不一定是群G的子群，例:2)心曰 疋疋Z Z為整數(shù)域。對(duì)矩陣普通乘法作成一個(gè)群，而J'1 0"彳T廣121n 、<0 1Q 1丿<0 1<0 1 丿：2H=丿為G的一個(gè)非空子集,易知有 H2H不是G的子群,(1在H中沒有逆元。2)當(dāng)H有限時(shí)，則H是G的子群。任取a,b H，由于H 2H，而 ab H 2 = H即ab三H即H對(duì)乘法運(yùn)算圭寸閉，即H是G的子群。4、設(shè)R是由數(shù)域F上一切形如<b2b的二階方陣作成的集合,問:R對(duì)矩陣的普通加解：R

16、2不能作成群，因?yàn)樗o運(yùn)算不滿足結(jié)合律，例：取 則 a (b c) =(0,0) (0,-1) =(0,1) (a b) c = (0,0) (0,1) = (0,_1) a (b c-(a b) c 即結(jié)合律不成立，不能作成群。法和乘法是否作成環(huán)或域?為實(shí)數(shù)域時(shí)，方陣R不能作成域，但提示：易知R作成一個(gè)有單位元的可換環(huán)，但不一定作成域，如：當(dāng)廠 式0 ,屬于R但A=0 ,故A在R中沒有逆元，從而 :9是當(dāng)F為有理數(shù)域時(shí)，R可以作成域。陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院(網(wǎng)絡(luò)教育)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)(三)二、判斷題1、 門是集合A1氏An到集合D的映射，則A(i =1,2/ n)不能相同。2、集合A的一個(gè)等價(jià)

17、關(guān)系決定 A的一個(gè)分類。3、 在環(huán)R到環(huán)R的同態(tài)滿射下，則 R的一個(gè)子環(huán)S的象S不一定是R的一個(gè)子環(huán)。4、任何一個(gè)子群都同一個(gè)變換群同構(gòu)。5、設(shè)N為正整數(shù)集，并定義a a b ab (a,b N)，那么N對(duì)所給運(yùn)算'能作成一個(gè)群。提示：1、X,2、V3 、X4、“5、“三、證明題1、 設(shè)G是整數(shù)環(huán)Z上行列式等于1或-1的全體n階方陣作成集合， 證明：對(duì)于方陣的普通乘法G作成一個(gè)群。提示：G顯然非空，又任取 A , BEG，貝U A =±1, B =±1，于是 AB是整數(shù)方陣，且AB = A B = ±1,故AB G，即G對(duì)乘法封閉。結(jié)合律顯然成立，且E是G

18、單位元。又設(shè)A G，由于A是整數(shù)方陣，故 A的伴隨矩陣 A"也是整數(shù)方陣；1又A二1,故A亠 A二 A ,即AA也是整數(shù)方陣，即 G中每一個(gè)元在 G中都有 IAI逆元，從而證得 G作成一個(gè)群。2、證明：在群 G中只有單位元滿足方程 x2 =x。提示：設(shè)e是群G的單位元，則e顯然滿足方程另外設(shè) aG,且a2二a，則有aa2二a'a即a=e,即只有e滿足方程x2 =x。3、 設(shè)G= (a)是循環(huán)群，證明：當(dāng)a =叱時(shí)，G= (a)與整數(shù)加群同構(gòu)。提示：設(shè)a| =°°，則當(dāng)m式n時(shí)，a an，于是映射：am t m就是g= (a)到整數(shù)加群Z的一個(gè)一一映射。又

19、am aam nm n，故G是G到Z的同構(gòu)映射。即G= (a)與整數(shù)加群Z同構(gòu)。4、 設(shè)R是一個(gè)有單位元1的環(huán)，a,b R,證明：如果1 ab在R中有逆元，貝U 1 ba在R中也有逆元。提示： 令 c 是 1+ab 的逆元，則有： c (1+ab) =(1+ab) c=1 或：c-1+cab=c-1+abc=0,于是有：(1-bca) (1+ba)=1-bca+ba-bcaba=1-bc-1+cab=1同理有：(1+ba) (1-bca)=1.即 1-bca 是 1+ba的逆元。5、證明：高斯整環(huán) Z a bi | a, Z "中的單位有且只有 -1 , - i。xy=(a+bi)(

20、c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1), 2 2 2 2 2從而 a c abd 二 a 又 ad= -bc 代入前式有：(a b )c = a，即(a b ) |a若a=0,則由(1)有bd= -1,只有b= ±1,即卩x = ±i。若a = 0，則由(a亠b ) |a得b=0, a=二1，即x=二1，因此證得：Zi的單位元只有 二1,二i。四、解答題1、A1,23100 1,找一個(gè)A A的一個(gè)滿射。提示：G : (a1,a2)min a1,a2, a1)a A，就是一個(gè) A A到 A 的一個(gè)

21、滿射。2、 設(shè)R2為所有實(shí)數(shù)對(duì)(x, y)作成的集合，對(duì)運(yùn)算 (a,b) (c, d (a c,b-d)， R2能否構(gòu)成群，說明理由。提示：R2不能作成群，因?yàn)樗o運(yùn)算不滿足結(jié)合律，例：取 a =(0,0),b =(0,0),c = (0,1)則 a (b c) =(0,0) (0,-1) =(0,1) (a b) c = (0,0) (0,1) = (0,-1) a (b cp=(a b) c 即結(jié)合律不成立，不能作成群。3、設(shè)H是G的一個(gè)非空子集，且H 2 = H1)H是否為G的一個(gè)子群?2)證明：當(dāng)H有限時(shí)，H是G的子群。 提示：1)H不一定是群G的子群，例：1 mG=m w Z 為整數(shù)

22、域。對(duì)矩陣普通乘法作成一個(gè)群，而2 1丿 J1 0、11(12)1 n) 1H=，卜為G的一個(gè)非空子集，易知有 H 2 = H，但衛(wèi)1丿Q 1丿2 1丿<0 1丿JH不是G的子群，11在H中沒有逆元。<0 1丿2)當(dāng)H有限時(shí)，則H是G的子群。任取a,b H，由于H 2 = H，而ab H 2二H即ab H即H對(duì)乘法運(yùn)算封閉，即 H是G的子群。4、設(shè)R是由數(shù)域F上一切形如a<b2b的二階方陣作成的集合,問:R對(duì)矩陣的普通加法和乘法是否作成環(huán)或域?提示：易知R作成一個(gè)有單位元的可換環(huán)，但不一定作成域，如：當(dāng) F為實(shí)數(shù)域時(shí)，方陣 A = P22 式0 ,屬于R但厲=0 ,故A在R中

23、沒有逆元，從而 R不能作成域，但是當(dāng)F為有理數(shù)域時(shí)，R可以作成域。陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院(網(wǎng)絡(luò)教育)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)(四)一、判斷題1. 集合A的一個(gè)分類決定 A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。( V )2設(shè)Hi, H2均為群G的子群，貝U Hi_. H2也為G的子群。( X )3. 群G的不變子群N的不變子群M未必是G的不變子群。( V )4.環(huán)R的中心一定是環(huán)R的理想。(X)5.除環(huán)的子環(huán)也是除環(huán)。(X)二、計(jì)算題設(shè)乏S6，其中="1 234 56'。,3 541 62 ,1將匚分解成不相交輪換的乘積； 2.匚求的周期；3.求二-1。提示：1、二=(134)(256)=(14)(13)(2

24、6)(25);2、()=3 ; 3、匚，二(143)(265)。三、證明題若G群的每一個(gè)元都適合方程 x2二e。證明：G是交換群。提示：a，G ,因a2二e,而aa 4 =e,故a2二aa，由消去律知a J = a ; 任取 a,b G 則有 a 二a',b 二b，又(ab)'二 b'二 ba ,但 ab G , 故(ab)4 =ab 進(jìn)而，ab = (ab)'二 b'a '二 ba，即 G 是交換群.四、證明題假定群G的元a的周期是n.證明：ar的周期是,這里d=(r, n)是r和n的最大公 因子。dnnrr提示：首先(ar)d =ad =(a

25、n)d = e；r rmr im其次,若有自然數(shù) m ,使得(a )二e,則a =e,故n | rm ,-6 分又(n,r) = d ,故有整數(shù) s、t ,使得 n 二 sd, r 二 td ,且(s,t) = 1,那么 sd | tdm ,即 s |tm，但 (s, t) =1,故 s | m,即一| m,從而：(a )=dd五、證明題證明：階是素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群。提示：因p . 1，故存在a G , a的周期為 m . 1 ;又m | p ,而p是素?cái)?shù)，則m = p ,即G = (a).六、證明題假定G和G是兩個(gè)群，并且是G到G的同態(tài)滿射。1. 證明ker是群G的正規(guī)子群；2. 證明是同

26、構(gòu)映射當(dāng)且僅當(dāng) ker=e。提示：先證ker非空，其次證ker是子群;最后證ker的不變性。2、只證是單射即可。七、證明題一個(gè)至少有兩個(gè)元而且沒有零因子的有限環(huán)是一個(gè)除環(huán)。提示：由于R中乘法消去律成立，則(R*,)是有限半群，-5分；進(jìn)而R*關(guān)于乘法仍滿 足消去律，故 R*關(guān)于乘法是一個(gè)群，從而 R是除環(huán)。八設(shè)有理數(shù)域F上的全部2 2矩陣環(huán)為F22.證明：F22只有零理想同單位理想，但不是一個(gè)除環(huán).提示：設(shè)N是F22的一個(gè)理想并且 N =0,那么N含有2階矩陣A= 0.-2分若A的秩是2,那么A有逆A，,而AA二卩0GN,此時(shí)N"2 ； -5分<01丿若A的秩是1,則存在可逆矩

27、陣P和Q,使得PAQ =1£,又<0 0丿0<1 0丿10 0人1 0丿2 1丿50L N，因此'1 o jo 0 <0 0八0 J因而也有N = F22,這就是說F22只有零理想同單位理想，；但q 0 00 冷 00 II 匸I,<00人01丿10 0丿 所以F22又零因子，因而F22不是一個(gè)除環(huán)九、環(huán)R叫Boole環(huán)是指a2二a,-aR。證明：每個(gè)Boole環(huán)都是交換環(huán)并且 a a = 0, - a R。2 2答案：a R,a = a （- a，所以 a 亠a=0, a：=R；由于 一a, b R,（a b）2 = a2 b2 ab ba = a

28、b，即有 ab ba = 0,ab 二 ba。十、Z3是模3的剩余類所作成的集合。找出加群Z3的所有自同構(gòu)映射，再找出域Z3的所有自同構(gòu)映射。答案：對(duì)加群Z3的自同構(gòu)映射，自同構(gòu)映射必保持零元，所以有2個(gè)自同構(gòu)映射，1 : i 一； i, i 二 0,1,2;2 : 0 ； 0,1 ； 2,2 ； 1.對(duì)域Z3的自同構(gòu)映射，自同構(gòu)映射必保持零元和單位元，所以有1個(gè)自同構(gòu)映射,1 : i i ,i = 0,1,2;陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院（網(wǎng)絡(luò)教育）課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)（五）1.2。D3。 D 4。A 5。C 6。 B1. 如果 A B=AC, AB=AC ,則（C）。A. B C B. B二CC. B

29、=CD.B=C2. 設(shè) A 二1,2,3, B =a,b,c，則 A到 B 的映射個(gè)數(shù)有（D ）。A. 9 B. 6 C. 12 D. 273. 指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（D ）。a + b；A.在整數(shù)集 Z上，a bB. 在有理數(shù)集Q上，aababC.在正實(shí)數(shù)集 R匕，a°b = alnb D.在集合nZn 上, a"b=|a b4. 下面是交換半群，但不是群的是（A ）。A. （N, ） B. （Q, ） C. （Z*,）,其中是非零整數(shù)集合D. （C,）5. 設(shè)e是群G的單位元，a,b是G的兩個(gè)元素，則（ C ）。A. （ab） 4 = a 4b B. （ab） =

30、 a bC.若 a2 = e，則 a = a 二 D. ab = ba6. 精確到同構(gòu)，4階群有（B ）個(gè)。A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 以下命題中，正確的是(B )。A. 任意一個(gè)環(huán)R,必含有單位元B. 環(huán)R中至多有一個(gè)單位元C. 環(huán)R有單位元，則它的子環(huán)也有單位元D. 一個(gè)環(huán)與其子環(huán)都有單位元，則兩個(gè)單位元一定相同8. Z6的所有子環(huán)是( D)。A. 0, 0,3, 0,2,4 B. 0, Z6C. 0,0,3, Z6 D. 0, 0,3, 0,2,4, Z69. 在高斯整環(huán)Zi的下面理想中是素理想的是( D )。A. (5) B. (2) C. (9) D. (3)10.

31、數(shù)環(huán)Z中，n的相伴元是(C )。A.只有n B. 只有- n C. 只有n與- n D. 無數(shù)多個(gè)二、填空題1 設(shè)集合A有一個(gè)分類，其中A,與Aj是A的兩個(gè)類，如果A,-Aj,那么AAj二_。2設(shè)群G中元素a的階為m，如果an =e,那么m與n存在整除關(guān)系為 m|n。3凱萊定理說：任一個(gè)子群都同一個(gè)變換群同構(gòu)。4設(shè)F是一個(gè)有四個(gè)元的除環(huán)，則F的特征是2。5設(shè)R是有單位元的環(huán)，a，R , I是由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達(dá)為n ' Xi ay,其中 n Z+,Xi, yiR。i 二二、計(jì)算題1 .設(shè)9次置換-<56 7 8 98 9 4 2(1) 將二表成互不相交的輪換乘

32、積;(2) 將二表示成形式為對(duì)換的乘積;(3) 求出二的逆與的階。提示：(1)=(15)(2379)(468),(2)二=(15)(29)(27)(23)(48)(46) ( 3)(15)(9732)(864)二 F 12。2設(shè)S3是三次對(duì)稱群，H =(1),(12)是S3的子群。(1)求出S3關(guān)于H的所有左陪集和右陪集;(2)寫出S3的所有子群與正規(guī)子群。提示：左陪集：H 二(1),(12) ; (13)H =(13),(132) ; (23)H =( 23),(123) -3 分 右陪集：H 二(1),(12) ； H (13) =(13),(123) ； H (23) =( 23),(1

33、32)-6 分 子群：H1 =(1), H2 =(1),(12)H3 二(1),(13), H4 二(1),(23), H5 二(1),(123),(132), HS3 六個(gè)子群；-12 分H1 =(1), H5 =(1),(123),(132), H6 二 S3三個(gè)正規(guī)子群。四、證明題1 證明：6階群至少有一個(gè) 3階子群。提示：設(shè)G是一個(gè)6階群，e是的單位元，由Lagrange定理，G的非單位元的階只能是2,3,或6.若G中非單位元的階皆為 2,則G是交換群。設(shè)a,b是兩個(gè)2階元，則e,a,b,ab 是G的4階子群這與Lagrange定理矛盾，所以 G中必有3階元或6階元。-8分；若b是 6

34、階元,則b2是三階元,因此G必有一個(gè)3階子群；若c是三階元，則G必有一個(gè)3階子群。2設(shè)是群G到群G的一個(gè)同態(tài)滿射，K二Ker : , H乞G,則，_1( (H ) = HK。提示：hk HK , (hkH (h) (k (h (H)，因此 hk '(H)，即HK 三1( (H) ； -4 分x (H)， 有 (x)(H),存在h H，使得(h (x),因此(h 4xH (h)4 (xH K ,存在 k K ,使得 h 'x 二 k,x =hk HK，即J( :(H ) HK，因此 *(宀)=HK。3假定R是由所有復(fù)數(shù)a - bi(a,b是整數(shù))作成的環(huán),(1)環(huán)R/(1 i)有

35、多少元？ (2) 證明：R/(1 i)是一個(gè)域.提示：R是有單位元的可換環(huán)，那么理想(1 i)的元素形式為(a bi)(1 i) =(a -b) (a b)i ,注意到a -b,a b同奇偶性；而且對(duì)任意的x + v v Xx yL R ,且x, y的奇偶性相同,設(shè)a-b=x,a，b = y,即a, b,2 2則x yk (1 i),因此(1 i)由一切x yi組成,其中x, y同奇偶性；-6分由此可見對(duì)任意的x yr R ,只要X, y同奇偶性，恒有xyi(1i) =(1i); 若x yr R ,且x, y奇偶性不相同,恒有xyi(1i) =1(1i),即R/(1 i) =0,1,從而R/(

36、1 i)是僅含有兩個(gè)元的域,即 R/(1 i)二 Z2.4. 假定R是偶數(shù)環(huán)。(1).證明：所有整數(shù)4r(r R)是的一個(gè)理想 N ;(2).證明:(4)是R的最大理想，但R/(4)不是一個(gè)域。提示：(1).顯然N非空；令41,4“是N的任意兩個(gè)元，由于偶數(shù)減偶數(shù)還是偶數(shù)，所以4 -4r2 =4(» -r2) N ,； 令r是R的任意元，由于偶數(shù)乘偶數(shù)還是偶數(shù)，所以r(4r1) =4(rr1p N ,因此N是R的一個(gè)理想；.(4)剛好含有一切4n,這里n是整數(shù).設(shè)M是R的一個(gè)理想，并且(4) M ,(4) = M ,那么有 2m M ,2m(4),由此有2m =4q - 2, 2m

37、-4q =2 N ,則N =(2) = R,這就是說是R的最大理想；在R/(4)中20, 而22 =4 =0,因此 R/(4)有零因子,因而 R/(4)不是一個(gè) 域.陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院(網(wǎng)絡(luò)教育)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)(六)二、判斷題1、 假如一個(gè)集合 A的代數(shù)運(yùn)算適合交換率，那么在aa2七3an里(a. A)，元的次序可以交換。2、 如果無零因子環(huán)的特征是有限正整數(shù)n,則n定是素?cái)?shù)。3、 在環(huán)R到R的同態(tài)滿射下，R得一個(gè)理想N的逆象N 定是R的理想。*12 3 4"4、S4的置換兀=是一個(gè)4循環(huán)置換。么14 3丿5、環(huán)R的非空子集S作成子環(huán)的充要條件是：1 )若 a,b S,則 a -

38、 b S ；2)a,b S,，則 ab S。三、證明題1、設(shè)G是由以下四個(gè)二階方陣作成的集合0b =廣10、10、,d =J1 0、a =c =b-be -b3 b證明：G對(duì)方陣的普通乘法作成一個(gè)交換群，并給出乘法表。提示：由題設(shè)可列乘法表：abcdaabcdbbadcccdabddcba由此表可知：方陣普通乘法是G的代表運(yùn)算，a是G的單位元，又由于對(duì)角線位置上的元素相等，故乘法可以交換，且每個(gè)元素G中都有逆元，結(jié)合率顯然成立。故G對(duì)方陣普通乘法作成一個(gè)交換群。2、 證明：在任意群G中，a與a"*有相同的階(a G)提示：設(shè)a G,且a的階為n即an = e (e是G的單位元)貝U：

39、 (a)n = a=(an)，二e，=e 即aJ的階也為n,反之亦然，即證得：a與a-1有 相同的階。3、 設(shè)G= (a)是循環(huán)群，證明：當(dāng) a =n時(shí)，G (a)與n次單位根群同構(gòu)。提示：設(shè)a G =(a)的階為n ,則易看出映射 沖：a"" em是G= (a)到n次單位根群(e) = 1,e,e2,en'(e為n次原根)的一個(gè)同構(gòu)映射，故 G= (a) = (e)。4、 設(shè)R是階大于1的可交換環(huán)，證明：當(dāng)R不含零因子時(shí)，Rx也不含零因子。提示：、證：因?yàn)榄h(huán)R的階大于1，故Rx有非零多項(xiàng)式，假如 Rx有零因子，即存在非零多項(xiàng)式 f(x), g(x) Rx，使 f(

40、x) g(x)=O，令 a = O,b = O 分別為 f (x) , g(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)，貝U f (x) g(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)為 ab,應(yīng)有ab=O ,(因f (x)g(x) =0 ),即a是R的零因子，這與 R元零因子矛盾，即若 R不含零因子時(shí)，Rx也不含零因子。5、證明：在整環(huán) Zi中5有唯一分解，并給出 5的一種分解。2提示：因?yàn)?±糾 =5為素?cái)?shù)，則1±2i （以及 ±2i,2±i-2±i ）是Zi的不可約元,且顯然有分解：5 = （1 2i ）（1 一 2i）若設(shè)5 =印玄2an（aj不可約）貝V2 2 2 2 2 2 25

41、 =怙 q a.且aj式1, ai h25，這只有n = 2,且ai =5不妨設(shè)2 2 5=ab且a =|b =5則只能a=b，即5= aa，即5有唯一分解。四、解答題1、設(shè)X是數(shù)域F上全體n階方陣作成的集合，問:A A > A （ A 為 A的行列式）是否是 X到F的一個(gè)一一映射？說明理由。提示：是X到F的一個(gè)映射，但不是一一映射，因?yàn)? 01、A =B =2 °<° °A,映射。B X,且A = B，但在門下,"（A）二"（B） =0，不是2、非零實(shí)數(shù)集 R對(duì)運(yùn)算a °b= ab能否作成群，說明理由。提示：非零實(shí)數(shù)集R

42、對(duì)運(yùn)算a“b=ab不能作成群。因?yàn)?,- R，但方程1x=-1 ,即X =-1在R中無解，由群的定義知 R對(duì)所給代數(shù)運(yùn)算，不能作成群。3、試舉出滿足以下條件的群：1） G是無限群，除單位元外，每個(gè)元素的階都無限。2） G是無限群，G中除單位元外，既有有限階元素，也有無限階元素。提示：1）如整數(shù)加群 G除單位元O外，每個(gè)元的階都無限。1的階是2）如：全體非零有理數(shù)對(duì)普通乘法作成一個(gè)群，滿足題設(shè)條件，除單位元 1夕卜，-1的階是2,而其余各元素的階都是無限。4、舉例說明：環(huán) R的中心不一定是 R的理想。提示：例：有理數(shù)域Q上n>1階方陣環(huán)Qn n的中心為C=、aE | a Q ； E是n階單

43、位陣，它不是Qn n的理想，因易知存在 A Qn n，而aE二aA C，其中a = 0,由理想定義知：C不是Qn n的理想。陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院（網(wǎng)絡(luò)教育）課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)（七）abc一、設(shè)A二 a,b,c, A的代數(shù)運(yùn)算-由下表給定：1. 集合A上的變換有幾個(gè)？集合 A上的單變換有幾個(gè)?2. 定義在A上的自同態(tài)映射有幾個(gè)？3. 定義在A上的自同構(gòu)有幾個(gè)？并具體寫出來？acccbccccccc答案：1. 27；62. 93. 2 ； c : a a,b b,c c ； : a b,b a, c_ c、求模12加群Zi2的所有子群及Zi2的生成元。答案：子群：Hi 二0 , H2 二 Z12 ,

44、 H3 =0,2,4,6,8,10 , H4 = 0,4,8，H5 二0,3,6,9，H6 二0,6；耳的生成元:1,5, 7,11三、給出環(huán)R與它的子環(huán)S的例子，使它們分別具有以下性質(zhì)：1. R具有單位元素,S無單位元素；2. R無單位元素,S具有單位元素；3. R、S都有單位元素，但不相同；4. R無單位元素,S無單位元素；5. R不交換,S交換；6. R有零因子,S無零因子.1。R =(Z, , ),S =(2Z, ,)，R的單位元是1,關(guān)于數(shù)的普通加法和普通乘法;a ba 0、Z10)心2。R=!|a,b Q , S=!|a,bQ , S的單位元是l，關(guān)于矩0丿0丿衛(wèi)0丿陣的普通加法和

45、普通乘法;a b i 宀a 0、q 0、3。R=!|a,b,c,d Q , s=!|a,b Q , R的單位元是1<c d丿<0 0丿<0 1丿，S的1 0)單位元是，關(guān)于矩陣的普通加法和普通乘法；4。R = 2Z, S = 4Z，關(guān)于數(shù)的普通10 0丿a ba 0加法和普通乘法；5. R=|a,b,c,dwQ , S = !| Q，關(guān)于矩陣的2 d丿(0 a丿普通加法和普通乘法;a ba 0)6。 R =!| a,b,c,d e Q , S=! | a w Q，關(guān)于矩陣的普通加法和普通<c d丿<0 a丿乘法。四、證明：階是pm的群G 一定包含一個(gè)階是 p的子群

46、，其中Z ', p是素?cái)?shù).n答案：取a G而a=e，則由Lagrange定理知，| a F pn，其中1 _ n _ m ,則aP的pn丄 階是p，所以H =(a )是G的一個(gè)p階子群。五、證明：一個(gè)除環(huán) R的中心是一個(gè)域.答案：顯然0,1 ：= C(R),從而C(R)代二；又- g，。2三C(R) ,- x三R ,有C|X = XC|,C2X 二 xc2，于是(G -C2)x 二 GX -C2x = XC| - XC2 二 X(C| - c2)，(cq2)x = &(c2x) = g(xc2) = (C|X)c2 = (xC|)c2 =) ； -c C(R)*，-x R，即

47、ex 二 xc，所以， cxc'二 xcc=x， xc二cx，所以G -C2，CQ，c 1 C(R)，顯然C(R)是交換子群，因此 C(R)是域。六、設(shè)G是群，a, b G，并且| a |=3,| b |= 2，ba二ab，求由a,b生成的子群(a,b)。解：按定義(a,b)二彳乂2 |(x, | Xi 二 a或b, nr Z。由于 ba 二 ab，并且|a| = 3,|b|=2，從而(a,b)的任一元素可表為：h 二 aB ,i = 0,1,2, j = 0,1,所以(a,b)的階最多是 6。又因(|a|,|b|) =1,ba =ab，所以 |ab g|a|b6， 因此得知(a,b)

48、是由ab生成的循環(huán)群，其元素為 e = (ab)°， ab， (ab)2=a2，3452(ab) b ， (ab) a ， (ab) a b七、找出S3的所有子群，并說明 S3為什么不存在4階子群。答案：子群：比二(1), H2 =(1),(12)H3 =(1),(13), H4 =(1),(23), H5 =(1),(123),(132), HS3 六個(gè)子群;由于4 | 6，則由Lagrange定理知，S3不存在4階子群。四、找出環(huán)Z8的所有可逆元與零因子，并給出它的所有子環(huán)和最大理想。答案：Z8的可逆兀為：1,3,5,7 ； Z8 的零因子：2,4,6;子環(huán):H0，H2 二 Z8

49、 , H3 二0,2,4,6 ， H4 二0,4Z8的最大理想H3 珂 0,2,4,6。八、設(shè)f是群G到群G的同態(tài)滿射，N G， N答案：設(shè)二是G到G 的自然映射，則f與的二合成是G到G 滿同態(tài)，/N/NGG T G/-， xT f(X)T f (x) NN并且 ker(二 f) =x G |(二 f)(x)二 N = x G| 二(f(x) = N =x G | f (x)N = N=x G | f(x) N = N，因此由同態(tài)基本定理知，N G并且GN三九、設(shè)A是集合。1. 集合A上的二元關(guān)系滿足什么條件時(shí)就是A上的等價(jià)關(guān)系？2. 設(shè)A二1,2,3 , A上的二元關(guān)系有幾個(gè)？A上的等價(jià)關(guān)系

50、有幾個(gè)？A可分幾類？答案1。反身性；對(duì)稱性；傳遞性；2 。 29 ; A可分五類：，二1, 2, 3；二 2 二1,2,3；二3 =1,3, 2 ： 4 二2,3,1；二 5 二1,2,3；由集合的分類決定等價(jià)關(guān)系知，A上的等價(jià)關(guān)系有5個(gè)。十、設(shè)S3是3次對(duì)稱群。1找出S3的所有子群；2 找出S3的所有的不和(123)交換的元；3.取S3的子集S =(12), (123)，則S生成的子群包含哪些元素？群S3的兩個(gè)不同的子集合會(huì)不會(huì)生成相同的子群？答案：1。子群:H1 二(1), H2 二(1),(12)H3 =(1),(13), H4 =(1),(23), H5 =(1),(123),(132

51、), HS3 六個(gè)子群；2. (12), (13),(23) ； 3。(S)二S3; 個(gè)群的兩個(gè)不同的子集合會(huì)生成相同的子群：如 A 二(123), B 二(132) , (A) =(B) =( 1),(123),(132)。陜西師范大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院(網(wǎng)絡(luò)教育)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)(八)二、判斷題1、 若對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 / , A與A同態(tài)，那么若 A的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律，則 A的代數(shù) 運(yùn)算也適合結(jié)合律。2、若有單位元( = 0)的交換環(huán)R，除零理想和單位理想外，沒有其他理想，則 R 一定是一個(gè)域。3、整環(huán)中一個(gè)不等于零的元a，有真因子的沖要條件是a = bc。4、群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。5

52、、設(shè)F是任意一個(gè)域，F(xiàn) ”是F的全體非零元素作成的裙，那么 F ”的任何有限子群G必為 循環(huán)群。提示：1、 2,2, V 3、X 4、X,5、"三、證明題11、設(shè)U是群G的任意一個(gè)固定的元素，證明：集合G對(duì)新運(yùn)算 a'bau b作成一個(gè)群。提示：顯然所給運(yùn)算是 G的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，又任取 a, b,c G,則1111A A(a b) c = (au b) c = (au b)u c a (b c) = a (bu c) = au (bu c)而 G 是 群。(au Jb)u Ac = au '(bu %) 即(a ' b)，c = a b ' c)即G對(duì)新代數(shù)運(yùn)算結(jié)合律成立。又任取 aG , a，u二au二a，即u是右單位元。又a (ua Ju au J(ua du u，即uau是a的右逆元。由群的定義知，G對(duì)新運(yùn)算也作成一個(gè)群。2、 證明：在任意群G中，a與cac(a,cG)同階。nl、nn1、nn -.1.n提示：設(shè) a = e , (cac ) ca c e ,反之右(cac ) e，有 ca c e a e即a與cac4有相同的階。3、 設(shè)R是有單位元I的交換環(huán)，Mn(R)是R上n階方陣環(huán)，代BM n(R)，證明：AB二E = BA二E，其中E是n階單位矩陣。提示：由于R可交換，得：從而A可逆，設(shè)A