導(dǎo)數(shù)常用的一些技能和結(jié)論

1、導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論?4ln(7? +1)弋 1112 3 齊+ 1、2 m如強(qiáng)礦、"，耳取一+1 11 仝一£1叫1專一XI 工丿1+X證明凋和級(jí)數(shù)不收斂:In 2-Idj- -IcJ? 仝二累乘消項(xiàng)+ HE >】Q(n + ljIn J 1 W 即 In f ,x +耳 W x J XXIn gX藝孑_1一-=一*> X-1XY LX"l>lnr> 加強(qiáng)版bx<x-l(x>0)gptnx> XX XX一.基礎(chǔ)練習(xí)題：L討論函數(shù)/（對(duì)=2產(chǎn)-£ （x>0）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);y2-討論函數(shù)/（X）y &qu

2、ot;1 = V = 2a） = a,（X > 0）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；3討論函數(shù)/（X）- 一二,的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；X"4討論函數(shù)/（X）-111X4- = ,的零點(diǎn)的個(gè)數(shù); X5討論函數(shù)x>Q,f （ *） = E文-ax,的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);6也<上時(shí)，討論函數(shù)fx = lnxax的零點(diǎn)的個(gè)數(shù); e1+關(guān)系式為'力型(1)/ (x)+/(x)> 0 枸造 k/(x) = «v|/(x)+/(x)<2> (x)-h/(x)；>0 構(gòu)造討(；4=h(xH/(x)(3) ;'(x)+nf(x)iO 構(gòu)i£ xV(x)f =

3、 xY(x) + ?u"'7(x)=j(注意對(duì)工的符號(hào)進(jìn)行討論2關(guān)系式為”療”型<1)/ (x)-/(x)>0 構(gòu)itZWl/ (x)-/(x)(2)(町好(x)-/(x)>0 構(gòu)猛力- h (x)/(x)(3)yfx)-nf(x> 0 構(gòu)造/(x)7 _ xy(x)-av-7(x)_，V(x)-#(x)兀（注意對(duì)X的符號(hào)逍行討論1. 111(a: + 1) W xx > 1)2、2 屯 + lx 6 R)3、Ina: > 型二(rc > 1)a: + 1 a: + 15、nx 丄3 2)31)2X6 Inx (h 一 )(0 <

4、; 3； W 1)2X忑27 ln(l + re) X(x 0)2（2017年全國(guó)新課標(biāo)1 理1）已知f xae2x(1)討論f x的單調(diào)性;解析：(1) f':-2xx 2aea2x e1 x .2e 1x .ae 1若a0，則 f 'x 0恒成立，所以fx在R上遞減；若a0，令 f 'x 0，得x e1JxIn1aa當(dāng)x1In 時(shí)，f' x 0 ,所以fx在,In -上遞減;aa當(dāng)x1In 時(shí)，f' x 0 ,所以fx在1 In ,上遞增aa綜上，當(dāng)a 0時(shí)寸，f x在R上遞減；當(dāng)a 0時(shí)，f x在若f x有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.(2)上遞減，在

5、Ini,a上遞增.(2)有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足f x min0,即x minIn丄aIn10.a構(gòu)造函數(shù)x 0.易得g'0,所以gIn X單調(diào)遞減.又因?yàn)間10，所以1-In丄aF面只要證明當(dāng)01時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)即可,為此我們先證明當(dāng)x In X.事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)In x，易得h' x 1x min1，所以 h x 0，即 x Inx.a 1時(shí),a eae222ef In其中InIn11 In, Ina a1In -a，所以f1,InIn-,I n3-a a上各有一個(gè)零點(diǎn).故a的取值范圍是 0,1 .注意：取點(diǎn)過程用到了常用放縮技巧。一方面：ae2xcXc2x_XXcXccX 3

6、aa 2 e X 0 ae a 2 e e 0 ae a 3 0 e 另一方面： x2x aea 2 ex X 0 X 1 （目測(cè)的）第一組：對(duì)數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）In x（放縮成雙撇函數(shù)）In x常用的放縮公式（考試時(shí)需給出證明過程）1,InIn，Inx 12In x1In X= XJx（放縮成二次函數(shù)）In xx， InIn 1 x（放縮成類反比例函數(shù)）In xInIn xXIn 1 X ， In1 X2xIn 12x第二組：指數(shù)放縮ex，（放縮成一次函數(shù)）ex（放縮成類反比例函數(shù)）（放縮成二次函數(shù)）一 XX1 2 -X21 2-x21-x，6第三組：指對(duì)放縮eX In X x 1第四

7、組：三角函數(shù)放縮sinx x tanx X 0，sin X xcosx1 . 2 Sin x.第五組：以直線 y x 1為切線的函數(shù)1一，yxy In X， yex 11， yx2x， y幾個(gè)經(jīng)典函數(shù)模型In x經(jīng)典模型一：y 或x【例討論函數(shù)f xIn xax的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)xmaxIn丄a1 0.(2)1個(gè)零點(diǎn).xmaxIne1 0.1時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).e(4)【變式】1.討論2.討論3.討論0 （目測(cè)），Inea0.其中e.（放縮）12a0時(shí),In- 1a a1個(gè)零點(diǎn).其中12ae.（用到了In x1Tx單調(diào)遞增.f 1aea2 e0.（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例Inxax):I

8、n x m jx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令Tx1x mIn x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令一 a m）；jx In X mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮g x4.討論mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮 g xa/x f xJx，令t3x23m a)；25.討論2 2In x mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令t x,2m6.討論ax e的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令ex t）.經(jīng)典模型二:【例2】討論函數(shù)ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)個(gè)零點(diǎn).ax單調(diào)遞增.(2)(3)(4)【變式】1.討論2.討論3.討論4.討論0時(shí)，無零點(diǎn).a e時(shí)，無零點(diǎn).e時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).所以在丄,0上有一個(gè)零點(diǎn);a0恒成立;f x min（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題In aInaf 2lna 2In

9、 a a e 20.x、e ax):2xemx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令2x t，號(hào)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（去分母后與e）；1等價(jià)）；m忑的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)平方后與 1等價(jià)）；mx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)開方后換元與1等價(jià)）；x5.討論f xmx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（乘以系數(shù)e，令 em a )；6.討論f xIn xmx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令x，轉(zhuǎn)化成2）7.討論f Xmx m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令a);經(jīng)典模型三:xln X或 yx xe【例】討論函數(shù) fx In Xa-的零點(diǎn)個(gè)數(shù).x(1)個(gè)零點(diǎn).In x-單調(diào)遞增.x(2)(3)(4)In 1個(gè)零點(diǎn)（Xo一時(shí)，無零點(diǎn).e-時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).ea 0時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).xox minmin fa InIn1e10(5)2 2 1 1 1 f a in a a aa a1 ea 0， f 1 a【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題x in X1.討論f xaln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù);2.討論3.討論4.討論V - re仮ln X的零點(diǎn)個(gè)數(shù)2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令ea的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；x（考慮gx 丄e t）；，令仮t）；找點(diǎn)問題中的常見函數(shù)模型之間的關(guān)系1' s vin A'；pAInxv =-XX Src'” r s lin.v' -TV = x/vln.v同理