微分幾何的基本概念

1、微分幾何的基本概念：一、一些重要的基本概念：1. 平面上的測(cè)地線是：曲線上的測(cè)地曲率恒等于零的曲線稱為測(cè)地線。這樣，平面曲線的測(cè)地曲率 就是它的相對(duì)曲率，所以，平面上的測(cè)地線就是直線。實(shí)際上，測(cè)地線的概念是 平面上的直線的概念的推廣。我們可以從以下幾個(gè)定理來(lái)理解這個(gè)推廣：定理1曲面上的一條曲線是測(cè)地線，當(dāng)且僅當(dāng)它是直線，或者它的主法向量 失曲面的法向量。定理2對(duì)于曲面上的任意一點(diǎn)P以及在店P(guān)的任意一個(gè)單位切向量 V，在曲 面上必存在唯一的一條測(cè)地線通過(guò)點(diǎn) P,并且以V為它在點(diǎn)P的切向量。平面上的直線具有這個(gè)性質(zhì)。2. 確定一個(gè)直紋面的要素有：所謂的直紋面是指單參數(shù)直線族所構(gòu)成的曲面。 正螺旋面

2、就是一個(gè)直紋面，圓柱面也是一個(gè)直紋面。 確定一個(gè)直紋面要有兩個(gè)要素：一條曲面 r=a(u)，以及沿這條曲線定義的一個(gè)非 零向量場(chǎng)l(u).經(jīng)過(guò)每一點(diǎn)a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一條直線，它們所構(gòu)成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u)曲線a(u)稱為直紋面的準(zhǔn)線，而v_曲線稱為直紋面的直母線。a =K(s)P3.曲線的曲率公式為|r |,空間曲線的基本公式是P =瓷(5)口 + T(S) ；這是V = -T(s)著名的伏雷內(nèi)公式的、雙方連續(xù)的如果平面上初等區(qū)域到三維歐氏空間內(nèi)建立的對(duì)應(yīng)是 和在上映射，則稱三維歐氏空間中的象為簡(jiǎn)單曲面.平面上的點(diǎn)滿足的條件為ru "v

3、在(U0,v0)點(diǎn)不等于零.4、 切平面方程為(R-r(U0,V0),ru(U0,V0),rv(U0,V0) =0 .坐標(biāo)曲線正交的條件 為F =rx*ry =0 . du: dv=1: 2和(-1): (-2)表示的兩切方向之間關(guān)系為平行.球面第一類(lèi)基本量F=0,其意義是坐標(biāo)曲線正交，旋轉(zhuǎn)面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交.5.兩個(gè)曲面之間的一個(gè)變換是等距的，則對(duì)應(yīng)的面積關(guān)系為相等，如果a=pxn ,b=qx n,c=rx n，那么a,b,c位置關(guān)系是共面，r (s)具有固定方向與r%r=O的關(guān)系是充分條件。6. 一次函數(shù)r(t) =at +b(t為參數(shù),a<t<b, a,b為常向量)的圖象是

4、一直線,曲線的曲率 和撓率與參數(shù)的選擇關(guān)系是無(wú)關(guān)，球面曲線的法面一定過(guò)球心，過(guò)曲面上正常點(diǎn)處坐標(biāo)曲 線的個(gè)數(shù)為2。7. 曲面第一類(lèi)基本量F=0,其意義是坐標(biāo)曲線正交，可展曲面有三種類(lèi)型：柱面，錐面，切線曲面，兩個(gè)曲面之間的一個(gè)變換是等距的充要條件是經(jīng)過(guò)適當(dāng)選擇參 數(shù)后，它們具有相同的第一基本形式，球面曲線的法面一定過(guò)球心.(1) 稱二次微分式l(dP(u),dP(u)=<dP(u),dP(u)>為曲面S的第一基本形式。(2)記 LhMc2卩/冋2, n AM= 02 M C P/ cuu2,n >2 2N= h22 N c P /cu2, n A我們稱=< 點(diǎn)2P /

5、cu-,2, n Adu； +2 <£2 卩/點(diǎn)比呂上，ndu1du2 +TTL MU(d P,d P) =(du1,du2)MN2 2 2< c P /和2, n > du2為S在P(u1，u2)處的第二基本形式，稱L，M，N為第二類(lèi)基本量。8曲線的參數(shù)方程:由矢量分析可知，若矢函數(shù)r = r(t),t引tit中的矢量r為半徑，且在區(qū)間tit上連續(xù),則矢徑終點(diǎn)的軌跡一般為一條空間曲線，且r(t)的坐標(biāo)分量表達(dá)式就是該曲線的參數(shù)方程。：x = x(t)即若r(t) =x(t), y(t),z(t)對(duì)應(yīng)一條空間曲線 則< y = y(t), t1,t2為r的參數(shù)

6、方程。 Iz = z(t)9.幾種特殊的矢函數(shù):(1)矢函數(shù)r(t)為定長(zhǎng)變矢的充要條件是r ”八=0。不為零的變矢 r(t)為定向變矢 的充要條件是rxr'=0。若r X八K 0，則變矢r(t)平行于某一平面的充要條件是(r,r ：r") = 0。包絡(luò)面：如果圓x2+y2 =R2 (R是常數(shù))是直線族Ax + By+C=0的包絡(luò)，那么這個(gè)直線族一定是圓的切線族，所求條件是r2(a2+b2)= c2。曲線論基本定理給定區(qū)間I = (a, b)上的連續(xù)可微函數(shù) '哄S)> 0和連續(xù)函數(shù)')，則在E3中 存在弧長(zhǎng)S參數(shù)化曲線C: r =r(s)，使其曲率函數(shù)

7、 瓷(S)='k(s)，并且 其撓率函數(shù)Xs) =r(s); 上述曲線C在合同意義下是唯一的.曲線論基本定理的考慮對(duì)象實(shí)際上是無(wú)逗留點(diǎn)的正則曲線；其含義明顯分為存在性和唯一性兩個(gè)方面；其證明將分成若干步驟進(jìn)行.曲線論基本定理證明的過(guò)程中在本質(zhì)上需要用到適當(dāng)?shù)奈⒎址匠探M求解的存在唯一性結(jié)果.只要考慮到曲率、撓率和弧長(zhǎng)微元與位置向量微分運(yùn)算的關(guān)系，并注意至U Frenet公式.求平面族xcosa + ysin a -zsin幾1=0的包絡(luò)面(二 < 入<oc) o£解答:0 =(X cos A + y sin A z sin 入-1)=一 X sin A + y co

8、s a z cos a ,于是,(y-z)coS = xsin。X =t C 0 S ,代入平面族的方程，可得t =1，因而X = cos d y 一 z = sin Z,x2 + (y - z)2 = 1，這就是包絡(luò)面的方程發(fā)。又(X, y, z) = ( c 0禺z +s i n,z)= (cosA,sin k,0) + z(0,1,1),所以這個(gè)包絡(luò)面是一個(gè)柱面。r 2 + 2 _ 2 例2求半徑為R,球心位于圓周 X y =a上的球面族的包絡(luò)面，這里 R，z=0 a全是正常數(shù)。解答：該球面族即為(x-acos)2 + (y - asin)2 tz2 =r2 o對(duì)參數(shù)A求導(dǎo)，有xsin=

9、ycos o令x=(a +t)cosA，貝u y =(a +t)si n a,代入球面族方程，有丄 2_ 22t = R -z2.2, i2X +y =(a +t),ex2.2 l»2.222at = x +y -R +z -a兩邊平方后，有包絡(luò)面方程練習(xí)4a2(R2-z2) -(x2 +y2 +z2 -R2 _a2)2。1 .求圓柱螺線x =cost ,y=sint， z =t在(1,0,0 )的切線和法平面。解 令 cost =1, Sint =0, t =0 得 t =0, r' (0)= - si nt , cost , 1| y=0,1,1,曲線在(0,1,1 )的

10、切線為X 一1 yz，法平面為 y + z = 0。0 1 12.求三次曲線=at,bt2,ct3在點(diǎn)to的切線和法平面。解P(t0)=a,2bt0,3ct2，切線為 xat。bt0乙一2bto3ct2法平面為a(x ato) +202-；) + 3ct2(z Ct；) =0。3.證明圓柱螺線r = a cos日，as in日，b9 (-處yqy +oc)的切線和z軸作固定角。證明r'kr' = -a sin9 ,a cos日，b ,設(shè)切線與z軸夾角為W ,則cos®|r|e| Ta齊為常數(shù)，故為定角(其中k為z軸的單位向量)。4.求懸鏈線r = t , a cosh

11、 (-處"Y處)從t =0起計(jì)算的弧長(zhǎng)。解 r' =1 , sinh| , | r' |=J1 +s in h2-cosh7 , s0 coshOdt =asinh 占5.求曲線X3 =3a2y,2xz =a2在平面ay=? 與y = 9a之間的弧長(zhǎng)。解曲線的向量表示為r = 唇2依_2 aa ,曲面與兩平面y=3與y = 9a的交點(diǎn)分別為 x=a與x=3a , r' = 1,-y,-a2x2，' r'旦a4 4x4x2 a23a x2a2727，所求弧長(zhǎng)為 s7a(h27)dx=9a6.將圓柱螺線r =a cost， asint， bt化為自

12、然參數(shù)表示。解 r ' = - asint, acost, b，s =| F'|dt = Ja2 +b21，所以 t =代入原方程得址cos占，asin占，需醫(yī)評(píng)7.求用極坐標(biāo)方程P= P（8）給出的曲線的弧長(zhǎng)表達(dá)式。解 由 X = p（日）COS0， y = P（日）sin0 知 r' = P'（£） cos日-P但）sin0，P（£）si n日+ P（日）cosB , |r'| = Jp 2（日）+ P '2 （日），從0 0到日的曲線的弧長(zhǎng)是s=f JP2® + d£。求平面族的包絡(luò)面，其中每個(gè)平面到

13、 n個(gè)確定點(diǎn)的距離之和為定植。 解答：若Mi（Xi,yi,Zi）（i =1,2，）是已知點(diǎn)。取平面的法式方程：xco<s + ycos + zcos -p = 0。由點(diǎn)Mi（Xi，yi, Zi）到平面的距離:di =XiCos+yiCos+zcos -p。由問(wèn)題的條件nnncosW Xi + cosPW yi + cosY 乙 一 np =b =常數(shù)。i ii rni 壬將這個(gè)關(guān)系式寫(xiě)成nncosZ Xi/n +co sX yi / n+cogS 乙/n-p=b/n。i rnyy這個(gè)條件說(shuō)明了一個(gè)事實(shí)：具有坐標(biāo)為nnnZ Xi Z yi Z Zii ¥i¥i，&quo

14、t;V的點(diǎn)與族中所有平面皆有同樣的距離；因而，包絡(luò)面是具有中心在該點(diǎn)的球面。8.求圓柱螺線X =acost , y =asint , z = bt在任意點(diǎn)的密切平面的方程。解 r' = - asint , acost, b, r''= -acost，- asint, 0 所以曲線在任意點(diǎn)的密切平面的方程為X a cost-a si nt-a costy - asinta cost-asi ntz btb0=0，即(b sint)X-( bcost )y+aZ-abt=O .0 9.求曲線r = t si nt , t cost, t et 在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切

15、面、 切線、主法線、副法線。解 原點(diǎn)對(duì)應(yīng) t=0r' (0)= si nt +t cost , costtsint, et +t et0 =0,1,1，ttr''(0)=2 cost + t cost, cost - tsint, 2e +t e t = 2,0,2所以切線方程是=，法面方程是y + z = 01密切平面方程是=0 ,即 x+y-z=0 ,主法線的方程是Jx + y -Z =0I y +z =0即丄2 -1從切面方程是2x-y+z=0 ,副法線方程式-1 1_ z-1交。10 .證明圓柱螺線x=acost，y =asint , z=bt的主法線和Z軸垂直

16、相證 r' = - asint , acost, b,r''=- a cost，-asint, 0 ,由 r'丄 r''知 r''為主法線的方向向量，而r''k=0所以主法線與z軸垂直；主法線方程是X - a cost y - a sin t z - btcost與z軸有公共點(diǎn)si nt0(o,o,bt)。故圓柱螺線的主法線和Z軸垂直相交。X = cos a cost ,y = cos Ct si nt , z = tsi na 的副法線的正向11.在曲線取單位長(zhǎng)，求其端點(diǎn)組成的新曲線的密切平面。解 r'

17、= -coscts in t,cos a cost, sin a , r''= -cos a cost,- cos s int ,-r'xr''Y = - - =si n a si nt，- sin a cost , cos a |r'xr''|新曲線的方程為 r = cos a cost + sin a si nt ，cosa s int-sin a cost ，tsi n a對(duì)于新曲線r' = - cos a sint+ cos a sin a cost ， cos a cost+ sin a si nt ，sin a

18、 = sin( a -t), cos( a -t),sin a,r''= -cos( a -t), sin( a -t),0其密切平面的方程是X -cosa costsin (a -t)-cos(a -t)-cos a sin t cos(a -t) sin (a -t)z -t sin asin a0=0即 sin a sin(t-a) x - sin acos(t- a ) y + z-tsin a - cos a = 0 .倒證明曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過(guò)一定點(diǎn)。 證方法一：=設(shè)一曲線為一球面曲線，取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線的向徑f（t）具有固 定長(zhǎng)，所以r ?= 0，即曲線每一點(diǎn)的切線與其向徑垂直，因此曲線在每一點(diǎn)的法平面通過(guò)這點(diǎn)的向徑，也就通過(guò)其始點(diǎn)球心。U若一曲線的所有法平面通過(guò)一定點(diǎn)，以此定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則r T' = 0 , r"（t）具有固定長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的曲線是球面曲線。方法二：r =:（t）是球面曲線二存在定點(diǎn)：0 （是球面中心的徑矢）和常數(shù)R （是球面 的半徑）使 P-r0）2 = R2u 2（7-建）卜=0，即（：-?0）3 = 0而過(guò)曲線r =7（t）上任