每日一題型7恒成立之分離參數(shù)最值法

1、!-每日一題型 7 恒成立之分離參數(shù)最值法 在數(shù)學問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結論恒成立問題這類問題涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、 圖象,滲透著換元、 化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力， 在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用因此也成為歷年高考的一個熱點分離參數(shù)最值法主要通過兩個基本思想解決“恒成立問題”思路 1、 xD, f (X) a,bmf（X）在xD上恒成立mbmf（X）在XD上恒成立mamf（X）在XD上恒成立mbmf（X）在XD上恒成立ma思路 2、 xD, f (X) a,bmf（X）在XD上恒成立mbmf（X）在XD上恒成立m

2、amf（X）在XD上恒成立mbmf（X）在XD上恒成立ma先看看幾道例題：盤2 +2工+湮1.函數(shù)加='心如，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：若對任意e 兩，恒成立，、:+ 2盂 +d A恒成立，即對 xeL+®), /二-、 考慮到不等式的分母"1十切,*+2北+ <5：$0在兀皀VHto）時恒成立而得.2即a x 2x而9x2 2x 3所以a2. 已知當a+cos2xv5-4sinx+辰-4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xeR）,另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即:4si

3、n7 + cos2x < J5盤一4一盤 + 5要使上式恒成立，只需殛刁-+大于莊+口的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值問題。2f(x)=4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinxJ%-4-住+53 即-4 >a+2L? 2 M 0弋 5c3 40上式等價于知一4 > (a 紂-<a <8解得5注:注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x ,而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2xv5-4sinx+即a+1-2sin 2xv5

4、-4sinx+ J兄-4 ,令 sinx=t,貝U t 遷-1,1,整理得 2t2-4t+4-a+J-4>0,( t 丘-1,1) 恒 成立。設f(t)= 2t2-4t+4-a+ 娠刁則二次函數(shù)的對稱 軸為t=1,f(x) 在-1 , 1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)>0,即亠 >a-2.(下同)3. (201 6 德州一模)已知函數(shù)1 2f(x) = Inx 2ax 2x.(1)若函數(shù)f(x)在x = 2處取得極值，求實數(shù)a的值; 若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實 數(shù)a的取值范圍;當a= min(X>0),時，關于x的方程f(x) = x+ b在1 , 4上恰有兩個不

5、相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍.2解：(1)f (X)=-ax + 2x 1(x>0) , x=2時，f(x)取得極值，f ' (2) = 0,解得 a4, 經(jīng)檢驗知符合題意.函數(shù)f(x)的定義域為(0 ,+s),依題意f ' (x) > 0在x>0時恒成立，即ax2 + 2x1W0x>0 恒成立，即 a<( - 1)2 x當X = 1時，(-1)21取最小值一1,xa的取值范圍是(一S, 1.(3)a = 11, f(x) = fx + b,即，|x +Inx b= 0.、口123設 g(x) = 4X 2x+lnx b(x>0),則 g

6、'(x)0 =(X 2)( X 1)2x(0,i),g'(x)(1,2), g'(x)(2,4), g'(x)二 g(x)極小值=g(2)g(x)單調(diào)遞增.g(x)單調(diào)遞減.g(x)單調(diào)遞增.=ln2 b 2,g(x) 極大值 =g(i)5一 b 4.又 g(4) = 2ln2 b 2.方程g(x) = 0在1 , 4上恰有兩個不相等的g (1)>0,實數(shù)根，貝y g (2)<0,解得 ln2 2<b< |.4 g (4)>0,4. (2016 開封一模)已知函數(shù)f(x) = ax33x + 1對xe (0 , 1總有f(x) &g

7、t;0成立，則實數(shù)a的取值范圍是解析：當xe (0，1時不等式ax3 3x +1>0/3x 13x 1可化為 a> x3,設 g(x) = x，X e (0 , 1,入入13x3( 3x 1) 3xX (0,) , g'(x)0, g(x)單調(diào)遞增. 6 x - 2g'(x) =X=x41x(2,1),g'(x)0, g(x)單調(diào)遞減.因此g(x)的最大值為1g(3)4,則實數(shù)a的取值范圍是4，+S.5.(13 分)(2016-武漢模擬)已知函數(shù)f(x) ln(1 x)(1)若 x=1axx 1是函數(shù)(a>0).f(x)的一個極值點，求a的值.若f(x

8、)> 0在0+ g)上恒成立，求a的取值范圍.提示：(1)x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點，即 f'(1)=0.f(x)> 0 在0,+ g)上恒成立,即 f(x) min> 0.解：(1)因為f(x) ln(1 x)空x 1(a>0), f'(x)x 1 a(x 1)2因為x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點，所以 f '(1)=0,即a=2.經(jīng)檢驗a=2滿足題意.因為f(x) > 0在0,+ g)上恒成立，所以 f(x) min> 0.當0va < 1時，f'(x) > 0在0,+ 8)上恒成立，即f(x)在0,+

9、 8)上為增函數(shù)，所以 f(x) min=f(0) = 0 成立，即 Ova < 1.當 a>1 時，令 f '(x) >0,則 x>a-1,令 f '(x) <0,則 0 < xva-1,即f(x)在0,a-1) 上為減函數(shù),在(a-1,+ 8)上為增函數(shù)，所以 f(x) min=f(a-1)> 0,又 f(0)=0>f(a-1), 矛綜上,a的取值范圍為(0,1.F面完成幾道練習:1.(2016-石家莊模擬)已知f(x)=x-2lnx-a+1,x(1)若函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)的取值范圍.求g(x)的最大值.答案：(1) a的取值范圍是1,+ 8).g(x)最大值g(1)=-e.2.已知函數(shù)f (x)=xlnx(1)求函數(shù)f (X)的最小值;f( x)(2)若對一切x ( 0, +8),都有< x2-ax+2恒成立，求實數(shù) a的取值范圍;答案：(1) f (x)最小值f)e(2)a ( - S, 3-ln2;3.(2008年上海)已知函數(shù)f(x)一 2x1 若=2 2兇若不等式 2t f(2t)+m f(t) > 0 對于 t 1,2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：當t 1,2時，2t(22t尹)m(2t尹