點(diǎn)到直線的距離定律

1、點(diǎn)與直線直線方程一.教學(xué)內(nèi)容:點(diǎn)到直線的距離;點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、關(guān)于直線的對稱點(diǎn);直線關(guān)于點(diǎn)、關(guān)于直線的對稱直線;直線方程復(fù)習(xí);二.知識點(diǎn):1. 點(diǎn)到直線距離公式及證明|Axo Byo C| d iAnr關(guān)于證明:根據(jù)點(diǎn)斜式，直線 PQ的方程為（不妨設(shè) A丸）y yo A(xAXo),即 Bx AyBXo Ayo,解方程組Ax By C Bx Ay Bxo Ayo,B2Xo AByoACA2 B2 這就是點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，又可得X XoB2xo AByO AC A2xo B2xoA( Axo Byo C)_B，BB( Axo Byo C)y yoA(x xo) A所以,dJ(x Xo)2(y yo)2|(

2、AXo Byo C)2| Axo Byo C|Va2 b2。這就推導(dǎo)得到點(diǎn) P （xo， yo）到直線I: Ax+By+C=0 的距離公式。如果A=0或B=0 ,上式的距離公式仍然成立。F面再介紹一種直接用兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)方法。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（X1，yi）,則C o,(A O),Ax1 By1yi yoXi Xo把方程組作變形,A(xi Xo) B(yi yo)B(Xi Xo) A(yi yo)(Axo Byo C)，O把，兩邊分別平方后相加,2 2 2 2 2 2(A B )(Xi Xo)(B a )(yi yo)2(Axo Byo C),所以,2A2B2(Xi Xo)2 (yi yo)

3、2 (AXo Byo C)所以,d J(Xixo)2 (yi yo)20|Axo Byo C|2 學(xué)7 A B此公式還可以用向量的有關(guān)知識推導(dǎo)，介紹如下:設(shè)P1 （x1， y1）、P2（X2， y2）是直線I上的任意兩點(diǎn)，則Ax1 Byi C oAx2 By2 C o把、兩式左右兩邊分別相減，得A(xi X2) B(yi y2)0,由向量的數(shù)量積的知識，知n - P2P10,這里n= （ A, B）。所以n= （A , B）是與直線I垂直的向量。當(dāng)n與PP0的夾角為銳角時,d |PPo|cos ,（如圖所示）/ F畑)7-0 x_一(LA oa)8 (lx oxm一(LA OA 二X ox)

4、- (8/)一Soo .-so-on- - so。一丄一(te G , b G),則直線AB的方程為bx ay直線BC的方程為bxay ab G設(shè)底邊AC上任意一點(diǎn)為P (X, G) ( a wxwa),貝yp至Uab的距離|PE|bx ab| b(a x)婦2b2 寸a2 b2P到BC的距離為|PF| jaA到BC的距離h |ba ab| 2ab ja_b2b2 |PE| |PF|b(a x) b(a x)_b Ja2 b2原命題得證。例8.等腰直角三角形斜邊所在直線的方程是3x y = 0, 條直角邊所在直線I經(jīng)過點(diǎn)(4,2),且此三角形的面積為 10 ,求此直角三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)。解

5、：設(shè)直角頂點(diǎn)為C, C到直線y=3x的距離為d ,110,則-d 2d2.Q kd如，設(shè)l的斜率為k，則飛tan451 l的方程為 y 2(X 4)，即 x 2y 802設(shè)I是與直線y 3x平行且距離為J10的直線,則r與I的交點(diǎn)就是C點(diǎn)，設(shè)r的方程是3x0,則 J-mL心0,.m 10,J10 I的方程是3x y 10 00 120得C點(diǎn)坐標(biāo)是G由方程組x 2y 80及x 2y 83x y 100 3x y 10(2834)(7，7)例 9 已知直線 I: (2 m)x (1 2m)y 4 3m 0,(1)求證：不論 m為何實數(shù)，直線I恒過一定點(diǎn) M ;(2)過定點(diǎn)M作一條直線11,使h夾在

6、兩坐標(biāo)軸之間的線段被 M點(diǎn)平分，求h的方程;(3 )若直線l2過點(diǎn)M，且與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸圍成的三角形面積最小，求l2的方程。0,解：(1)化原直線方程為2x y 4 m(x 2y 3)2x y 40由x 2y 3 0，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)(2)設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為x 1,a b它與x軸、y軸分別交于A (a , 0), B (0 , b)。M 為AB中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得a= 2 , b= 4 ,所求直線方程為2x y 40(3)設(shè)所求直線I2的方程為y 2 k(x1)(k 0),它在X軸，y軸上的截距分別為a, b,則易得:1121S 尹1 幾 1| |k 2| 1(12)(2

7、k)2 i(k) 4(k)當(dāng)且僅當(dāng)k = -2時，圍成的三角形面積最小,所求的直線方程為y22(x 1)，即 2x【模擬試題】1.已知直線I經(jīng)過點(diǎn)P (5,10 ),且原點(diǎn)到它的距離為5，則直線I的方程為2.設(shè)0，2 ),則點(diǎn)P (1, 1)到直線cos y sin 2的最大距離是oxxsi n ycos1的距離等于丄，且3.已知點(diǎn)P ( 1 , COS )到直線40，?，則4.如圖，已知正方形ABCD的中心為E(- 1 ,0)，邊AB所在的直線方程為3y 5 0求其他三邊所在直線的方程。EAlC逹r5.求平行線2x 7y 80和2x 7y的距離。6.求過點(diǎn)A (- 1，2)且與原點(diǎn)的距離為2

8、的直線方程。7.求過點(diǎn)P (1 , 2)且被兩平行直線11:4x 3y 10與 12: 4x3y0截得的線段長為J2的直線方程。求過點(diǎn)P ( 0 , 2)且與點(diǎn)A ( 1 , 1 ),B (- 3 , 1 )等距離的直線1方程。原點(diǎn)關(guān)于直線8x6y 25的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(A.(2,3)C.(3, 4)D. (4 , 3 )(1991年全國高考題)9.【試題答案】1 3x 4y25 0或 x 5提示：(1)當(dāng)直線I的斜率存在時，可設(shè)I的方程為y kx b o根據(jù)題意，得所求的直線(2)當(dāng)直線10 5k b,|b|5,k解得b3425I的方程為3x 4y25I的斜率不存在時，直線的傾斜角為2即直線I

9、與x軸垂直。根據(jù)題意，得所求直線 I的方程為x提示：點(diǎn)P (1, 1)到直線x cosy sin 20的距離為|cos sin d盂2|2 Sin|sincos2|V2s in(2|0,當(dāng) sin(1,即時,4| J22|最大。3.提示:|sin由cos21|0,sin2得sin sin4.解：可設(shè)CD所在直線方程為:x 3y m 0,6.分析：設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出斜率k。則 |m 5|2 | 1 0 5| m 7 或 17o點(diǎn)E在CD上方，.m = 17。經(jīng)檢驗不合題意，舍去。m=7 ,.CD所在直線方程為X 3y 70。AB 丄 BC,可設(shè)BC所在直線方程為3x

10、y n 0I 3 0 n| I 105|, n=9或一3。經(jīng)檢驗，BC所在直線方程為3x yAD所在直線方程為3X y綜上所述，其他三邊所在直線方程為x 3y 7 0, 3x y 90, 3x y 3 0o5.分析：在直線上任取一點(diǎn)，求這點(diǎn)到另一直線的距離。解:在直線2x 7y 60上任取一點(diǎn)，如P ( 3, 0),則點(diǎn)P (3, 0)到直線2x7y 80的距離就是兩平行線間的距離。d |2 X 3 7 X 0 8|因此J22( 7)21414(5353o注意用上面方法可以證明如下結(jié)論:般地，兩平行直線AxByCi 0和Ax By C20 (GC2)間的距離為|Ci C2I解：設(shè)直線方程為y

11、2 k(x 1)，則kx y2 k| 邁 Jk212，解之得1 或 k 7。故所求直線的方程為 y 2(X 1)或 y 27(x 1)x y 10 或 7x y7.分析：先畫圖，由圖形易求得兩平行直線間的距離為1，則所求直線與兩平行直線成45角，則由夾角公式求得所求直線的斜率解：易求得兩平行直線間的距離為則所求直線與兩平行直線成45。角,設(shè)所求直線的斜率為k，則kI1tan 451所求直線方程為x7y 150 或 7x y 50注意在尋求問題解的過程中, 數(shù)形結(jié)合可優(yōu)化思維過程。8.分析：畫圖分析，可知符合題意的直線I有2條。解：畫圖分析，可知符合題意的直線I有2條。其一直線經(jīng)過 AB的中點(diǎn)；其二直線與 AB所在的