2.1_ 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式ppt課件

1、 第九章第九章 第五節(jié)第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1. 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00 yxF則方程則方程),(0),(00yxyxF在在點(diǎn)點(diǎn) 單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)并有連續(xù)yxFFxy dd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式

2、推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿(mǎn)足的某一鄰域內(nèi)滿(mǎn)足0),(00 yxFy滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)0)(,( xfxF兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)0dd xyFFyxyxFFxy dd0 yF,0),()(所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)為為方方程程設(shè)設(shè) yxFxfy在在),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)那么那么Fxy若若F( x , y ) F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)連續(xù), ,)(dddd22yxFFxxy 2yxxyyxxFFFFF 3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF x

3、yFFyyxdd)( )(2yxyxyyyyxFFFFFFF 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù): :)(yxFFx 則還有則還有xyyxFF . )0( )0( ),( 10 )1 , 0( 01 22的的值值與與并并求求的的隱隱函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)、當(dāng)當(dāng)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點(diǎn)點(diǎn)驗(yàn)驗(yàn)證證方方程程yyxyyyxyx , 1),( 22 yxyxF令令, 02)1 , 0(, 0)1 , 0( yFF,2 ,2yFxFyx ,所以由隱函數(shù)存在定理所以由隱函數(shù)存在定理例例1則則解解),( )1 , 0( 01 22xyyyx 有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的隱隱函函數(shù)數(shù)確確定定一

4、一個(gè)個(gè)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一在在點(diǎn)點(diǎn)方方程程.)(yxFFxyyx )(dd)(yxxxy 2)(yyxxy . 1)0(, 0)0( yy所以所以且且它滿(mǎn)足條件它滿(mǎn)足條件, 1)0( y2yyxy ,13y 定理定理2 . 若函數(shù)若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz ,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程則方程0),( zyxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下僅就求導(dǎo)

5、公式推導(dǎo)如下:滿(mǎn)足滿(mǎn)足0),(000 zyxF0),(000 zyxFz 在點(diǎn)在點(diǎn)滿(mǎn)足滿(mǎn)足:某一鄰域內(nèi)可唯一確某一鄰域內(nèi)可唯一確0),(,( yxfyxF兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)xFzxFFxz zyFFyz 同樣可得同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)是方程是方程設(shè)設(shè) zyxFyxfz那那么么zF xz 0 0),(000 zFzyx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)在在Fzxy ,4),( 222則則令令zzyxzyxF . , 04 22222xzzzyx 求求設(shè)設(shè), 42,2 zFxFzx,2zxFFxzzx 222)2()2(zxzxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2

6、()2(322zxz 例例2解解.,e2ee),(yzxzyxfzzyzx 試試求求所所確確定定由由方方程程設(shè)設(shè).利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式zxFFxz , e2ee),( zyzxzyxF記記,eeezyzxzxyxz zyFFyz 同理同理例例3解解1)(e)(ee122zyzxzzyzxzx .eeezyzxzyyxz 得得的函數(shù)的函數(shù)和和是是注意到注意到求導(dǎo)求導(dǎo)在題設(shè)方程兩端直接對(duì)在題設(shè)方程兩端直接對(duì),yxzx, 0ee22 xzzyzxzxzzyzx.eeezyzxzyyxzyz ,eee zyzxzxyxzxz 解解得得解解2同同理理得得分分對(duì)題設(shè)方程兩端求全微對(duì)題設(shè)方程

7、兩端求全微, 0ddedde22 zzyyzzzxxzzyzx即即,deeedeeedyyxzxyxzzzyzxzyzyzxzx 解出解出.eee,eee zyzxzyzyzxzxyxzyzyxzxz 所所以以解解3, 0dede zyzxzyzxxuFFux 例例4. 設(shè)設(shè)F( u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),( zyzxF.dz求求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是是由由方方程程設(shè)設(shè)),(yxfz 0),( zyzxFyvFFvy ,12Fz ,11Fz zFv1 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù).2212FzyFzx 已知方程已知方程 ).,(),( , , vuFzy

8、zxFzyvzxu 則則令令zFu1 zvFzuFFvuz 解解: :zxFFxz zyFFyz 212FyFxFz 211FyFxFz yyzxxzzddd 222111zyFzxFzF 222121zyFzxFFz ).dd(2121yFxFFyFxz 故故對(duì)方程兩邊求微分對(duì)方程兩邊求微分: :0dd vFuFvu).dd(d2121yFxFFyFxzz )dd(21zzxxzF zzFyFxd221 zyFxFdd21 解法解法2 2 微分法微分法. . 0),(d vuF)dd(22zzyyzF 0)(d)(d zyFzxFvu0 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱

9、函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形. 0),(0),(vuyxGvuyxF ),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ ),(),(稱(chēng)為稱(chēng)為F、G 的雅可比的雅可比( Jacobi )行列式行列式.以?xún)蓚€(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例以?xún)蓚€(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即即定理定理3.3.,0),(0000 vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組則方程組0),(,0),( vuy

10、xGvuyxF),(0000vuyx在在點(diǎn)點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu 且有偏導(dǎo)數(shù)公式且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : : 在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿(mǎn)足的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿(mǎn)足滿(mǎn)足滿(mǎn)足: :0),(),( PvuGFPJ;0),(0000 vuyxG導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu ),(000yxvv 條件條件),(),(1vxGFJxu ),(),(1vyGFJyu ),(),(1xuGFJxv ),(),(1yuGFJyv 定理證明略定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：公式如下：vvvuvuGFGGFF1 vvvuvuGFGGFF1 uu

11、vuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 xxGFyyGFxxGFyyGF 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線(xiàn)性方程組的線(xiàn)性方程組這是關(guān)于這是關(guān)于xvxu 0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組有隱函數(shù)組那那么么兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得,),(),( yxvvyxuu設(shè)方程組設(shè)方程組,0 vuvuGGFFJ在點(diǎn)在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)xu xv xu xv xFuF vF 0 xGuG vG 0故得故得系數(shù)行列式系數(shù)行列式同樣可得同樣可得),(),(1vyGFJyu ),(),(1vxGFJxu ),(),(1xuGFJx

12、v ),(),(1yuGFJyv .,10 yvxvyuxuxvyuyvxu 求求設(shè)設(shè) , 可得可得求導(dǎo)并整理求導(dǎo)并整理在每個(gè)方程的兩邊對(duì)在每個(gè)方程的兩邊對(duì) x運(yùn)用推導(dǎo)公式的方法運(yùn)用推導(dǎo)公式的方法 .,vxvxxuyuxvyxux例例5解解1, 0 22 yxxyyxJ若若,22yxyvxuxyyxxvyuxu .22yxxvyuxyyxvyuxxv , 類(lèi)類(lèi)似似地地可可得得求求導(dǎo)導(dǎo)在在每每個(gè)個(gè)方方程程的的兩兩邊邊對(duì)對(duì) y. ,2222yxyvxuyvyxyuxvyu .利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式,),( yvxuvuyxF 記記解解2. 1),( xvyuvuyxGvuvuGGFF

13、vuGFJ ),(),( 則則vxvxGGFFvxGF ),(),(xyyx ,22yx xvyu ,yvxu xuxuGGFFxuGF ),(),(,),(),(1 22yxyvxuvxGFJxu .),(),(122yxxvyuxuGFJxv ,yuxv vyux 0 ),(),(1 vyGFJyu 同理同理),(),(1yuGFJyv 22yxxuyv 22yxuyvx ,22yxyuxv .22yxyvxu , 0dddd vyyvuxxu. 0dddd xvvxuyyu,ddd2222yyxyuxvxyxyvxuu 整整理理并并解解得得,ddd2222yyxyvxuxyxxvyuv

14、, , 2222yxxvyuxvyxyvxuxu 故故.由全微分形式不變性由全微分形式不變性. ,2222yxyvxuyvyxyuxvyu 解解3在方程組兩邊求微分得在方程組兩邊求微分得例例6.dd,dd,2032,22222xzxyzyxyxz求求設(shè)設(shè) 解解: : 在方程組兩邊對(duì)在方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 并整理得并整理得 xxzzxyyxxzxyydd3dd22dddd2的的方方程程組組，得得、解解上上述述關(guān)關(guān)于于xzxydddd.13dd ,)13(2)16(dd zxxzzyzxxy又又偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)的某的某在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),),(),()

15、,(vuvuyyvuxx . 0),(),( vuyx(1) 證明方程組證明方程組 ),(),(vuyyvuxx).,(),(),(yxvvyxuuzyx 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)一組連續(xù)且具有一組連續(xù)且具有的某一鄰域內(nèi)唯一確定的某一鄰域內(nèi)唯一確定在點(diǎn)在點(diǎn).,),(),()2(數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)對(duì)對(duì)求求反反函函數(shù)數(shù)yxyxvvyxuu 例例7. (1) (1) 將方程組改寫(xiě)成下面的形式將方程組改寫(xiě)成下面的形式 . 0),(),(, 0),(),(vuyyvuyxGvuxxvuyxF則按假設(shè)則按假設(shè). 0),(),(),(),( vuyxvuGFJ由隱函數(shù)存在定理由隱函數(shù)存在定理, ,

16、即得所要證的結(jié)論即得所要證的結(jié)論. .(2)將方程組所確定的反函數(shù)將方程組所確定的反函數(shù)即即得得代代入入,),(),(yxvvyxuu ).,(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx解解將上述恒等式兩邊分別對(duì)將上述恒等式兩邊分別對(duì)x x求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù), ,得得 .0,1xvvyxuuyxvvxxuux.1,1uyJxvvyJxu 故可解得故可解得由于由于, 0 J同理同理, ,可得可得.1,1uxJyvvxJyu 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)隱函數(shù)( 組組) 存在定理存在定理2. 隱函數(shù)隱函數(shù) ( 組組) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

17、直接計(jì)算 ;方法方法2. 利用微分形式不變性利用微分形式不變性 ;方法方法3. 代公式代公式.,1),()0,0(2345yxzyzxzzyxfz 求求的隱函數(shù)的隱函數(shù)確定確定是由方程是由方程設(shè)設(shè)得得求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)將將方方程程兩兩端端對(duì)對(duì),x)1(03452344 xzyzxzxzzxzz得得求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)將方程兩端對(duì)將方程兩端對(duì),y)2(03452334 yzyzyzxzzyzz練習(xí)題練習(xí)題:1.解解得得求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)式式兩兩端端對(duì)對(duì)將將,)1(y(3) 034)345()3610(2232222 xzzyzzyxzyxzzzyzxzyxzzz. 1,0, 0)0,0( zyx得得代代

18、入入原原方方程程將將,51,51)0,0()0,0( yzxz.253,)3()0,0(2 yxz得得式式再代入再代入得得式式代代入入再再將將,)2(),1(1, 0, 0 zyx.,sincos),(),(yvxvyuxuuvuyuvuxyxvvyxuu 求求所確定所確定是由方程組是由方程組設(shè)設(shè).利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式,cos),( uvuxvuyxF 記記2.解解1,sin),( uvuyvuyxG vuvuGGFFvuGFJ ),(),( 則則vxvxGGFFvxGF ),(),(uvuvuvuvuvuvuvuvcoscossinsinsincos . 01 uvuvcos0sin1 ,cosuv xu