2.1多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一ppt課件

1、第一次習(xí)題課第一次習(xí)題課 一、內(nèi)容及要求一、內(nèi)容及要求 1 理解多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏理解多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及全微分的定義導(dǎo)數(shù)及全微分的定義2 會求一些二元函數(shù)的極限、能判別函數(shù)的連會求一些二元函數(shù)的極限、能判別函數(shù)的連續(xù)性。續(xù)性。4 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計算多元函數(shù)的能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計算多元函數(shù)的一階二階偏導(dǎo)，會求多元函數(shù)的全微分。一階二階偏導(dǎo)，會求多元函數(shù)的全微分。5 多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，),(),(),(yxvyxuvufz ),(),(yxyxfz 變量關(guān)系圖變

2、量關(guān)系圖 uvzxy則有則有 xvxuffxvvzxuuzxz yvyuffyvvzyuuzyz （2幾種變形幾種變形 )(),(),(),(tztytxzyxfu dtdzzudtdyyudtdxxudtdu uxyzt（1鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t“連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”(i)多個中間變量，一個自變量多個中間變量，一個自變量uzxy(ii)一個中間變量，多個自變量：一個中間變量，多個自變量： ,)(xufxududzxz ),(),(yxuufz (iii)中間變量與自變量混合存在中間變量與自變量混合存在:z=f (x，y，u)，u=u(x，y)xuffxzux yuffyzuy x

3、yuzxy（3全微分形式的不變性全微分形式的不變性: z=f (u，v)， u，v 不管是自變量還是中間變量，不管是自變量還是中間變量，有有dvvzduuzdz yufyududzyz )( 2. 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1單個方程的情形單個方程的情形 理論基礎(chǔ)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，具體計算有三種方理論基礎(chǔ)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，具體計算有三種方法法: （2方程組的情形方程組的情形（4復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計算復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計算(難點難點),(),(),(yxvyxuvufz 求求Zxx Zxx 、 Zxy Zxy 、 Zyy Zyy 時應(yīng)該注意到時應(yīng)該注意到fu fu 、 fvf

4、v仍是復(fù)合函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù). .(i)(i)公式法；公式法； (ii)(ii)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； (iii) (iii) 一階全微分形式的不變性一階全微分形式的不變性 。求導(dǎo)方法：確定自變量及因變量，各方程對某一個自求導(dǎo)方法：確定自變量及因變量，各方程對某一個自變量求偏導(dǎo)變量求偏導(dǎo)( (或?qū)Ω鞣匠痰膬啥巳∥⒎只驅(qū)Ω鞣匠痰膬啥巳∥⒎? )，解方程組求，解方程組求得各因變量對這個自變量的偏導(dǎo)數(shù)得各因變量對這個自變量的偏導(dǎo)數(shù)( (或?qū)?shù)、或微分或?qū)?shù)、或微分) ) 一般：變量個數(shù)方程個數(shù)一般：變量個數(shù)方程個數(shù)=自變量個數(shù)自變量個數(shù)二、典型例題分析二、典型例題分析 1 、選擇與填充

5、、選擇與填充 )0 , 0(,)0 , 0(),(0)0 , 0(),(),()1(22則在則在設(shè)設(shè) yxyxyxxyyxf（A不連續(xù)不連續(xù) （B偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在(C ) 可微可微 xyyxyx1cos)(lim)2(00 9sin3sinlim)3(00yxxyyx yykxyx)1(lim)4(06 ke_,arctan)5( xyzxyz_,)6()1 , 1 , 1( duzyxuzxyzxy 013201),3sin()7(yxxuxzyzzzyu求求確定，確定，由由22222)(yxxy dzdydx 3cos例例解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,

6、cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等等價價于于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115xffxfx yxz 2)(2214fxfxx 2212114132)(4xfxyfyfxfx )(222212xyfyfx .2422114213yfyfxxffx

7、)(312fefyxyzy )(333231312yuffefeyuffyy )(333231312yyyyxeffefexeff 3323231312fxefefefxefyyyy 例例. . 設(shè)設(shè)z=f (xz=f (x，y y，u)u)，u=xeyu=xey，f f 具有二階連具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 xyz 2xuffxz 31變量關(guān)系圖為：變量關(guān)系圖為： zxyuxy,31fefy yfefeyfyy 331為為可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，證證明明：，設(shè)設(shè)：例例)(),(4uFxyuuxFxyz )()(2xyuFxuFyxz 證證明明：xuFxxyz1)( 可導(dǎo)，驗證可導(dǎo)，驗證其中

8、其中設(shè)設(shè)：例例)(,)(522uFyxfyz 211yzyzyxzx 22fxf yxz 證明：證明：2)2(fyf yfyz xzfyxfz2222),(6 具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求其其中中設(shè)設(shè)：例例xfxz2 解：解：xfxfxz22222 xyzyzyxzx 23,23),(7tsytsxyxfu 而而的所有二階偏導(dǎo)連續(xù)，的所有二階偏導(dǎo)連續(xù)，：設(shè)：設(shè)例例21,23,23,21: tytxsysx證證明明syyusxxusu yuxu 2321tusuyuxutusuxuxu222222222222) 及及（證證明明（yyyxxxuuu432341 yxuutu2123 同理：同理：

9、yyxyxxuuutu41234322 代入得證。代入得證。232122syusxusyusxusuyyyxxyxx 232123232121yyyxxyxxuuuu 例例 可可微微，證證明明，設(shè)設(shè)fxyfxz)11(11 .222zyzyxzx 證明：證明：2221)( 11xufxxzz 兩端求對兩端求對x x的偏導(dǎo)數(shù)，得的偏導(dǎo)數(shù)，得 兩端同乘以兩端同乘以x2z2x2z2得得)1()( 222ufzxzxz 方程的兩端求對方程的兩端求對y y的偏導(dǎo)數(shù)，得的偏導(dǎo)數(shù)，得 )1()( 122yufyzz 兩端同乘以兩端同乘以y2z2y2z2得得)2()( 22ufzyzy (1)(1)式式+(2

10、)+(2)式式 222zyzyxzx 即即得得例例 可可微微，求求設(shè)設(shè)FxzyyzxF, 0),( ,xz .,dzyz 解：方程兩端求對解：方程兩端求對x的偏導(dǎo)數(shù)，有的偏導(dǎo)數(shù)，有0)1()11(221 xzxxzFxzyF解得解得 2112211FxFyFxzFxz 1222111)(FyFxFyzFyz dyFyFxFyzF1222111)( dxFxFyFxzFdz2112211 方程兩端求對方程兩端求對y的偏導(dǎo)數(shù)，有的偏導(dǎo)數(shù)，有或利用全微分形式的不變性求偏導(dǎo)或利用全微分形式的不變性求偏導(dǎo) 0)()(21 xzydFyzxdF0)()(2221 xzdxxdzdyFyzdyydzdxF整

11、理可得整理可得dyyzFFdxxzFFdzFxFy)()()11(21222121 由此可求得由此可求得 dyFyFxFyzF1222111)( dxFxFyFxzFdz2112211 0),( xzyyzxF例例10 . 10 . 設(shè)設(shè) ，其中，其中f f、g g具有一階連續(xù)偏數(shù)，具有一階連續(xù)偏數(shù)， ),(),(2yvxugvyvuxfu.xvxu ，求求解所給方程兩端對解所給方程兩端對x x求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得 xvvygxugxvxvfxuxufxu21,2121整理可得整理可得 121121)12()1(gxvvygxugufxvfxuxf12212121)12)(1(121gfvyg

12、xfvyggfxfJ 122112212121)12)(1()12(121gfvygxfgfvygufvyggfufJxu 12211111111)12)(1()1(11gfvygxfufxfgggufxfJxv 例例11. 設(shè)設(shè)y=f (x，t)，而，而t是由方程是由方程F(x，y，t)=0所確定所確定的的x、y的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中f，F(xiàn)都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明證明tFyFtfxFtftFxfdxdy 證法一：首先分析一下變量間的關(guān)系。證法一：首先分析一下變量間的關(guān)系。由式由式1可確定一元函數(shù)可確定一元函數(shù)y=y(x)。)2( dxdyytxttfxfdxdy

13、（1式兩端對式兩端對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得 t是由方程是由方程F(x，y，t)所確定的所確定的x、y的函數(shù)，的函數(shù)，t=t(x，y)，而而y=f (x，t)，于是有，于是有 y=f x，t(x，y) (1) t是是F(x，y，t)=0確定的確定的x、y 的函數(shù)，由隱函數(shù)的函數(shù)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法知求導(dǎo)法知 ,tFxFxt )3(.tFyFyt 將將3 3式代入式代入2 2式，并從中解出式，并從中解出dxdy即得所欲證之等式。即得所欲證之等式。 證法二：證法二： 將所給兩方程聯(lián)立：將所給兩方程聯(lián)立： , 0),(, 0),(tyxFtxfy方程組中含兩個方程、三個變量，可確定兩個一元方程組中含兩個方程、三個

14、變量，可確定兩個一元函數(shù)函數(shù)y=y(x)，t=t(x)。方程組中的兩個方程兩端分別。方程組中的兩個方程兩端分別對自變量對自變量x求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有 . 0, 0dxdttFdxdyyFxFdxdttfxfdxdy解上面的方程組解上面的方程組tFyFtfxFtftFxfdxdy 證法三：利用全微分形式不變性證法三：利用全微分形式不變性 0dtFdyFdxFdtfdxfdytyxtx dy解解出出dxtFyFtfxFtftFxf tFyFtfxFtftFxfdxdy , 0),(),(tyxFtxfy消去消去dtdt例例1212解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzy

15、xfuy求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cos xdxdy 顯然顯然得得的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx .)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故練習(xí)：練習(xí)：.),(),(. 1dufzeyexeyxzzzyxfuzyx有連續(xù)偏導(dǎo)，求有連續(xù)偏導(dǎo)，求所確定，其中所確定，其中由方程由方程而而設(shè)設(shè) dxduhgfzxhzyxgyxfuxuu可可微微，求求其其中中確確定定，是是由由設(shè)設(shè),0)

16、,(, 0),(),()(. 2 ).1(),1(),(,(),)1 , 1(,)1 , 1(, 1)1 , 1(),(. 3 求求（又又記記可可微微，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxbfaffyxfyx）偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)？（）可可微微？（）偏偏導(dǎo)導(dǎo)是是否否存存在在？處處（在在討討論論321)0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(42222 yxyxyxyxyxf.),(),(. 1dufzeyexeyxzzzyxfuzyx有連續(xù)偏導(dǎo)，求有連續(xù)偏導(dǎo)，求所確定，其中所確定，其中由方程由方程而而設(shè)設(shè) zyxzeyexe 解：對方程兩邊微分解：對方程兩邊微分dzezdyey

17、dxexzyx)1()1()1( dyezeydxezexdzzyzx)1()1()1()1( dzfdyfdxfduzyx dyezeyffdxezexffdzzyzyzxzx)1()1()1()1( 2解解 . 0),(, 0),(),()(zxhzyxgyxfuxu由由方方程程組組設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的函數(shù)的函數(shù)都看成是都看成是以及以及將方程組的變元將方程組的變元xzyu,得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入.,

18、0, 0,dxduzhyg試求試求且且所確定所確定 ).1(),1(),(,(),)1 , 1(,)1 , 1(, 1)1 , 1(),(. 3 求求（又又記記可可微微，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxbfaffyxfyx)1 , 1(, 1()1ff （解解： 1)1 , 1( fdxxxdfxxfxfxxfxfxyx),(),(,(),(,() （ ),(),(),(,(),(,(xxfxxfxxfxfxxfxfyxyx )1 , 1()1 , 1()1 , 1(, 1()1 , 1(, 1()1(yxyxffffff )1 , 1()1 , 1()1 , 1()1 , 1(yxyxffff 2babababa ）偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)？（）可可微微？（）偏偏導(dǎo)導(dǎo)是是否否存存在在？處處（在在討討論論321)0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(42222 yxyxyxyxyx