42極限的運算法則

1、三、三、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 四、四、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 第四講(二)極限運算法則 第一章第一章 三、三、 極限的四則運算法則（極限的四則運算法則（p20）,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx 則則 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx ba 定理定理 若若(1) )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx ba (2)若若 b0 , 則有則有 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxxba (3)證證時時, 有有.2)( bxg , ,mi

2、n21 取取,00 xx則當則當時時,有有)()(baxgxf )()(bxgaxf ,22 當當(1)由由可知可知, 0 , 0, 021 使得當使得當,010 xx時時,有有,2)( axf,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx 因此因此 )()(lim0 xgxfxx,ba ).(lim)(lim00 xgxfxxxx bxgaxf )()(200 xxabxgxf )()(*(2)abxbfxbfxgxf )()()()(bxgxf )()(axfb )(axfxx )(lim0, 0 使得使得時，有時，有當當100 xx axf)(01 由由abxgxfxx )()(lim

3、0需證：需證： 及及 定理定理1.2 知，知，, 0 m 及及 及及mxf )(上有界上有界在某在某)()(0 xuxf時時，當當100 xx, 0 01 mxf )( axf)(有有bxgxx )(lim0 又由又由 知知,使得當使得當時，時，200 xx bxg)(, 02 , ,min21 取取則則abxgxf )()(bxgxf )()(axfb )( bm對于上述對于上述 0,有有 ? / 2c因此因此 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx bmc2c2cccc22 , 00 xx時時, 有有當當c2/ 令令 .,maxbmc ab*(3)0()(

4、)(lim0 bbaxgxfxx需需證證： )()(lim0 xgxfxx,)(1)(lim0 xgxfxx 由于由于 根據(jù)（根據(jù)（2），只需證明當），只需證明當時，有時，有0 b.)(lim11)(1lim00 xgbxgxxxx bxg1)(1bxgxgb )()(11知，知，由由0)(lim0 bxgxx, 0 0 使得當使得當 00 xx時時, 有有bbxg2)( )1(2 （極限的定義）（極限的定義）,2)( )2(bxg （函數(shù)極限保號性的（函數(shù)極限保號性的更強結(jié)論更強結(jié)論）于是于是,2 )(1bxg 從而從而 bxg1)(1bxgxgb )()(11bbb 2212因此因此.)(

5、lim11)(1lim00 xgbxgxxxx 從而從而(3)式成立式成立.若若,lim,limbyaxnnnn 則有則有)(lim)1(nnnyx nnnyx lim)2(,0)3(時時當當 bbayxnnn limba ba 注注運算法則運算法則 , 有相應(yīng)的結(jié)論有相應(yīng)的結(jié)論 .及及 x時函數(shù)極限的四則時函數(shù)極限的四則例如例如, 對于數(shù)列極限對于數(shù)列極限,對于數(shù)列極限對于數(shù)列極限有以下結(jié)論有以下結(jié)論: 數(shù)列是一種數(shù)列是一種 特殊的函數(shù)特殊的函數(shù), 故此結(jié)論可故此結(jié)論可 由由定理定理1.5直直 接得出接得出 .,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx )()(lim0 xgxfxx

6、)(lim)(lim00 xgxfxxxx ba (極限運算的線性性質(zhì)極限運算的線性性質(zhì)) 若若 以上運算法則對以上運算法則對有限個有限個函數(shù)成立函數(shù)成立.推論推論 和和是常數(shù)，是常數(shù)， 則則 于是有于是有nxxnxxxfxf)(lim)(lim00 冪的極限等于極限的冪冪的極限等于極限的冪求求).52(lim22 xxx 解解)52(lim22 xxx5limlim)(lim22222 xxxxx52)lim(222 xx例例1極限運算的極限運算的線性性質(zhì)線性性質(zhì) 結(jié)論：結(jié)論： )(lim1100nnnxxaxaxa nnnaxaxa 10100 冪的極限冪的極限等于極限等于極限的冪的冪53

7、222 .531lim232 xxxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx.37 3123 例例2商的極限等商的極限等于極限的商于極限的商)53(lim)1(lim2232 xxxxx一般地，一般地， 設(shè)有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù),)()()(xqxpxr 其中其中)(, )(xqxp都是多項式都是多項式 ,，則，則若若0)(0 xq)(lim0 xrxx)(lim)(lim00 xqxpxxxx )()(00 xqxp )(0 xr 注注 若若,0)(0 xq不能直

8、接用商的運算法則不能直接用商的運算法則 .請看下例請看下例: 結(jié)論：結(jié)論： )(lim0 xrxx)(0 xr )0)(0 xq解解)32(lim21 xxx, 0 商的極限法則不能直接用商的極限法則不能直接用321lim21 xxxx稱稱31lim1 xx.41 例例3.321lim21 xxxx求求由極限定義由極限定義x1，x1, 0)1(lim1 xx又又為為.00型極限型極限321lim21 xxxx約去零因子法約去零因子法型型）（00)1)(3(1lim1 xxxx“ 抓大頭抓大頭”.147532lim2323 xxxxx求求分析分析)(型型 147532lim2323 xxxxx.

9、72 可以先用可以先用 x3 同時去除分子和分母同時去除分子和分母, 然后再取極限然后再取極限.)147(lim)532(lim33xxxxxx 例例4無窮.無窮.趨于趨于分母都分母都分子,分子,時,時, x33147532limxxxxx 解解結(jié)論：結(jié)論：為非負常數(shù)為非負常數(shù) )nmba,0(00 mn 當當mmmxaxaxa 110limnnnbxbxb 110,00ba,0, mn 當當mn 當當對于對于母中自變量的母中自變量的最高次冪（抓大頭最高次冪（抓大頭）, 然后再求極限然后再求極限.型型 的極限，可以先給分子、分母同除以分的極限，可以先給分子、分母同除以分.81221lim32

10、xxx求求例例5解解分析分析型，先通分，再用極限法則型，先通分，再用極限法則. 原原式式)42)(2()2)(4(lim22 xxxxxx424lim22 xxxx.21 812)42(lim322 xxxx882lim322 xxxx)00()(型型 例例6解解.21lim32323 nnnnn求求 原原式式)12)(1(611lim3 nnnnn nnn1211lim61.31 無窮多無窮多項和的項和的極限極限公式求和變公式求和變?yōu)橛邢揄棡橛邢揄椂ɡ矶ɡ?設(shè)設(shè),)(lim0axxx 當當100 xx時時,)(axu 又又,)(limaufau 則有則有 )(lim0 xfxx aufau

11、)(lim* *證證 aufau )(lim,0 ,0 時，有時，有當當 au0 auf)(axxx )(lim0 ,0 ,02 對上述對上述四、四、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則當當200 xx時時, 有有 ax)(取取 ,min21 則則ax )( au 故故 0axf )( auf )(, 因此因此式成立式成立. 00 xx時時當當,0 ,0 時，有時，有當當 au0 auf)( )(lim0 xxx若若2 定理的定理的其他形式其他形式,)(limaufu 則有則有 )(lim0 xfxx.)(limaufu 注注 1 定理中的定理中的條件條件：),(,)(10 xuxa

12、x 不可少不可少. 否則，否則，定理定理的結(jié)論的結(jié)論不一定不一定成立成立.且且，或或)(lim( xx)( x或或由定理知，由定理知，)(lim ufau )(lim0 xfxx 在求復(fù)合函數(shù)極限時在求復(fù)合函數(shù)極限時,可以作變量代換，得到可以作變量代換，得到且代換是雙向的，即且代換是雙向的，即)(lim ufau .)(lim0 xfxx )(xu ux )( 例例7 求求解解 令令.93lim23 xxx93)(2 xxxu 于是于是ux3lim61 從而從而 原式原式 =uu61lim 61 .66 )3)(3(3lim3 xxxx從左向右從左向右用用式式 )(lim0 xfxx aufa

13、u )(lim93lim23 xxx)(lim61ufuuuf )(內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則極限運算法則(1) 極限四則運算法則極限四則運算法則(2) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法分式函數(shù)極限求法0)1xx 時時, 用代入法用代入法( 分母不為分母不為 0 )0)2xx 時時, 對對00型型 , 約去零因子約去零因子 x)3時時 , 分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法：復(fù)合函數(shù)極限求法：設(shè)中間變量，變量代換設(shè)中間變量，變量代換.或先有理化

14、后約分或先有理化后約分 1.在自變量的某個極限過程中，若在自變量的某個極限過程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg)()(limxgxf (1) 是否一定不存在？為什么是否一定不存在？為什么?思考題思考題?321lim2222 nnnnnn2.(2)若若, 0)(lim axf)()(limxgxf是否一定是否一定不存在？不存在？答：答： 一定不存在一定不存在存在，存在，假設(shè)假設(shè))()(limxgxf 存在存在)(limxf由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()(lim)(limxfxgxfxg 必存在必存在，這與已知矛盾，這與已知矛盾，故

15、假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤思考題解答思考題解答)()(limxgxf (1)是否一定不存在？為什么是否一定不存在？為什么? 1. 在自變量的某個極限過程中，若在自變量的某個極限過程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg答：答： 一定不存在一定不存在.（可用反證法證明）（可用反證法證明）(2) 若若, 0)(lim axf)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自變量的某個極限過程中，若在自變量的某個極限過程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg?321lim2222 nnnnnn2.解解 原式原式22)

16、1(limnnnn )11(21limnn .21 備用題備用題例例3-1解解.42lim4 xxx求求42lim4 xxx)2)(4(4lim4xxxx xx 21lim4先有理化先有理化 再約去再約去無窮小無窮小 .41 型型）（00例例3-2, 0)0(2 ba. 2 a從而從而, 01)1(3lim21 xxbaxx已知已知.的值的值，試求常數(shù)試求常數(shù)ba解解)1(3lim21 xbaxx)1(1)1(3lim21 xxxbaxx000 0于是于是1)1(3lim21 xxbaxx1)1(23lim21 xxbxx)123(lim21bxxx 23) 1(4)3(lim221bxxxx

17、 231lim21bxxx ,21b 23) 1(1lim221bxxxx .21 b解解)(型型 13lim242 nnnnn. 0 可以先用可以先用4n同時去除分子和分母同時去除分子和分母,然后再取極限然后再取極限.)131(lim)11(lim4232nnnnxn 例例4-1.13lim242 nnnnn求求無窮.無窮.趨于趨于分母都分母都分子,分子,時,時, n423213111limnnnnn 例例4-2)(xf設(shè)設(shè)解解根據(jù)前一極限式可令根據(jù)前一極限式可令bxaxxxf 2322)(再利用后一極限式再利用后一極限式 , 得得xxfx)(lim30 可見可見0,3 ba是多項式是多項式

18、 , 且且,22)(lim23 xxxfx,3)(lim0 xxfx求求. )(xf)(lim0 xbax 故故xxxxf322)(23 )22(lim20 xbaxxx 例例5-1 已知已知0)(11(lim2 xxxx試確定常數(shù)試確定常數(shù)., )11()(2 xxxxf解解1)1()()1(2 xxx 0)(lim xfx 分子的次數(shù)必比分母的次數(shù)低分子的次數(shù)必比分母的次數(shù)低故故即即. 1, 1 )(型型 0, 01 例例6-1解解.11311211lim222 nn求求 原原式式 nnn1111311311211211lim.21)11(21lim nn無窮多無窮多個因子個因子的積的的積的極限極限變?yōu)橛邢揄椬優(yōu)橛邢揄椩偾髽O限再求極限)11(1)1(lim0 xxxx例例7