高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解一重點(diǎn)

1、選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù)2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解一1（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它們?cè)谳S上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求這三條曲線的方程；（）已知?jiǎng)又本€過(guò)點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由.解：（）設(shè)拋物線方程為，將代入方程得（1分）由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為（2分）對(duì)于橢圓，（4分）對(duì)于雙曲線，（6分）（）設(shè)的中點(diǎn)為，的方程為：，以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為令（7分）（12分）2（14

2、分）已知正項(xiàng)數(shù)列中，點(diǎn)在拋物線上；數(shù)列中，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，以方向向量為的直線上.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，問(wèn)是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說(shuō)明理由；（）對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍.解：（）將點(diǎn)代入中得（4分）（）（5分）（8分）（）由（14分）3.（本小題滿分12分）將圓O: 上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半 (橫坐標(biāo)不變), 得到曲線C.(1) 求C的方程;(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn), N為線段AB的中點(diǎn),延長(zhǎng)線段ON交C于點(diǎn)E.求證: 的充要條件是.解: (1)設(shè)點(diǎn), 點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意可知(2分)又.所以, 點(diǎn)M的軌跡C的方程為.(

3、4分)(2)設(shè)點(diǎn), , 點(diǎn)N的坐標(biāo)為,當(dāng)直線l與x軸重合時(shí), 線段AB的中點(diǎn)N就是原點(diǎn)O, 不合題意,舍去; (5分)設(shè)直線l: 由消去x, 得(6分),點(diǎn)N的坐標(biāo)為.(8分)若, 坐標(biāo)為, 則點(diǎn)E的為, 由點(diǎn)E在曲線C上, 得, 即 舍去). 由方程得又.(10分)若, 由得點(diǎn)N的坐標(biāo)為, 射線ON方程為: ,由 解得 點(diǎn)E的坐標(biāo)為.綜上, 的充要條件是.(12分)4.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(1) 試證函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;(2) 若數(shù)列的通項(xiàng)公式為, 求數(shù)列的前m項(xiàng)和(3) 設(shè)數(shù)列滿足: , . 設(shè).若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)n, 恒成立, 試求m的最大值.解: (1)

4、設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn), 其關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.由 得所以, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為P.(2分)由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上, 得. 點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 對(duì)任意的. 由、, 得即.(10分)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.關(guān)于n遞增. 當(dāng), 且時(shí), .(12分)即 m的最大值為6. (14分)5（12分）、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1） 當(dāng)時(shí)，求的面積；（2） 當(dāng)時(shí)，求的大??；（3） 求的最大值.解：（1）（2）因，則（1） 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，6（14分）已知數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，其前

5、項(xiàng)和滿足，（2） 求的表達(dá)式及的值；（3） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（4） 設(shè)，求證：當(dāng)且時(shí)，.解：（1）所以是等差數(shù)列.則.（2）當(dāng)時(shí)，綜上，.（3）令，當(dāng)時(shí)，有 （1）法1：等價(jià)于求證.當(dāng)時(shí)，令，則在遞增.又，所以即.法（2） （2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，則所以因則，所以 （5）由（1）（2）（5）知7 (本小題滿分14分)第21題設(shè)雙曲線=1( a > 0, b > 0 )的右頂點(diǎn)為A，P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點(diǎn).(1) 證明：無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有|2 = |·| ( O為坐

6、標(biāo)原點(diǎn))；(2) 若以O(shè)P為邊長(zhǎng)的正方形面積等于雙曲線實(shí)、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；解：(1) 設(shè)OP：y = k x, 又條件可設(shè)AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), |·| =|+| =. 4分 設(shè) = ( m, n ) , 則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,點(diǎn)P在雙曲線上，b2 a2k2 > 0 . 無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有|2 = |·| . 4分（2）由條件得：= 4ab, 2分即k2 = > 0 , 4b > a, 得e

7、> 2分2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解二1. (本小題滿分12分)已知常數(shù)a > 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x > 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對(duì)任意n ³ a , 證明f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n)解: (1) fn ( x ) = nx n 1 n ( x + a)n 1 = n x n 1 ( x + a)n 1 , a > 0 , x > 0, fn ( x ) < 0

8、, f n ( x )在（0，+）單調(diào)遞減. 4分（2）由上知：當(dāng)x > a>0時(shí), fn ( x ) = xn ( x + a)n是關(guān)于x的減函數(shù), 當(dāng)n ³ a時(shí), 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n £ n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n < ( n + 1 ) nn ( n + a)n = ( n + 1 ) nn ( n + a )( n +

9、a)n 1 2分( n + 1 )fn(n) = ( n + 1 )nn n 1 ( n + a)n 1 = ( n + 1 )n n n( n + a)n 1 , 2分( n + a ) > n ,f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n) . 2分2. (本小題滿分12分)已知：y = f (x) 定義域?yàn)?，1，且滿足：f (1) = f (1) = 0 ，對(duì)任意u ,vÎ1，1，都有|f (u) f (v) | | u v | .(1) 判斷函數(shù)p ( x ) = x2 1 是否滿足題設(shè)條件？(2) 判斷函數(shù)g(x)=，是否滿足題設(shè)條件？

10、解： (1) 若u ,v Î 1，1， |p(u) p (v)| = | u2 v2 |=| (u + v )(u v) |，取u = Î1，1，v = Î1，1, 則 |p (u) p (v)| = | (u + v )(u v) | = | u v | > | u v |，所以p( x)不滿足題設(shè)條件.（2）分三種情況討論：10. 若u ,v Î 1，0，則|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，滿足題設(shè)條件；20. 若u ,v Î 0，1， 則|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|

11、= |v u|，滿足題設(shè)條件；30. 若uÎ1，0，vÎ0，1，則： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，滿足題設(shè)條件;40 若uÎ0，1，vÎ1，0, 同理可證滿足題設(shè)條件.綜合上述得g(x)滿足條件.3. (本小題滿分14分)已知點(diǎn)P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x ¹ 1)的圖象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).(1) 求證：| ac | ³ 4;(2) 求證：在(1，+）上f

12、( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.證：(1) tÎR, t ¹ 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 ³ 0 ， c ¹ 0, c2a2 ³ 16 , | ac | ³ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 設(shè)1 < x1 < x2, 則f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 < x1 < x2, x1 x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0

13、,f (x2) f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , x ³ 0時(shí)，f ( x )單調(diào)遞增. 法2. 由f ( x ) = > 0 得x ¹ 1, x > 1時(shí)，f ( x )單調(diào)遞增.（3）（僅理科做）f ( x )在x > 1時(shí)單調(diào)遞增，| c | ³ > 0 , f (| c | ) ³ f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.4（本小題滿分15分）設(shè)定義在R

14、上的函數(shù)（其中R，i=0,1,2,3,4），當(dāng)x= 1時(shí)，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y=f (x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱（1） 求f (x)的表達(dá)式；（2） 試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；（3） 若，求證：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得15分5（本小題滿分13分）設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MNMQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)則1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以

15、 直線QN的方程為，又直線PT的方程為10分 從而得所以 代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.13分6（本小題滿分12分）過(guò)拋物線上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解法（一）：（1）設(shè)由得：3分直線PA的方程是：即 同理，直線PB的方程是： 由得：點(diǎn)P的軌跡方程是6分（2）由（1）得： 10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直線PA、PB與拋物線相切，且直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設(shè)PA的直線方程是由得：即3分即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：

16、由得：故點(diǎn)P的軌跡方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分7（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù).（1） 求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 設(shè)，求證：解：（1）對(duì)恒成立，對(duì)恒成立又 為所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即8分另一方面，設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又當(dāng)時(shí)， 即綜上所述，14分8(本小題滿分12分)如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，、在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在邊上，的周長(zhǎng)為12若一雙曲線以、為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)(1) 求雙曲線的方程；(2) 若一過(guò)點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有

17、這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1) 設(shè)雙曲線的方程為，則由，得，即（3分）解之得，雙曲線的方程為（5分）(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使設(shè)直線的方程為，由，得即（6分），即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得其中且，即且 （10分）代入，得 ，化簡(jiǎn)得 當(dāng)時(shí)，上式恒成立因此，在軸上存在定點(diǎn)，使（12分）9(本小題滿分14分)已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有（為大于1的常數(shù)），記(1) 求；(2) 試比較與的大小（）；(3) 求證：，（）解：(1) ，得，即（3分）在中令，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（4分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由

18、(2)知 ，（）當(dāng)時(shí)，（10分）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）另一方面，當(dāng)，時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（13分）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）綜上所述，（）（14分）2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解三1（本小題滿分13分） 如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）求證：； （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程； （III）在（II）的條件下，直線過(guò)點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.解：（I）右準(zhǔn)線，漸近線 ， 3分 （II） 雙曲線C的方程為：7分 （III）由題

19、意可得8分 證明：設(shè)，點(diǎn) 由得 與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q 11分 ，得 的取值范圍是（0，1）13分2（本小題滿分13分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對(duì)一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （IV）請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個(gè)極限值.解：（I） 1分 將這n個(gè)式子相加，得 3分 （II）為一直角梯形（時(shí)為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長(zhǎng)分別為，高為1 6分 （III

20、）設(shè)滿足條件的正整數(shù)N存在，則 又 均滿足條件 它們構(gòu)成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列. 設(shè)共有m個(gè)滿足條件的正整數(shù)N，則，解得 中滿足條件的正整數(shù)N存在，共有495個(gè)，9分 （IV）設(shè)，即 則 顯然，其極限存在，并且10分 注：（c為非零常數(shù)），等都能使存在.19. （本小題滿分14分） 設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為2. （I）求此雙曲線的漸近線的方程； （II）若A、B分別為上的點(diǎn)，且，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線；（III）過(guò)點(diǎn)能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且.若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.解：（I） ，漸近線方程為4分 （II）設(shè)

21、，AB的中點(diǎn) 則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓.（9分） （III）假設(shè)存在滿足條件的直線 設(shè) 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在滿足條件的直線.14分3. （本小題滿分13分） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意自然數(shù)都成立，其中m為常數(shù)，且. （I）求證數(shù)列是等比數(shù)列； （II）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足：，試問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，成立？解：（I）由已知 （2） 由得：，即對(duì)任意都成立 （II）當(dāng)時(shí)， 由題意知，13分4（本小題滿分12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸于，兩點(diǎn)，且分向量所成的比為85（1）求橢圓的離心率；（2）若過(guò)三點(diǎn)

22、的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程解：（1）設(shè)點(diǎn)其中由分所成的比為85，得，2分，4分而，5分由知6分（2）滿足條件的圓心為，8分圓半徑10分由圓與直線：相切得，又橢圓方程為12分5（本小題滿分14分）（理）給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有無(wú)窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差（文）給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有無(wú)窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差（理）解：設(shè)公差為，則3分4分7分又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立11分13分當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時(shí)，的最大值為14分（文）解：設(shè)公差為，則3分，6分又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立11分13分當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時(shí)，的最大值為1

23、4分6（本小題滿分12分）垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點(diǎn)，A1、A2分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，設(shè)直線A1M與A2N交于點(diǎn)P（x0，y0）（）證明：（）過(guò)P作斜率為的直線l，原點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的最小值.解（）證明：直線A2N的方程為 4分×，得（）10分當(dāng)12分7（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（）若（）若（）若的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出比較過(guò)程）.解：（） （）設(shè)，6分（）在題設(shè)條件下，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)14分2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解四1（本小題滿分14分） 已知f(x)=(xR)在區(qū)間1，1上是增函數(shù).（）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；（）

24、設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿分14分.解：（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函數(shù)，f(x)0對(duì)x1，1恒成立，即x2ax20對(duì)x1，1恒成立. 設(shè)(x)=x2ax2，方法一： (1)=1a20， 1a1， (1)=1+a20.對(duì)x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f(-1)=0以及當(dāng)a=1時(shí)，f

25、(1)=0A=a|1a1. 方法二： 0， <0， 或 (1)=1+a20 (1)=1a20 0a1 或 1a0 1a1.對(duì)x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f(1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f(1)=0A=a|1a1.（）由=，得x2ax2=0， =a2+8>0x1，x2是方程x2ax2=0的兩非零實(shí)根， x1+x2=a， 從而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+13對(duì)任意t1，1恒成立，即m2+tm20對(duì)任意t1，1恒成立. 設(shè)g(t)=m2+tm2=mt+(m2

26、2)，方法一： g(1)=m2m20， g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2.方法二：當(dāng)m=0時(shí)，顯然不成立；當(dāng)m0時(shí)， m>0， m<0， 或 g(1)=m2m20 g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t-1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2.2（本小題滿分12分）如圖，P是拋物線C：y=x2上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.（）若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；（）若直

27、線l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.解：（）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x10，y1>0，y2>0.由y=x2， 得y=x.過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切= x1，直線l的斜率kl=-，直線l的方程為yx12= (xx1)，方法一：聯(lián)立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中點(diǎn) x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12

28、，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，則x0=kl=-，x1=，將上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).（）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則T(0，b).分別過(guò)P、Q作PPx軸，QQy軸，垂足分別為P、Q，則. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，則 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.當(dāng)b>0時(shí)，=b=

29、+2>2；當(dāng)b<0時(shí)，=b=.又由方程有兩個(gè)相異實(shí)根，得=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>2b.所以>=2.當(dāng)b>0時(shí)，可取一切正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=KTP，即=.則x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.3（本小題滿分12分）某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失. 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)

30、防措施可供采用. 單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85. 若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）本小題考查概率的基本知識(shí)和數(shù)學(xué)期望概念及應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿分12分.解：不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望為400×0.3=120（萬(wàn)元）；若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬(wàn)元），所以總費(fèi)用為45

31、+40=85（萬(wàn)元）若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60（萬(wàn)元），所以總費(fèi)用為30+60=90（萬(wàn)元）；若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75（萬(wàn)元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（10.9）（10.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬(wàn)元），所以總費(fèi)用為75+6=81（萬(wàn)元）.綜合、，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少.4（本小題滿分14分）已知（I）已知數(shù)列極限存在且大于零，求（將A用a表示）；（II）設(shè)（III）若

32、都成立，求a的取值范圍.本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分14分.解：（I）由（II）（III）（i）當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立（已驗(yàn)證）.（ii）假設(shè)當(dāng)故只須證明即n=k+1時(shí)結(jié)論成立.根據(jù)（i）和（ii）可知結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立.故5（本小題滿分14分，第一小問(wèn)滿分4分，第二小問(wèn)滿分10分）已知，函數(shù).()當(dāng)時(shí)，求使成立的的集合；()求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想和分析推理能力. 滿分14分.解：（）由題意，.當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，解得.綜上，所求解集為.（）設(shè)此最小值為.當(dāng)時(shí)

33、，在區(qū)間上，.因?yàn)?，則在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，由知 .當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，. .若，在區(qū)間內(nèi)，從而為區(qū)間上的增函數(shù)，由此得 .若，則. 當(dāng)時(shí)，從而為區(qū)間上的增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，從而為區(qū)間上的減函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，或.當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，故.綜上所述，所求函數(shù)的最小值 6（本小題滿分14分，第一小問(wèn)滿分2分，第二、第三小問(wèn)滿分各6分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，其中為常數(shù).()求與的值；()證明：數(shù)列為等差數(shù)列；()證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.本小題主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)、不等式的證明方法，考查思維能力、運(yùn)算能力. 解：（）由已知，得，.由，知 即 解得 ，.（）方法1由（），得 ，

34、 所以 . -，得 ， 所以 . -，得 .因?yàn)?，所以 .又因?yàn)?，所以 ，即 ，.所以數(shù)列為等差數(shù)列.方法2由已知，得，又，且，所以數(shù)列是唯一確定的，因而數(shù)列是唯一確定的.設(shè)，則數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和.于是 ，由唯一性得 ，即數(shù)列為等差數(shù)列.（）由（）可知，.要證 ，只要證 .因?yàn)?，故只要證 ，即只要證 .因?yàn)?，所以命題得證.2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解五1（本小題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點(diǎn)T的軌跡C的

35、方程； （）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.滿分14分.（）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以 3分證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為 由橢圓第二定義得，即由，所以3分（）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐

36、標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分 （）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得，由得 所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分當(dāng)時(shí)，由，得解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分當(dāng)時(shí)，記，由知，所以14分2（本小題滿分12分）函數(shù)在區(qū)間（0，+）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且 設(shè)是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù) （）用、表示m； （）證明：當(dāng)

37、； （）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)， 求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問(wèn)題的能力.滿分12分 （）解：2分 （）證明：令 因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)； 當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對(duì)任意成立的充要條件是 另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率

38、大于，該切線的方程為于是的充要條件是10分綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.12分（）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對(duì)任意成立的充要條件是 8分令，于是對(duì)任意成立的充要條件是 由當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即10分綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.12分3（本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且

39、（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較與的大小.解：由已知可得兩式相減得即從而當(dāng)時(shí)所以又所以從而故總有，又從而即數(shù)列是等比數(shù)列；（II）由（I）知因?yàn)樗詮亩?-=由上-=12當(dāng)時(shí)，式=0所以；當(dāng)時(shí)，式=-12所以當(dāng)時(shí)，又所以即從而4(本小題滿分14分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌

40、跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，由，得=將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn).5（本小題滿分12分）已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). （）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且

41、l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為6（本小題滿分12分）數(shù)列an滿足.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（）已知不等式，其中無(wú)理數(shù)e=2.71828.（）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即那么. 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)不等式成立.根據(jù)（1）、（2）可知：成立.（）證法一：由遞推公式及（）的結(jié)論有 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 故 上式從1到求和可得即（）證法二：由數(shù)學(xué)歸納法

42、易證成立，故令取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 上式從2到n求和得 因故成立.7（本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)， ，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有 則 而又時(shí)命題正確.由1°、2°知，對(duì)一切nN時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，； 2°假設(shè)n=k時(shí)有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立，所以對(duì)一切 （2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：所以,又bn=1，所以2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解六1（本小題滿分14

43、分）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2（本小題滿分12分）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由. （此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問(wèn)題的能力. （）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)是方程的兩個(gè)不同的根， 且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得 解得k=1，代入得，