高二數(shù)學平面向量數(shù)量積的運算律

1、第8課時二、平面向量數(shù)量積的運算律教學目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.教學難點：平面向量數(shù)量積的應用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：  啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質.  教學過程：一、復習引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內

2、積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cos叫與的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cos，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3“投影”的概念：作圖C 定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 |b|；當 = 180時投影為 |b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab

3、 = 03 當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = |a|b|. 特別的aa = |a|2或4cos = ；5|ab| |a|b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運算律1交換律：a b = b a證：設a，b夾角為，則a b = |a|b|cos，b a = |b|a|cos a b = b a2數(shù)乘結合律：(ab =(ab = a(b證：若> 0，(ab =|a|b|cos， (ab =|a|b|cos，a(b =|a|b|cos，若< 0，(ab =|a|b|cos( = |a|b|(cos =|a|b|cos，(ab =|a|b|cos，a(b =|a|

4、b|cos( = |a|b|(cos =|a|b|cos.3分配律：(a + bc = ac + bc在平面內取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c(a + b = ca + cb 即：(a + bc = ac + bc說明：（1）一般地，(·（·）（2）··，0（3）有如下常用性質：，（）（）··&#

5、183;·(·三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b(7a 5b = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b(7a 2b = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 兩式相減：2ab = b2代入或得：a2 = b2設a、b的夾角為，則cos = = 60例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.解：如圖：平行四邊形ABCD中，=|2=而= ，|2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且···

6、83;，試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：一方面：0，（），(（）即··由于··，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由··，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得·(2，即·，也即ABBC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形.評述：(1在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應注意這一隱含條件應用；(2由已知條件產生數(shù)量積的關鍵是構造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關系.四、課堂練習：1.下列敘述不正確的是（ ）A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結合律 D.a·b是一個實數(shù)2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為°，則(a+2b·(a-3b等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-363.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關系為（ ）A.平行 B.垂直 C.夾角為 D.不平行也不垂直4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+