河圖洛書十講之八九

1、第八講 河圖洛書的數(shù)學(xué)奧秘（上）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的思想家菲洛勞斯有一段著名的話：“龐大、萬能和完美無缺，是數(shù)字的力量所在。它是人類生活的開始和主宰者，是一切事物的參與者。沒有數(shù)字，一切都是混亂和黑暗的?！蔽曳浅Ｏ矚g這段話，它指出了數(shù)學(xué)的神奇和奧妙。人類有了數(shù)字的概念，這是人類最初從動物界分離出來而成為人的重要標(biāo)志之一。有了這一步，人類才意識到自己的智慧和聰明，并且為進一步開發(fā)智慧奠定了基礎(chǔ)。中國古代的科學(xué)技術(shù)在數(shù)學(xué)方面有輝煌的成就，其中在河圖洛書問題上的表現(xiàn)，是最早的也是最重要的成果之一。一、河圖洛書的數(shù)字構(gòu)成原理河圖洛書的表現(xiàn)形式是數(shù)字關(guān)系，它們必然反映著我國古代的數(shù)學(xué)水平。其中河圖與洛

2、書的數(shù)字構(gòu)成原理，本身就是一個非常奇妙的問題。1、河圖的數(shù)字構(gòu)成原理河圖的數(shù)字排列狀態(tài)，南宋朱熹易學(xué)啟蒙中的表述是：一與六共宗而居乎北，二與七為朋而居乎南，三與八同道而居乎東，四與九為友而居乎西，五與十相守而居乎中。（河圖的數(shù)字圖，圖8-01）這樣的排列狀態(tài)是怎樣生成的呢？或者說，它的排列過程所依據(jù)的是什么樣的規(guī)則呢？清代李光地的周易折中卷二十一“啟蒙附論”部分，把這一排列過程表述為“陽動陰靜”與“陽靜陰動”法則。意思是說指一至十這十個自然數(shù)中，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰，河圖與洛書都是由奇數(shù)與偶數(shù)進行有規(guī)律的變化而形成的。所謂“陽動陰靜”如圖8-02所示，一至十按四方排列,其規(guī)則是五與十居中不動，其

3、他八數(shù)從上方起排，每方兩數(shù)，從上右轉(zhuǎn)（按順時針轉(zhuǎn)動），從外向內(nèi)；然后將奇數(shù)（陽）一與七上下?lián)Q位、九與三左右換位（動），偶數(shù)（陰）二四六八不動（靜），這樣就成了河圖。所謂“陽靜陰動”如圖8-03所示，五與十居中不動，其他八數(shù)從下方起排，每方兩數(shù)，從下左轉(zhuǎn)（按順時針轉(zhuǎn)動），從內(nèi)向外；然后將偶數(shù)（陰）六與二上下?lián)Q位、四與八左右換位（動），奇數(shù)（陽）一三五七不動（靜），這樣也成河圖。2、洛書的數(shù)字構(gòu)成原理：洛書的數(shù)字排列狀態(tài)，大戴禮記的表述是：“二九四，七五三，六一八?！睎|漢徐岳著數(shù)術(shù)記遺，論述了九宮的原理和特點，南北朝時期，北周的甄鸞為數(shù)術(shù)記遺作注，解釋說：九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴

4、九履一，五居中央。（洛書的數(shù)字圖，圖8-04）這樣的表述簡便明確，容易記憶，被后人認(rèn)同，廣為流傳。洛書的排列的奇妙之處，是它的每一行、每一列、以及兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15。這樣的圖形在數(shù)學(xué)史上叫做“幻方”。國際數(shù)學(xué)界早已公認(rèn)，中國古代的洛書是世界上最早出現(xiàn)的幻方，這是最簡單的3階幻方。但是，這樣的排列狀態(tài)是怎樣生成的呢？或者說，它的排列過程所依據(jù)的是什么樣的規(guī)則呢？南宋時期，我國古代著名的數(shù)學(xué)家楊輝對幻方的研究獲得重大進展，他在所著續(xù)古摘奇算法中討論了河圖和洛書中的數(shù)學(xué)問題，其中對于洛書所表示的3階幻方的排列，找出了奇妙的規(guī)律，他表述為：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。（圖

5、8-05）如圖，“九子斜排”是指九數(shù)按順序從左上至右下斜排，三數(shù)一組排成三行?！吧舷聦σ住笔侵笇⒁慌c九換位，“左右相更”是指將七與三換位，“四維挺出”是指將二、四、六、八這四個數(shù)按箭頭方向挺出一些。這樣，就形成了洛書的幻方。李光地的周易折中一書中，把楊輝概括的這種排列方法稱為“陽動陰靜”。圖8-5中，奇數(shù)一與九上下?lián)Q位、七與三左右換位就是“陽動”，偶數(shù)二四六八位置不動即是“陰靜”。李光地還提出一種方法，就是按圖8-6所示，從下方起向左上斜排，分三行，上下左右的九一三七不動，而是把二與八、四與六對角換位，再“四維挺出”，這樣也成為洛書。這叫做“陽靜陰動”。二、用洛書原理構(gòu)造所有的奇數(shù)階幻方如前所

6、述，洛書是世界上最早出現(xiàn)的一種3階幻方。這是中國古代文明的驕傲，并且已經(jīng)得到全世界的公認(rèn)。當(dāng)代西方數(shù)學(xué)家賴塞在1962年出版的一種權(quán)威性的數(shù)學(xué)著作，開頭就寫道：“中國的大禹在公元前2200年在一只神龜?shù)谋成峡吹饺缦禄梅剑绰鍟硎镜臄?shù)字排列294，753，618）?！备鶕?jù)有關(guān)資料記載，中國之外最早研究幻方的學(xué)者是阿拉伯的塔比·伊本，他生活于公元9世紀(jì)，相當(dāng)于中國唐代后期。后來到了15世紀(jì)，相當(dāng)于中國明代中期，印度人穆曉普魯斯才把幻方介紹到歐洲。幻方在當(dāng)代數(shù)學(xué)中稱為組合數(shù)學(xué)，是數(shù)論的一個分支，是研究“安排”的一門學(xué)科?；梅剑╩agic square），在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)儆跀?shù)論中的組合數(shù)學(xué)部

7、分。其定義可以這樣表述：所謂幻方就是在n×n的方陣中，放入從1到n2個自然數(shù)，在一定的布局下，其各行、各列及兩條對角線上的每一組數(shù)字之和都相等。這個和數(shù)叫“幻方常數(shù)”（magic square constant）或“幻和”（magic sum）。洛書所表示的3階幻方，其幻方常數(shù)等于15。當(dāng)代對幻方的研究已經(jīng)達(dá)到非常高的水平。最新的結(jié)論是，階數(shù)大于2的幻方都是可以做出來的。3階幻方的基本形式只有一種，即洛書所表示的排列方法（其他的形式是鏡象形式）。4階幻方的基本形式有880種，5階幻方的基本形式有2億多種，6階以上幻方的種數(shù)都是非常大的數(shù)字?；梅降难芯坑性S多專門著作。我們所要討論的問題

8、是，用洛書的基本構(gòu)圖規(guī)則可以破解各種高階次幻方的排列方法。主要介紹兩種方法：1、以楊輝概括的洛書構(gòu)圖規(guī)則破解奇數(shù)階幻方前邊已經(jīng)提到，楊輝概括的洛書構(gòu)圖方法是：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出?，F(xiàn)在，我們把洛書數(shù)字的生成原理稍加演變，在“九子斜排”之后，中間畫定一個方陣；再“上下對易，左右相更”；然后把“四維挺出”改為四邊嵌入，就是不把四角的數(shù)挺出來，而是把四邊的數(shù)推進去，嵌入方陣之內(nèi)四邊的空格中，就成了洛書。這樣的方法可以概括為“對易嵌入法”，表述為：九子斜排，中間取方，上下對易，左右相更，四邊嵌入（圖8-07）。為什么要這樣改動呢？就是為了推導(dǎo)出一種普遍地加以運用的規(guī)律。這樣的方法，對

9、于構(gòu)成其他階次的幻方是否有可行呢？我們的結(jié)論是，用“對易嵌入法”構(gòu)造所有的奇數(shù)階次的幻方都是可行的。其方法用這樣的口訣表述：N N斜排，中間取方，上下對易，左右相更，四邊嵌入現(xiàn)在，我們用實踐來證明。先來嘗試用“對易嵌入法” 構(gòu)造5階幻方，體會一下這幾句口訣該怎樣運用。用n=5代入，其方法是：五五斜排，上下對易，左右相更，四邊嵌入。（圖8-08，操作）從我們的實際操作，可以明白這幾句口訣的實際意思。第一句中的N表示階數(shù)，5階幻方就是五五斜排。第二句“中間取方”，是指在斜排后的菱形方陣中取邊數(shù)為5的正方形方陣。第三句“上下對易”，是指中間取定的方陣之外的上下兩個版塊整體對易。第三句“左右相更”，

10、是指中間取定的方陣之外的左右兩個版塊整體相更。第四句“四邊嵌入”，是指對易之后上下左右四個板塊整體地嵌入，每一個數(shù)嵌入所對應(yīng)的空格中。這里的關(guān)鍵問題是，把中間取定的正方形方陣之外的各個三角形板塊作為一個整體看待，一同移動，整體推進，這一點非常重要。這樣構(gòu)成的5階幻方，幻方常數(shù)等于65。當(dāng)然，這只是許許多多的5階幻方的一種形式。這里順便說一下，幻方常數(shù)怎樣計算呢？其公式是： Pn=n（1+n2）。5階幻方的幻方常數(shù)就是： P5=×5×（152）=65現(xiàn)在，我們再來嘗試用“對易嵌入法” 構(gòu)造7階幻方。用n=7代入，其方法是：七七斜排，上下對易，左右相更，四邊嵌入（如圖8-09，

11、操作）。這樣構(gòu)成的7階幻方，幻方常數(shù)用公式計算就是： P7=×7×（172）=175當(dāng)然，這只是許許多多的7階幻方的一種形式。這里，我們再用“對易嵌入法”構(gòu)造9階幻方，過程略去，構(gòu)成的9階幻方如圖8-10：377829702162135456387930712263144647739803172235515164884081326424565717499417333652526581850142743466672759105124375353668196011523447677286920611253445圖8-10 用“對易嵌入法”構(gòu)造的9階幻方這個9階幻方的幻方常數(shù)，用

12、公式計算就是： P9=×9×（192）=369 圖中，彩色部分表示的就是上下左右四個板塊互相換位之后再四邊嵌入的情況。這樣構(gòu)成的9階幻方，具有幻方的基本性質(zhì)。當(dāng)然，這只是許許多多的9階幻方的一種形式。由此類推，我們可以構(gòu)造出11、13、15、17、19、21等各種奇數(shù)階次的幻方。當(dāng)然，這些都是各種奇數(shù)階次的幻方的一種而已。2、以洛書的數(shù)字運行規(guī)則構(gòu)造奇數(shù)階幻方前邊所說的楊輝概括的洛書構(gòu)圖規(guī)則，是從數(shù)字分布的方位來分析的。這里所說的數(shù)字運行規(guī)則是從數(shù)字運行的次序來分析的。洛書中從一到九的排列次序，有什么規(guī)律呢？漢代出現(xiàn)的許多讖緯書中，有一種叫做周易乾鑿度，其中議論九宮問題時說

13、：“太一取其數(shù)以行九宮，四正四維，皆合于十五。”九宮的排列就是洛書。東漢末年，鄭玄為周易乾鑿度作注，在這段話后解釋說：太一者，北辰之神名也。居其所曰太一，常行于八卦日辰之間，曰天一，或曰太一。出入所游息于紫宮之內(nèi)外，其星因以為名焉。天一下行，猶天子出巡狩省方岳之事，每率則復(fù)太一。下行八卦之宮，每四乃還于中央。中央者，北辰之所居，故因謂之九宮。天數(shù)大分，以陽出，以陰入，陽起于子，陰起于午。是以太一下九宮，從坎宮始。所謂太一，就是北辰之神。北辰就是北極星，北辰之神就是天帝，是天神中的最尊者，他的住所在紫微垣中。史記·天官書中說：“中宮天極星，其一明者，太一常居之?！睆埵毓?jié)史記正義注解說：

14、“泰一，天帝之別名也。”鄭玄的解釋說，天帝與眾星之神的關(guān)系就像是一個大家族，居所的分布即為九宮，天帝居于中央之宮；天帝經(jīng)常在這個家族的成員之間巡行，其巡行的順序是按照后天八卦的次序圖，從坎起，至離止，路線是：坎（中男）坤（母）震（長男）巽（長女）中央乾（父）兌（少女）艮（少男）離（中女）（圖8-11）巽東南長女離南中女坤西南母震東長男中央北辰所居兌西少女艮東北少男坎北中男乾西北父圖8-11 太一與眾星之神所居九宮圖中，八卦的八個卦象分別代表著八個方位，同時也分別代表著這個大家族中兩代家庭成員的居所。太一之神的巡行順序，如果用從一到九的數(shù)字排列來表示，就是九宮的數(shù)字排列，也就是洛書的數(shù)字排列。明

15、代，有人把所謂的太一之神的巡行路線，畫成一個圖，叫“洛書符”（圖8-12）。洛書符圖圖8-12 洛書符這是一個一筆畫的圖，形象地表示出太一巡行的次序。清代初年，畫家蕭云從畫的“問天圖”，這是為屈原的天問畫的插圖，名為“日月三合九重八柱十二分圖”，中間的圖就是洛書符（圖8-13）。問天圖圖8-13 蕭云從畫“日月三合九重八柱十二分圖”在洛書九宮中，太一巡行的規(guī)律可以這樣來理解：太一之神從“一”位出發(fā)，本來是按著“右下斜行”的規(guī)律，到“二”時出到九宮之外，就轉(zhuǎn)到九宮之內(nèi)的最上一格。好像是九宮本是一個無限展延的空間，這一列的三格往下延伸，重復(fù)的位置仍然在原九宮中體現(xiàn)，所以回到上面一格中。從“二”到“

16、三”，又是出到九宮之外了，按前面的道理，也照樣轉(zhuǎn)到九宮之內(nèi)。從“三”再“右下斜行”，“四”應(yīng)到“一”位，而這里已被“一”占據(jù)，我們理解為“遇阻”，這時就往上升了一格（或者說退、讓）。然后“右下斜行”到“五”、“六”，再往下的“七”又出了九宮之外，轉(zhuǎn)內(nèi)之后仍然是已被他數(shù)占據(jù)，于是“七”就按前例升一格。從“七”再斜行到九宮之外，于是“八”按前例轉(zhuǎn)內(nèi)。再往下的“右下斜行”，“九”轉(zhuǎn)內(nèi)而到最上面的一格中。今天，我們來總結(jié)一下，把太一之神的巡行路線的規(guī)律，可以推廣到所有3階以上的奇數(shù)階的幻方。這樣的方法，我稱它為“太一巡行法”。我們的結(jié)論是：用“太一巡行法”可以構(gòu)造所有的奇數(shù)階的幻方。其方法可以用這樣的

17、口訣表述：始于下中，右下斜行，出外轉(zhuǎn)內(nèi)，遇阻升格?，F(xiàn)在，我們用實踐來證明。先來嘗試用“太一巡行法”構(gòu)造5階幻方，體會一下這幾句口訣該怎樣運用。11182529101219213461320222357141617241815圖8-14 用“太一巡行法”構(gòu)造5階幻方如圖8-14，遵照上述規(guī)則，1從圖中下行中間開始，按右下斜行法，2則出框外，移至右行上方位置；至4時亦出框外，則移至下一行左方位置；至6時前方被1占據(jù)，則升一格；至10時出框外，則移至下一行左方位置；至11時前方被6占據(jù)，則升一格；至16時同洛書中的6，升一格；至17時如前例，移至下一行左方位置；至18時同前例，移至右行上方位置；至2

18、1時前方被16占據(jù)，則升一格；至23時同前例，移至下行左方位置；至25時又按規(guī)則移至右行上方位置。用“太一巡行法”構(gòu)成的5階幻方，符合幻方的基本性質(zhì)，它只是許許多多種5階幻方中的一種。把這種5階幻方和圖59用“對易嵌入法”構(gòu)造的5階幻方相比較，其形式顯然不同。這里，我們再用“太一巡行法”構(gòu)造7階幻方、9階幻方，這里將過程略去，只給出結(jié)果（圖8-15、圖8-16）：22314049211202123324143312131524334244451416253436454668172635373847791827293039481101928圖8-15 用“太一巡行法”構(gòu)造的7階幻方3748597

19、08121324353638496071733142526283950617274415162729405162647556171930415263657677718203142535566677881021324354565768799112233444647586980112233445圖8-16 用“太一巡行法”構(gòu)造的9階幻方用“太一巡行法”構(gòu)成的7階、9階幻方，符合幻方的基本性質(zhì)，它只是許許多多種7階、9階幻方中的一種。同前面用“對易嵌入法”構(gòu)造的7階、9階幻方相比，其形式顯然不同。用“太一巡行法”還可以構(gòu)造11、13、15、19直到所有的奇數(shù)階幻方，都是可以成功的。有興趣的朋友可以試

20、一試。第九講 河圖洛書的數(shù)學(xué)奧秘（下）三、洛書原理和4階幻方的構(gòu)成前面講了用“對易嵌入法”和“太一巡行法”可以構(gòu)造出所有的奇數(shù)階幻方，那么，偶數(shù)階的幻方能不能做出來呢？李光地周易折中一書卷二十一“啟蒙附論”記述了4階幻方的構(gòu)圖原理也可以利用洛書“上下對易，左右相更”的換位法。具體做法是第一種排列法是，“以十六數(shù)自左而右、自上而下列之”（圖9-01）：12345678910111213141516圖9-01 十六數(shù)排列法（一）然后進行換位，有兩種換位法：第一種換位法是，“其居中與居四隅者不易，而居四方者交易，則成縱橫皆三十四之?dāng)?shù)”。意思是按圖9-02的換位示意圖進行換位，而成為圖9-03，即構(gòu)成

21、4階幻方?；梅匠?shù)用公式計算為： P4=×4×（142）=34這樣構(gòu)成的4階幻方，只是880種4階幻方的一種。換位示意圖圖9-02 換位示意圖（一）11514412679810115133216圖9-03 李光地的4階幻方（一）第二種換位法是，“若居四方者不易，而居中與居四隅者交易，亦成縱橫皆三十四之圖矣”。意思是按照圖9-04的辦法進行換位，而成圖9-05：換位示意圖圖9-04 換位示意圖（二）16231351110897612414151圖9-05李光地的4階幻方（二）這兩種形式的4階幻方，實際上只是一種，第二種是第一種的倒立形式。李光地還提出第二種排列法，就是 “以十

22、六數(shù)自右而左、自下而上列之”（圖9-06）：16151413121110987654321圖9-06 十六數(shù)排列法（二）然后“用前法變?yōu)閮蓤D”，即用前圖9-02的方法進行換位而成圖9-07、用前圖9-04的方法進行換位而成圖9-08：16231351110897612414151圖9-07 李光地的4階幻方（三）11514412679810115133216圖9-08 李光地的4階幻方（四）這兩種方的形式，實際上和前兩種是一樣的，圖9-07和圖9-05完全一樣，圖9-08和圖9-03完全一樣。李光地的上述方法，來源于洛書構(gòu)成原理的換位法。他總結(jié)說：自洛書以三三積數(shù)為數(shù)之原，而自四以下皆以為法焉

23、，何則？三者，天數(shù)也，故其象圓，如前圖，居四方與居四隅者或動或靜（居中者一定不易），而各成縱橫皆十五之?dāng)?shù)矣。四者，地數(shù)也，故其象方，如后圖，居中居四隅與居四方者或動或靜，亦各成縱橫皆三十四之?dāng)?shù)矣。自五五以下皆以三三圖為根，自六六以下皆以四四圖為根，而四四圖又實以三三圖為根，故洛書為數(shù)之原，不易之論也。這段論述明確指出了洛書在幻方中的本原地位，即洛書是構(gòu)造各種復(fù)雜幻方的基礎(chǔ)。所謂“前圖”，指洛書所表示的3階幻方，所謂“后圖”，指依據(jù)洛書換位法所構(gòu)成的4階幻方。由此推斷，他認(rèn)為5階以上的各種奇數(shù)階幻方都是以3階幻方為根的，6階以上的各種偶數(shù)階幻方都是以4階幻方為根的，而4階幻方又是以3階幻方為根的

24、。因此，他得出“洛書為數(shù)之原”的重要論斷。這一觀點，在幻方研究史上已經(jīng)受到高度重視。四、河圖和8階幻方8階幻方的構(gòu)成比較復(fù)雜，當(dāng)代數(shù)學(xué)已經(jīng)做出圓滿的解答，這里不多講，只介紹一種與河圖有關(guān)系的8階幻方。易經(jīng)中的八卦互相配合成為六十四卦，其卦數(shù)64是8的平方數(shù)，河圖洛書又都和八卦密切相連。因此八卦、河圖就和8階幻方有密切的關(guān)系。南宋數(shù)學(xué)家楊輝續(xù)古摘奇算法制作出兩種8階幻方，就稱之為“易數(shù)圖”，意思就是這種幻方反映著易經(jīng)的數(shù)理。他的“易數(shù)圖”給出陰、陽兩式圖（圖9-09、圖9-10）：6143622636415213145115504916452019461847481736293035313433

25、3256059658785712535411551095621444322422324412837382739262540圖9-09 楊輝的“易數(shù)圖·陽圖”61326457766012545591650511320464717244243213727264033313036293534322539382844222341481819455214154956101153559588163624圖9-10楊輝的“易數(shù)圖·陰圖”上兩圖都完全符合幻方的基本性質(zhì)，幻方常數(shù)用公式計算為： P8=×8×（182）=260楊輝創(chuàng)造的這兩個8階幻方固然非常巧妙，但和我們要

26、討論的河圖洛書問題的關(guān)系還不太直接，因此這里不作過多的分析。這里介紹的是元代李簡制作的一個8階幻方。李簡學(xué)易記卷首“圖說”中有一幅“先天衍河圖萬物數(shù)圖”（圖9-11），實際上是一個8階幻方，而且是一個和八卦有直接關(guān)系的非常奇妙的幻方。圖位置圖9-11 李簡的“先天衍河圖萬物數(shù)圖”（一）這個圖的產(chǎn)生過程，我在河圖洛書探秘一書中有詳細(xì)的分析，讀者有興趣可以查看，再作進一步的研究。這里只是想和朋友們一起從欣賞的角度來認(rèn)識一下這幅圖的奇妙。我們把圖9-11“先天衍河圖萬物數(shù)圖”換成阿拉伯?dāng)?shù)字表示，則為圖9-12：233496457163522423156184930431063381940175815

27、55227462548750543264728456511162391837205914294453455241323621126160132433圖9-12 李簡的“先天衍河圖萬物數(shù)圖”（二）這個8階幻方和楊輝制作的兩個“易數(shù)圖”都不相同，相比之下，這幅圖更加奇妙。如果把164按8個數(shù)一組分為8組，每一組數(shù)的排列都很有規(guī)則。18這8個數(shù)的排列構(gòu)成環(huán)形，分別是乾、坤、艮、坎、巽、震、離、兌，正是八卦的位置，只是八卦的方位和先天八卦、后天八卦都不相同。916這8個數(shù)的位置處于18這8個數(shù)的外圈對角位置，非常有規(guī)律地分布著。4956緊貼18的外側(cè)，構(gòu)成一個環(huán)形；5764也緊貼18的外側(cè)，又構(gòu)成一個

28、環(huán)形；這兩個環(huán)形呈對稱互補的規(guī)律。中間幾組數(shù)，即1724、2532、3340、4148，其分布也各有規(guī)律。把玩此圖，真是妙不可言！五、洛書數(shù)字排列原理的推論和應(yīng)用如前面所講的，洛書的數(shù)字排列原理是構(gòu)成所有奇數(shù)階次的幻方的基礎(chǔ)?，F(xiàn)在，我們還可以在洛書數(shù)字排列的基礎(chǔ)上進行推論，構(gòu)造出各種形式的幻方。洛書表示的3階幻方是：492357816在此基礎(chǔ)上可以作出的推論很多，這里主要介紹四種類型：1、在自然數(shù)的序列中任意截取連續(xù)的9個數(shù)，按洛書的數(shù)字規(guī)則排列，都可以形成幻方。就是說，洛書的9個數(shù)分別各加上同一個數(shù)，仍然是幻方。如，9個數(shù)各加上100，則為：101，102，103，104，105，106，1

29、07，108，109按洛書原理填入，也是幻方，如圖9-13：104109102103105107108101106圖9-13幻方常數(shù)是315。說明一點，這樣的幻方的幻方常數(shù)，是不能用前面所說的公式Pn=n（1+n2）來計算的，那樣的公式只適用于從1開始的連續(xù)自然數(shù)。2、洛書的9個數(shù)分別乘以一個相同的整數(shù)，仍然是幻方。如，9個數(shù)各乘以100，就是：100，200，300，400，500，600，700，800，900按洛書原理填入，也是幻方，如圖9-14，幻方常數(shù)是1500：400900200300500700800100600圖9-143、用洛書原理可以構(gòu)造非常規(guī)幻方。如，1900年西方數(shù)學(xué)家

30、杜德尼構(gòu)造出一個素數(shù)幻方。（素數(shù)就是質(zhì)數(shù)，就是只能被1和自身整除而不能被其他任何數(shù)整除的數(shù)。）如圖9-15，這就是一個非常規(guī)幻方：3173713376167143圖9-15 杜氏素數(shù)幻方在20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)界，1是被作為素數(shù)看待的。杜氏挑選的是100以內(nèi)的素數(shù)，但不是連續(xù)素數(shù)。構(gòu)思非常奇特，1、7、13三個數(shù)，公差是6，31、37、43三個數(shù)，公差也是6，61、67、73三個數(shù)，公差也是6；而從13到31，從43到61，差是18?；梅匠?shù)是111。而排列的次序，就是洛書9數(shù)的次序。后來，世界數(shù)學(xué)界在數(shù)論中明確了1不是素數(shù)，于是，又有一位數(shù)學(xué)家魯?shù)罓柗蛑匦伦龀隽藗€3階素數(shù)幻方，如圖9-16：4711317295989101571圖9-16 魯氏素數(shù)幻方魯氏挑選的素數(shù)也不是連續(xù)素數(shù)，他的構(gòu)思和杜德尼的方法相似。5、17、29三個數(shù)的公差是12，47、59、71三個數(shù)的公差也是12，89、101、113三個數(shù)的公差也是12；而從29到47，從71到89，差是18。這個幻方的幻方常數(shù)是177。而排列的次序，就是洛書9數(shù)的次序。4、用洛書原理構(gòu)造組合幻方。在洛書原理的基礎(chǔ)上，凡是階數(shù)為3的倍數(shù)的幻方，都可以用組合法進行構(gòu)造。在能夠做出4階幻方的基礎(chǔ)上，凡是4的倍數(shù)的幻方也同樣可以用組合法進行構(gòu)造。這里我們以12階幻方為例演示一下。12是3與4的