六年級(jí)奧數(shù)_數(shù)論教師版

1、A 1000 2001 A 1000 3 23 29 ,則 A 1000 是質(zhì)數(shù)，所以 A 的數(shù)論（一）數(shù)論問題本身范圍很廣，我們考察小學(xué)奧數(shù)的內(nèi)容，完全平方數(shù)等知識(shí)點(diǎn)跟基礎(chǔ)課內(nèi)容結(jié)合很緊密， 但又是小奧的重難點(diǎn)，我們有必要加以重視.本講需要學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)有：平方數(shù)性質(zhì)、平方差公式、 約數(shù)個(gè)數(shù)定理、約數(shù)和定理、輾轉(zhuǎn)相除法等 本講內(nèi)容中，平方數(shù)部分是數(shù)論中最基本的部分，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用平方差公式，對(duì)于約數(shù)和倍 數(shù)部分，老師應(yīng)當(dāng)更注重其中的邏輯過程，可以適當(dāng)用一些代數(shù)的方法將題目講的更明白和透徹【例1】一個(gè)5位數(shù)，它的各位數(shù)字和為 43,且能被11整除，求所有滿足條件的 5位數(shù).【分析】 現(xiàn)

2、在我們有兩個(gè)入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被 11整除性質(zhì)的運(yùn)用要有具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手.5位數(shù)數(shù)字和最大的為 9X5=45,這樣43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8.這樣 我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979, 97999, 98989.【例2】已知ABCA是一個(gè)四位數(shù)，若兩位數(shù) AB是一個(gè)質(zhì)數(shù)，BC是一個(gè)完全平方數(shù)，CA是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為1的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是 .【分析】 本題綜合利用數(shù)論知識(shí)，因?yàn)?AB是一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以 B不能為偶數(shù)，且同時(shí) BC是一個(gè)完全

3、平方 數(shù)，則符合條件的數(shù)僅為16、36,當(dāng)B 1時(shí)，滿足AB是一個(gè)質(zhì)數(shù)的數(shù)有11, 31, 41, 61, 71, 時(shí)，此時(shí)同時(shí)保證 CA是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為1的完全平方數(shù)之積，只有 3163符合；當(dāng)B 3,滿足AB是一個(gè)質(zhì)數(shù)的數(shù)有13, 23, 43, 53, 73, 83,此時(shí)同時(shí)保證 CA是一個(gè)質(zhì) 數(shù)與一個(gè)不為1的完全平方數(shù)之積，只有 8368符合.分解質(zhì)因數(shù)例1 2001個(gè)連續(xù)的自然數(shù)之和為 a b c d,若a、b、c、d都是質(zhì)數(shù)，則a b c d的最小值是 多少【分析】 遇到等量關(guān)系的表述時(shí)， 先將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.設(shè)這2001個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)是 A,則最大的一個(gè)是 A 2

4、000（遇到多個(gè)連續(xù)自然數(shù)問題，轉(zhuǎn)化時(shí)一般均采用假設(shè)法，自己需要的量， 題目中沒有時(shí)，可以設(shè)未知數(shù) ），則它們的和是：A A 2000 20012最小值是9. a b c d的最小值是：1009 3 23 29 1064.拓展101個(gè)連續(xù)的非零自然數(shù)的和恰好是四個(gè)不同的質(zhì)數(shù)的積，那么這個(gè)最小的和應(yīng)該是.分析設(shè)這101個(gè)自然數(shù)中最小的數(shù)為 a ,則101個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為： a+(a+1)+( a+2)+( a+100)=(a + a+100) x 101 2=( a+50) x 101因?yàn)?01是質(zhì)數(shù)，所以a+50必須是3個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，要使和最小.經(jīng)檢驗(yàn)a+50=66=2X3X 11最小，所以

5、和最小為 66X101=6666.鋪墊已知口*口、口。、 二口口,其中口、0、分別表示不同的數(shù)字，那么 四位數(shù)?？谑嵌嗌俜治鲆?yàn)榭诳诳?口 10101,所以在題述等式的兩邊同時(shí)約去口即得。 10101.作質(zhì)因數(shù)分解得10101 3 7 13 37,由此可知該數(shù)分解為 3個(gè)兩位數(shù)乘積的方 法僅有21 13 37 .注意到兩位數(shù)口的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別在另外的兩位數(shù)口。和中 出現(xiàn)，所以口: 13, DO =37, : 21 .即0 =7 , A=1, 口= 3 , = 2 ,所求的四位數(shù)是 7132.【例2】N為自然數(shù)，且N 1,N 2、N 9與690都有大于l的公約數(shù).N的最小值為 . 【分析

6、】690 2 3 5 23,連續(xù)9個(gè)數(shù)中，最多有5個(gè)是2的倍數(shù)，也有可能有 4個(gè)是2的倍數(shù)， 如果有5個(gè)連續(xù)奇數(shù)，這 5個(gè)連續(xù)奇數(shù)中最多有 2個(gè)3的倍數(shù)，1個(gè)5的倍數(shù)，1個(gè)23的倍數(shù)， 所以必然有一個(gè)數(shù)不是 2、3、5、23的倍數(shù)，即與690沒有大于l的公約數(shù).所以9個(gè)數(shù)中只有4個(gè)奇數(shù)，這個(gè)數(shù)中，有2個(gè)3的倍數(shù)，1個(gè)5的倍數(shù)，1個(gè)23的倍數(shù)，則N 1、 N 3、N 5、N 7、N 9是偶數(shù)，剩下的4個(gè)數(shù)中N 2、N 8是3的倍數(shù)(5個(gè)偶數(shù)當(dāng)中 只有N 5是3的倍數(shù))，還有N 4、N 6一個(gè)是5的倍數(shù)，一個(gè)是23的倍數(shù).剩下的可以用中國(guó)剩余定理求解，N 5是2和3的倍數(shù)，且相鄰兩個(gè)數(shù)中一個(gè)是23

7、的倍數(shù)，另一個(gè)是5的倍數(shù)，顯然N 5 24是最小解，所以 N的最小值為19.約數(shù)、倍數(shù)【例3】已知，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288,最大公約數(shù)是 4,甲乙兩數(shù)不是 288和4中的數(shù)，那么甲乙兩數(shù)的乘積為多少和為多少【分析】 設(shè)甲乙兩個(gè)數(shù)為4x, 4y, (x和y都不等于1或72)，則x , y兩數(shù)互質(zhì)，于是4x , 4y的最小公 倍數(shù)為4xy,所以xy 288 72 , 72 23 32,由于x , y互質(zhì)，所以2或3不可能在x, y的因 4子中都出現(xiàn)，所以 x, y一個(gè)是8一個(gè)是9 ,所以兩數(shù)的乘積等于 4y 4x 4 4xy 1152 ,和為 4x 4y 4 8 968.【例4】有15位同學(xué)

8、，每位同學(xué)都有編號(hào)， 它們是1號(hào)到15號(hào).1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說：“這 個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說“這個(gè)數(shù)能被 3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能 被他的編號(hào)數(shù)整除，1號(hào)作了一一驗(yàn)證，只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問:說得不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù).【分析】 首先可以斷定編號(hào)是2, 3, 4, 5, 6, 7號(hào)的同學(xué)說的一定都對(duì).不然，其中說的不對(duì)的編號(hào)乘 以2后所得編號(hào)也將說得不對(duì)，這樣就與“只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說的不對(duì)”不符合.因此， 這個(gè)數(shù)能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除.其次利用整除

9、性質(zhì)可知，這個(gè)數(shù)也能被 2X5, 3X4, 2X7都整除，即編號(hào)為10, 12, 14的同學(xué)說的也對(duì).從而可以斷定說的不對(duì)的編號(hào)只能是8和9.這個(gè)數(shù)是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍數(shù)，由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是60060 ,因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而十二個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以 1號(hào)同學(xué)寫的數(shù)就是 60060.拓展1 一個(gè)兩位數(shù)有6個(gè)約數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的 3個(gè)約數(shù)和為10,那么此數(shù)為幾分析1最小的三個(gè)約數(shù)中必然包括約數(shù)1,除去1以外另外兩個(gè)約數(shù)和是 9,由于9是1個(gè)奇數(shù)，所以這兩個(gè)約數(shù)的奇偶性質(zhì)一定是相反的，其中一定有

10、一個(gè)是偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù).于是顯然的，2是這個(gè)數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7,所以這個(gè)兩位數(shù)是 14的倍數(shù)，由于這個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6,所以這個(gè)數(shù)只能是14或98,其中有6個(gè)約數(shù)的是98.約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如 pjp2a2 P3a3L pn"那么n的約數(shù)個(gè)數(shù)為d na11a21 a3 1 L an1自然數(shù) n的約數(shù)和為 S nPPa1 1L P； P； 1P2a2P2a21 L P22P；1 L【例5】?jī)蓴?shù)乘積為2800,而且己知其中一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)多1,那么這兩個(gè)數(shù)分別是【分析】28

11、00 24 52 7,由于其中一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)多1,所以這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)的約數(shù)為奇數(shù)個(gè) 這個(gè)數(shù)為字全平方數(shù)故這個(gè)數(shù)只能為224522252或24 52”榆222、2、。、2525驗(yàn)，只有兩數(shù)分別為 24和52 7時(shí)符合條件，所以這兩個(gè)數(shù)分別是16和175.鋪墊在三位數(shù)中，恰好有9個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)分析9 1 9 3 3,所以9個(gè)約數(shù)的數(shù)可以表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)的8次方，或者兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有 256符合條件，后者中符合條件有100、196、484、676、225、441,所以符合條件的有7個(gè).【例6】?jī)蓚€(gè)整數(shù)A、B的最大公約數(shù)是 C,最小公倍數(shù)是 D,并且

12、已知C不等于1,也不等于 A或B, C D 187,那么A B等于多少【分析】 最大公約數(shù)C,當(dāng)然是最小公倍數(shù) D的約數(shù)，因此 C是187的約數(shù)，187 11 17, C不等于1, 只能是C 11或者C 17 .如果C 11,那么D 187 11 176 . A和B都是176的約數(shù)，A和B 不能是11,只能是22, 44, 88, 176這四個(gè)數(shù)中的兩個(gè)，但是這四個(gè)數(shù)中任何兩個(gè)數(shù)的最大公約 數(shù)都不是11,由此得出C不能是11.現(xiàn)在考慮C 17,那么D 187 17 170, A和B是170 的約數(shù)，又要是17的倍數(shù)，有34, 85, 170三個(gè)數(shù)，其中只有 34和85的最大公約數(shù)是17,因 此

13、，A和B分別是34和85, A B 34 85 119.【例7】已知A是一個(gè)有12個(gè)約數(shù)的合數(shù)，8A、10A有24個(gè)約數(shù)，12A有40個(gè)約數(shù)，求15A有多少個(gè) 約數(shù)【分析】設(shè)A 2a 3b 5c d , d中不含有2、3、5因子，那么A的約數(shù)個(gè)數(shù)有 a 1 b 1 c 1 N 12L L L L（其中N為d的約數(shù)個(gè)數(shù)）a 48A的約數(shù)個(gè)數(shù)為 a 4 b 1 c 1 N 24,與比較得到 2,于是a 2, a 1c 2 310A的約數(shù)個(gè)數(shù)為 a 2 b 1 c 2 N 4 b 1 c 2 N 24,與比較，于是c 1, c 12b 212A的約數(shù)個(gè)數(shù)為 a 3b 2c1N 10 b 2N40,與

14、比較得到 2 ,于是b 0, b 1將a、b、c代入得到N 2, 15A的約數(shù)個(gè)數(shù)為 a 1 b 2 c 2 N 36.鋪墊已知偶數(shù) A不是4的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)為 12,求4A的約數(shù)的個(gè)數(shù).分析將A分解，A 2B ,其中B是奇數(shù)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)為 1 1N 12 ,（其中N為B的約數(shù)個(gè)數(shù)）， 則4A的約數(shù)個(gè)數(shù)為1 3 N 24.【例8】要使12m 9n這個(gè)積是65的倍數(shù)，并要使 m n最小，則m ,n .【分析】 分析題意，為同一個(gè)數(shù)可以由兩種乘積的形式表示.關(guān)于因數(shù)乘積表示形式，類比聯(lián)系我們所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)：質(zhì)因數(shù)的唯一分解式：m _n -2m _m 2n 5-5_5 上則12923 是6

15、23的倍數(shù)，則得到2m 5 m, n為整數(shù)，使m n最小，則m 3. m 2n 5n 1完全平方數(shù)【例9】從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以 72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè) 【分析】 完全平方數(shù)，所有質(zhì)因數(shù)必成對(duì)出現(xiàn). 3272 2 3 2 6 6 ,所以滿足條件的數(shù)必為某個(gè)完全平萬數(shù)的2倍，2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048,共 31 個(gè).鋪墊1有5個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個(gè)平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最 小值為.分析1考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時(shí)候有技 巧.設(shè)中間數(shù)是 x,則它們的和為 5x

16、,中間三數(shù)的和為 3x. 5x是平方數(shù)，設(shè) 5x 52 a2,則 x 5a2. 3x 15a2 3 5 a2是立方數(shù)，所以a2至少含有3和5的質(zhì)因數(shù)各2個(gè)，a2至少是225, 中間的數(shù)至少是1125.最小數(shù)的最小值為1123.【例10】志誠(chéng)小學(xué)三四年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)多100人，但比五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)少53人，已知五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)和一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)都是完全平方數(shù)，那么志誠(chéng)中學(xué)總的學(xué)生人數(shù)有多少人（請(qǐng)寫出最現(xiàn)實(shí)的答案）【分析】五六年級(jí)的人數(shù)和一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)都是完全平方數(shù)，所以可以設(shè)五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為A2,一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為 B2,則153 A B A B ,而153 3

17、 3 17 ,所以， A B與 A B 可能為153和1; 17和9; 51和3,由這三個(gè)答案得到的 A和B的值分別為：77和76, 13和4, 27和24,顯然由前兩組答案得到的學(xué)校人數(shù)不符合現(xiàn)實(shí)，所以A 27, B 24為最佳結(jié)果.此時(shí)五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為 729人，一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為576人，三四年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為676,學(xué)校的總?cè)藬?shù)為 729 576 676 1981人.鋪墊能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上24,和減去30所得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)分析1假設(shè)能找到，設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別為A2、 B2,那么這兩個(gè)完全平方數(shù)的差為 54 A B A B ,由于A B和A B的奇偶性質(zhì)相同，所以

18、A B A B不是4的倍數(shù)， 就是奇數(shù)，所以54不可能等于兩個(gè)平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找不到【例11】一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=52 32, 16就是一個(gè)“智慧數(shù)”，那么從 1開始的自然數(shù)列中，第 2003個(gè)“智慧數(shù)”是 . 22【分析】a b = a b a b ,因?yàn)閍 b與a b同奇同偶， 所以“智慧數(shù)”是奇數(shù)或是4的倍數(shù).對(duì)于任彳S大于1的奇數(shù)2n 1 （ n 1）,當(dāng)a n 1 , b n時(shí)，都有a2 b2 = （n 1）2 n2 = 2n 1. 即任何大于1的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”.對(duì)于任彳S大于 4的4的倍數(shù)4n （n 2）,當(dāng)a n

19、1 , b n 1時(shí)，都有 a2 b2 = （n 1）2 （n 1）2 = 4n .即任何大于4的4的倍數(shù)都是“智慧數(shù)” .除了 1和4以外，非“智慧數(shù)”都是不能被 4整 除的偶數(shù)，“智慧數(shù)”約占全部正整數(shù)的-.2003 3 2671 ,為2672 4 668 ,加上1和4這44兩個(gè)非“智慧數(shù)”，在 12672中共有非“智慧數(shù)” 668+2=670（個(gè)），有“智慧數(shù)” 2672 670=2002（個(gè)）.所以第2003個(gè)“智慧數(shù)”是 2673.【例12】（2008年清華附中入學(xué)考試題）有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是 14,將它們分別平方，得到的兩個(gè) 平方數(shù)的末兩位數(shù)（個(gè)位數(shù)和十位數(shù)）相同，那么這兩個(gè)兩

20、位數(shù)是 （請(qǐng)寫出所有可能的 答案）.29【分析】（法一）設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是 a和a 14,則a與a 14兩個(gè)數(shù)的末兩位相同，即 a與2a 28a 196的末兩位相同，所以 28a 196是100的倍數(shù)，a個(gè)位只能是3或8.先設(shè)a 10k 3,則28a 196 280k 280,當(dāng)k 4, 9時(shí)滿足條件，但k 9時(shí)較大的兩位數(shù)大于 100不合題意.再設(shè)a 10k 8,可求得k 1, 6時(shí)滿足條件.所以一共有（43,57）、（18,32）、（68,82）三組答案.22（法一）a 14 a a 14 a a 14 a 28 a 7 , 28 a 7 是 100 的倍數(shù)，所以 a 7 是25的倍數(shù)，符合

21、條件的a只有18、43、68 .1. .兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和等于365,又有三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和等于365,則這兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)為,這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為 .【分析】132 142 365,所以這兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)為13、14, 102 112 122 365 ,所以這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為 10、11、12 .2. 有n個(gè)自然數(shù)相加：1 2 3 L n 前（和恰好是三個(gè)相同數(shù)字組成的三位數(shù)），那么n .【分析】1 2 3 L n n（n-） aaa, n（n 1） 2aaa 2 111 a 2 3 37 a,由于 a是個(gè)一位數(shù)， 2n與n 1是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，只有當(dāng) a 6, n 36時(shí)滿足題意，所以所求的 n為36 .3. 已知A有12個(gè)約數(shù)，9A有24個(gè)約數(shù)，15A有3