天津市部分區(qū)2019-2020學年度第一學期期末考試高三數(shù)學

1、天津市部分區(qū)20192020學年度高三年級上學期期末考試數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分.1 .設(shè)全集 U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A = 2, 3, 4, 6 , B =1, 4, 7, 8,則 A" (ejB)= ( )A. 4B. 2, 3,6C.2,3,7D. 2, 3,4,72 . 拋物線y2 =4x的準線方程是()A. X =1B. y =1C. x -1D. y =-1、一 _2_，一3 .設(shè) XW R ,則 “ X -2x <0” 是“ x 1 <2” 的()A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分

2、條件D.既不充分又不必要條件224.直線x y +1 = 0與圓x + ( y +1) =4相交于A、B ,則弦AB的長度為()A. .2B.2%2C.2D.4*、5.已知數(shù)列an中，a =1 , 2an4 =an(nu N ),記an的前n項和為& ,則()A. Sn=2an_1b.Sn=1-2anC. & =a°-2D.Sn=2-an116.已知偶函數(shù)f (x)在區(qū)間(-i, 一1)上單倜遞增，右a = ln3 , b = log2 , c = 10gl -，則f (a), 3/5f(b), f(c)的大小關(guān)系為()A. f (a) . f (b) . f (c)

3、B. f (b) . f(c) . f(a)C. f (c) . f (b) . f(a)D. f (a) . f(c) . f(b)7.將函數(shù)f (x) =sin 2x的圖象向右平移三個單位長度后得到函數(shù) g(x)的圖象，則下列說法正確的是 68.( )二 1A. g(-)二22B. g(x)的最/、正周期是 4nC. g(x)在區(qū)間0 ,工上單調(diào)遞增D. g(x)在區(qū)間三，變上單調(diào)遞減33622已知雙曲線C：與4=1(a>0, b>0)的右焦點為F(J6, 0),點P在C的一條漸近線上,a b若PO =|PF (O是原點)，且APOF的面積為2222“ x y ,x y ,A.

4、 -=1B. 5"亞,則C的方程是(422xy/C. - - = 1332x 2/D. - - y = 159.ln(x -2)2 *3已知函數(shù)f (x);-x2 15x -36 x 3,若關(guān)于x的方程f (x) = kx恰有三個互不相同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是()A. 3 , 12B. (3 , 12)C. (0 。 12)D.(0 , 3)二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.其中第14題答對1空得3分，全對得5分.10 . i是虛數(shù)單位，若復數(shù) z滿足(1+3i)z=4i ,則z=.111 . (2x-二)6的展開式中含x3項的系數(shù)是 (用數(shù)字作答). x一

5、，一一 4 312 .已知a>0, b>0,且a+3b = 1 ,則一+一的最小值是.a b13 .已知半徑為2的球的球面上有 A、B、C、D不同的四點，MBC是邊長為3的等邊三角形，且DO_L高三數(shù)學試卷 第1頁(共3頁)平面ABC(。為球心，D與O在平面ABC的同一側(cè))，則三棱錐 DABC的體積為.2*14 .設(shè)an是等差數(shù)列，右 a5 =9 , a2 +a7 =16 ,則 an =;右 bn =+ 1(nw N ),則數(shù)anan 1歹Ubn的前n項和Sn =.15 .設(shè)點M、N、P、Q為圓x2 + y2 =r2(r w R)上四個互不相同的點，若 MP，PN = 0 ,且(P

6、M + -I T PN) PQ = 2 ,則 PQ =.三、解答題：本大題共 5個小題，共14X2+15+16X 2=75分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或 演算步驟.16 .在 AABC 中，內(nèi)角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c.已知 2(sin AcosC + cosAsinC )= sin A sin C.求證：a、b、c成等差數(shù)列；2 二一右c = 7, C =，求b和sin2 B的值. 317 .每年的12月4日為我國“法制宣傳日”.天津市某高中團委在 2019年12月4日開展了以“學法、遵 法、守法”為主題的學習活動 .已知該學校高一、高二、高三的學生人數(shù)分別是480

7、人、360人、360人.為檢查該學校組織學生學習的效果，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校全體學生中選取10名學生進行問卷測試.具體要求：每位被選中的學生要從 10個有關(guān)法律、法規(guī)的問題中隨機抽出 4個問題進行作 答，所抽取的4個問題全部答對的學生將在全校給予表彰.求各個年級應選取的學生人數(shù)；若從被選取的10名學生中任選3人，求這3名學生分別來自三個年級的概率；若被選取的10人中的某學生能答對 10道題中的7道題，另外3道題回答不對，記 X表示該名學 生答對問題的個數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.18 .如圖，在三柱 ABC AB1C1 中，P、O分別為 AC、A1C1 的中點，PA = PC1

8、= 2&，AB1 = B1C1= PBi =2收 AiCi =4.求證：PO，平面AB1c1 ;求二面角B1 - PA1 -C1的正弦值；1,，、已知H為棱BiCi上的點，若 BH =-BiCi ,求線段PH的長度.3x y19.設(shè)橢圓 _+Z2=i(a >b >0)的左、右焦點分別為 F1(_c, 0)、f2( 0),點p在橢圓上，。為 a b原點.若PO =c, NF20P =二，求橢圓的離心率；311 e若橢圓的右頂點為 A,短軸長為 2,且滿足 + =(e為橢圓的離心率).|of2| |oa|3|f2a|求橢圓的方程；設(shè)直線l ： y=kx-2與橢圓相交于P、Q兩點

9、，若APOQ的面積為1,求實數(shù)k的值.1220.已知函數(shù)f (x) =ln(ex)十一ax +(a+1)x(e為自然對數(shù)的底數(shù)) 2當a =1時，求曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線方程；討論f(x)的單調(diào)性； 一，一3當a <0時，證明f(x) <-1.2a高三數(shù)學試卷 第4頁(共3頁)天津市部分區(qū)20192020學年度第一學期期末考試高三數(shù)學參考答案與評分標準10.6 2i5 511. -19212. 2513.14. 2n -12n2 3n '2n 115. 2解答題:（本大題共5個小題，共75分）16.解：（1）因為 2(sin AcosC 十cosAsi

10、nC )= sin A +sin C ,所以 2 si nA C = siA sCn由于在 MBC 中，A+C = n -B ,所以 si Q A+ C)= si B所以 2sin B =sin A sin C .由正弦定理 a = =，得2b = a+ cs i nA sin sCn所以a,b,c成等差數(shù)列.在 MBC 中，c = 7,C =由余弦定理，得 72 =a2 , b2 -2abcos2, 3即 a2 b2+ab = 49.2 o由(1)知 a=2b7,所以(2b7) +b2 +(2b 7 )b = 49 ,解得b = 5.2 二 bsin 由正弦定理，得sin B =3c5_J1

11、4在MBC中，因為于C= 3 , J兀,所以 B= 10,- I, ,2所以 cosB = 1 - sin2 B = 1。卜向j二u141412題號123456789答案BCABDACAD每小題5分,填空題:（本大題共6個小題,共30分）選擇題：（本大題共9個小題，每小題 5分，共45分）55、3所以sin 2B =2sin B cosB =9817.解：(1)由題意，知高一、高二、高三年級的人數(shù)之比為 4:3:3 ,由于采用分層抽樣方法從中選取10人，因此，高一年級應選取4人，高二年級應選取3人，高三年級應選取3人.3 分10名學生高一、高二、高三年級分別有4人、3人、3人，所以，從這10名

12、名，且3名學生分別來自三個年級的概率為7分(2)由(1)知，被選取的學生任選3c4 c3 C1 _ 3c3o-10.(3)由題意知，隨機變量且X服從超幾何分布,P X =k =C；C：出C140(k=1,2,3,4).X的所有可能取值為1,2,3,4, 8分所以，隨機變量X的分布列為X12341311P301026 位所以，隨機變量X的數(shù)學期望為1311 14E(X =1乂一+2父一+3M十4父一=一. 1紛301026 518. (1)證明：在三角形 PAG中，PAi = PCi且O為AG的中點，所以PO_LACi.1分在 RtAPAO 中，AO =1AC1 =2, PA =2乏,PO 7P

13、A2 - A1O2 =2.連接 OBi,在 AABQi 中，AB產(chǎn)BC1=2百，OBi .L ACi所以 OB1 = . AB： - AO2 =2、2 .又 PB1 =273,所以 PB； =PO2 +OB；,所以 PO IOB1.2分又因為AC1OB1 =O ,由，得PO _L平面A B1C1.4分A要步驟合理、推理嚴禁完整，酌情賦分【說明】若考生運用該小題運用線面垂直、面面垂直關(guān)系證明，只(2)【方法一】解：以點 O為坐標原點，分別以 OAi,OBi,OP的方向為x, y,z軸的正方向，建立如右圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則 O(0,0,0 ), A (2,0,0 ), B(0,2&

14、amp;,0 ), P(0,0,2), 所以 ABi=(-2,2板,0 ),AP=(-2,0,2 卜 5分設(shè)n = (x, y, z )為平面PA B的法向量，A -I ,_n|_A1 B1 =0,-2x 2 9=0則有g(shù)11,即少0,n|_A1P =0.-2x 2z = 0.人/小y=電4 (我八令 x=1,得丫 2 , 所以 n= 1,1 .t 2 ,i_ L 一易得，OB1 = (0,2J2,0 )且為平面PAG的法向量,故所求二面角B PA1 C1的正弦值為10>、z = 1.、(3)【方法一】解：由(2)知C1 (-2,0,0 ).設(shè)點 H =(x1，,乙)，則 BH =(x，

15、y1 -272, z ).高三數(shù)學參考答案 第7頁(共10頁)ITT一 F 177T又 B1C1 =(-2,-20 ), B1H=-B£, 3所以（xi» -2夜,乙）= 3（-2,-2四,0 ）,從而2xi = ,3“2/=一述3Zi = 0.即點 H 1 -2 ,42,0 .I 3 3 J所以pH=I_2,41,_2 艙i33；所以司=-|+432卜-2)2=2應.(2)【方法二】解：以點 O為坐標原點，分別以 OBi, OCi, OP的方向為x, y,z軸的正方向，建立如右圖所示的空間直角坐標系O -xyz.則 O (0,0,0 ), A(0, -2,0 ),Bi (

16、2s/2,0,0 1P(0,0, 2),T . L . -I ,所以 AB=(2j2, 2,0 ), AP=(0,2,2 ). 5分設(shè)n = (x, y, z )為平面PA Bi的法向量，則有恒=0,即b-"。,nA1P =0.2y 2z - 0.1盼人，口1 =及(&)令 z=1,得廣 2 , 所以 n = |", 1,1.易得，OBi = 2 .'2,0,0）且為平面PAG的法向量,=2, n OB； =2而.所以 cos(n,OBi) = T=OBin OB1J = T.'2'故所求二面角Bi PA1Ci的正弦值為j 1 I -=- 5

17、 I5；5(3)【方法二】解：由(2)知C1 0,2,0 .設(shè)點 H =(xi, yi,Zi ),則 BiH =32。2, %,乙). i-又 BiCi =(272,2,0 ), BiH =-BG, 32272Xi -2V2 =,3所以(X -2/2, yi, zi )= (一2>/2,2,0 ),從而 « yi =, 33zi = 0.(4 右 2)即點 H *,i e ii c-十一二.得一十一二OF2QA3F2A' ca3a(a-c)整理，得c2 =3b2.4 分又因為 2b =2 ,所以 b =i, c2 =3,a2 =b2+c2 =4. 6 分 ,0 .I 故

18、所求橢圓的方程為 工+y2=i.7 分3 J所以 PH = j2,2, -2 相I 33 J所以肅| = Jf42 2-) +(-2) = 2衣. 1吩ji=一，3八3 J .，19 .解：(1)連接 PFi.因為 OP = OF2|=c,2F20P71所以APOB是等邊三角形，所以 PF2 =c/PF2O=.3又 OP = OF =。同，所以 PFi .L PF2，所以 PFi|=J3c.所以e =- a于是, 有 2a= PR|+|PF2 =(73+i 匕,=V3-i,即所求橢圓的離心率為R-i.（2）由,3 i高三數(shù)學參考答案第8頁（共i0頁）依題意，設(shè)點P xYi ,Q x2, y2

19、.y = kx -2, y聯(lián)立方程組x22T y消去y ,并整理得(4k2 +1 )x2 16kX+12 = 0.則 = 256k2 -48(4k2+1 )=16(4k2 -3)>0,(*)且 X1X2 =16k122, X1 x2 = 2,4k 1 4k 110所以 PQ 二；1 k2X1*1k22x1 x2 -4x1x2 n41 k2 4k2 -324k2 1高三數(shù)學參考答案 第11頁(共10頁)12所以SpoQ1 八 1= -PQ d=_4 1 k2、4k2 -34 4k2 -34.4k2 -324k2 124k2 124k2 1=1,解得 k=±2又點O到直線l的距離為

20、d經(jīng)驗證k=±，滿足(*)式,夕16故所求實數(shù)k = -721 2 -20 .解：(1)當 a=1 時，f (x )=ln(ex)+-x +2x.一一. 1所以 f (x) = +x+2, x一一 一 .1一 7所以 k = f 1 =-+1 +2 = 4,又 f (112所以曲線在點(1,f (1)處的切線方程為y-7=4(x-1),即 8x -2y -1 =0.1ax2a 1 x 1(2)易得 f x =- ax a 1 =(aX+Ux+1)(x>0).當a20時，f'(x)>0,此時f(x )在(0,f比單調(diào)遞增;1當 a <0 時，令 f'(x)=0,得 x=_1. a則當0 <x < -1時，f '(x )>0,此時f (x近1