精品解析：河北省衡水市衡水中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁高一月考第五次數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知命題，都有．則為（）A.，使得 B.，總有C.，總有 D.，使得【答案】A【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定求解即可.【詳解】因?yàn)榱吭~命題的否定步驟是：改量詞，否結(jié)論，所以命題，都有的否定為，使得.故選：A.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域列不等式組求解即可.【詳解】由題意，得，解得且，即函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C．3.若α為第四象限角，則（）A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選:A.5.為了貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（）(參考數(shù)據(jù)：)A.14次 B.15次 C.16次 D.17次【答案】C【解析】【分析】依題運(yùn)用特殊值求得函數(shù)模型中的值，然后運(yùn)用函數(shù)模型得到關(guān)于的不等式，通過指、對運(yùn)算求得的取值范圍，即可得解．【詳解】依題意，，，當(dāng)時(shí)，，即，可得，于是，由，得，即，則，又，因此，所以若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要16次．故選：C6.函數(shù)與（其中）的圖象只可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)中圖象，即可判斷出答案.【詳解】對于A，因?yàn)?，故為R上的減函數(shù)，其圖象應(yīng)下降，A錯(cuò)誤；對于B，時(shí)，為R上的減函數(shù)，為上增函數(shù)，圖象符合題意；對于C，時(shí)，為上增函數(shù)，圖象錯(cuò)誤；對于D，時(shí)，為上增函數(shù)，圖象錯(cuò)誤；故選：B7.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性化簡，由此求得不等式的解集.【詳解】依題意是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，.故選：A8.若關(guān)于x的方程(sinx＋cosx)2＋cos2x＝m在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且|x1－x2|≥，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.[0，2) B.[0，2]C.[1，＋1] D.[1，＋1)【答案】B【解析】【分析】首先化簡方程為，通過換元設(shè)，若滿足條件，利用圖象分析可知，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】關(guān)于x的方程(sinx＋cosx)2＋cos2x＝m可化為sin2x＋cos2x＝m－1，即sin＝．易知sin＝在區(qū)間(0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且|x1－x2|≥．令2x＋＝t，即sint＝在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根t1，t2．作出y＝sint的圖象，如圖所示，由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，所以，故0≤m≤2.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解條件，并會(huì)數(shù)形結(jié)合分析問題，轉(zhuǎn)化為不等式解集問題.二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．）9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合基本不等式可判斷AB；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD.【詳解】對于A，，且，所以，故A正確；對于B，，又因?yàn)?，所以，又等號不成立，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所?可得，，所以，因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以，故C正確；對于D，，因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意得，可得，根據(jù)的范圍，可得，的正負(fù)，即可判斷A的正誤；求得的值，即可判斷D的正誤，聯(lián)立可求得，的值，即可判斷B的正誤；根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷C的正誤，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；所以，所以，故D正確；聯(lián)立，可得，，故B正確；所以，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.11.若，，，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，從而，則關(guān)系可判斷；由，則關(guān)系可判斷；取特殊數(shù)字可得的大小不定.【詳解】由，則，即，，即，則，所以,故選項(xiàng)A正確.，所以,故選項(xiàng)C正確.取滿足，，，此時(shí)，取滿足，，，此時(shí)，所以的大小不定.故選：AC12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中，則下列關(guān)于函數(shù)的正確描述是（）A.在區(qū)間上最小值為B.的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到C.點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對稱中心；D.是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，求得的值，由此求得的解析式，根據(jù)三角函數(shù)最值、圖像變換、對稱中心、單調(diào)區(qū)間的知識，判斷四個(gè)選項(xiàng)的正確性.【詳解】由得，所以恒成立，得是曲線的對稱軸，所以，由得，，對于A：，在區(qū)間上的最小值為，故A正確；對于B：，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，故B正確；對于C：，所以點(diǎn)不是的圖象的一個(gè)對稱中心，故C錯(cuò)誤；對于D：，所以不是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤故選：AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】根給定分段函數(shù)代入適合的解析式即可求出函數(shù)值.【詳解】解：，，故答案為：.14.設(shè)且，則最小值為___________；【答案】9【解析】【分析】替換常數(shù)，再運(yùn)用基本不等式即可【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng),即取等故答案為：915.已知函數(shù)，現(xiàn)將該函數(shù)圖象先向左平移個(gè)應(yīng)位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用降冪公式化簡函數(shù)，根據(jù)圖象平移可得函數(shù)，利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.【詳解】，由題意，，當(dāng)時(shí)，由，則，由在上單調(diào)，則，可得不等式組，解得；或，可得不等式組，解得，由，解得，由，則，則.綜上，的取值范圍為.故答案為：.16.已知函數(shù)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②若函數(shù)無最小值，則的取值范圍為；③若且，則，使得函數(shù).恰有3個(gè)零點(diǎn)，，，且．其中，所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】②③【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的概念舉出反例可判斷①；畫出函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合即可判斷②；由題意結(jié)合函數(shù)圖象不妨設(shè)，進(jìn)而可得，，，令驗(yàn)證后即可判斷③；即可得解.【詳解】對于①，當(dāng)時(shí)，由，，所以函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；對于②，函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，畫出函數(shù)的圖象，如圖：由題意可得若函數(shù)無最小值，則的取值范圍為，故②正確；對于③，令即，結(jié)合函數(shù)圖象不妨設(shè)，則，所以，，，所以，令即，當(dāng)時(shí)，，存在三個(gè)零點(diǎn)，且，符合題意；當(dāng)時(shí)，，存在三個(gè)零點(diǎn)，且，符合題意；故③正確.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性、最值及函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了運(yùn)算求解能力與數(shù)形結(jié)合思想，合理使用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，70分，其中第17題10分，其余均12分．17.記不等式的解集為，不等式的解集為.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入的值得到集合，求解出一元二次不等式的解集為集合，根據(jù)并集運(yùn)算求出結(jié)果；（2）先表示出，然后根據(jù)求得的范圍.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈慕鉃榛?，所以，所以；【小?詳解】因?yàn)?，，又，所以，故的取值范圍?18.已知函數(shù)的最大值為5．（1）求的值和的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）先降冪，由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求解；（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得．【詳解】（1），由題意，，．（2），解得，∴增區(qū)間為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)：周期性，最值，單調(diào)性，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示：（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及函數(shù)取最大值時(shí)相應(yīng)的x值．【答案】（1）；（2）時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2．【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最值求出的值，根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出的值，根據(jù)函數(shù)的最值點(diǎn)求出的值即得解；（2）首先求出，再根據(jù)不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最大值及函數(shù)取最大值時(shí)相應(yīng)的x值．【詳解】解：（1）如圖可知，，∴．∵，∴，即函數(shù)解析式為；（2）根據(jù)圖象變換原則得，∵，∴，∴，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2．20.若函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1，設(shè)．（1）求a、b的值；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)在上的單調(diào)性最大值和最小值，從而求得；（2）用分離參數(shù)法化簡不等式為，然后令換元，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，從而得參數(shù)范圍．【小問1詳解】，對稱軸，在上單調(diào)遞增，所以，解得；【小問2詳解】由（1）知化為，即，令，則，因?yàn)?，所以，問題化為，記，對稱軸是，因?yàn)?，所以，所以?1.已知函數(shù)．從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)求出，并解不等式①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù)．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析【解析】【分析】先利用賦值法求，化簡的解析式之后應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【詳解】根據(jù)題意,易得函數(shù)的定義域?yàn)?選擇①:為偶函數(shù),因此,

故,解得.經(jīng)檢驗(yàn)符合題設(shè)

,,即即或不等式解集為；選擇②:函數(shù)為奇函數(shù),有,即,解得.經(jīng)檢驗(yàn)符合題設(shè)，

,,即即不等式的解集為.22.隨著科技的發(fā)展，手機(jī)上各種APP層出不窮，其中抖音就是一種很火爆的自媒體軟件，抖音是一個(gè)幫助用戶表達(dá)自我，記錄美好生活的視頻平臺．在大部分人用來娛樂的同時(shí)，部分有商業(yè)頭腦的人用抖音來直播帶貨，可謂賺得盆滿缽滿，抖音上商品的價(jià)格隨著播放的熱度而變化．經(jīng)測算某服裝的價(jià)格近似滿足：，其中（單位：元）表示開始賣時(shí)的服裝價(jià)格，J（單位：元）表示經(jīng)過一定時(shí)間t（單位：天）后的價(jià)格，（單位：元）表示波動(dòng)價(jià)格，h（單位：天）表示波動(dòng)周期．某