多楔帶傳動系統(tǒng)的頻率靈敏度分析

1、多楔帶傳動系統(tǒng)的頻率靈敏度分析多楔帶傳動系統(tǒng)的頻率靈敏度分析 侯之超 王象武 勞耀新 (清華大學汽車安全與節(jié)能國家重點實驗室 北京 100084) 摘要：摘要：為了對多楔帶傳動系統(tǒng)進行振動分析與設計優(yōu)化，系統(tǒng)地研究了多楔帶傳動系統(tǒng)的固有頻率對關鍵設計參數(shù)的靈敏度。給出了反映帶輪、張緊臂等離散部件轉(zhuǎn)動振動與各段皮帶這類彈性體橫向振動之間彼此耦合的運動方程。根據(jù)方程耦合與否以及求解的需要將該系統(tǒng)一分為二。對于具有運動耦合的子系統(tǒng)，建立了矩陣形式的自由振動方程，推導了固有頻率對設計參數(shù)的通用的靈敏度表達式，由此導出了固有頻率對自動張緊機構(gòu)設計參數(shù)和皮帶傳動速度的靈敏度的顯式計算式。針對一多楔帶傳動系

2、統(tǒng)，計算了固有頻率對張緊臂長度、扭轉(zhuǎn)彈簧剛度、安裝角以及帶速的靈敏度，并運用有限差分法予以驗證。關鍵詞：關鍵詞：多楔帶傳動系統(tǒng) 耦合振動 固有頻率 靈敏度分析中圖分類號：中圖分類號：TK414.4Sensitivity Analysis on the Frequencies of Multi-ribbed Belt Drive SystemsHOU Zhichao WANG Xiangwu LAO Yaoxin(State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Tsinghua University, Beijing 100084)A

3、Ab bs st tr ra ac ct t: In order to study the vibration and optimal design of multi-ribbed belt drive systems, a systematic sensitivity analysis is conducted on natural frequencies of multi-ribbed belt drive widely used for modern automotive accessories. Linear equations of motion are established fo

4、r the system, which reflect the coupling between rotational vibration of discrete elements such as the pulleys and tensioner arms, and transverse oscillation of belt spans that are axially moving continua. Based on coupling or not among various degrees of freedom, the whole system is divided into tw

5、o sub-systems for the sake of easy solution. Equations of motion about the sub-system with aforementioned coupling are re-arranged in a matrix form. Derivations are then presented, leading to an explicit expression about sensitivity of the natural frequencies with respect to any design parameter of

6、the system. The expressions with respect to key design parameters for the tensioner and belt speed are then presented. A belt drive is taken as an example, to which sensitivity analyses are performed on the natural frequencies with respect to belt speed and other design parameters such as the length

7、 and initial oriental angle of the tensioner arm, and the rotational stiffness coefficient of coil spring at the pivot of the tensioner. The analyses are validated by results from the finite difference method and a previous approach. To previous literature, the main enhancement is explicit expressio

8、n of natural frequencies with respect to any design parameter in terms of a set of system matrices of the equations of motion. The enhancement makes it easier to perform sensitivity analysis on a practical multi-ribbed belt drive system which usually has quite a few pulleys.KeyKey wordswords：Multi-r

9、ibbed belt drive Coupled vibration Natural frequency Sensitivity analysis0 前言*利用單根多楔帶驅(qū)動發(fā)動機前端各附件是現(xiàn)代汽車中廣泛應用的附件傳動形式。為了保持皮帶的張力水平，多楔帶傳動系統(tǒng)一般都配備自動張緊裝置。擺臂式自動張緊機構(gòu)是一種常用的結(jié)構(gòu)形式，包括張緊輪、張緊臂與扭轉(zhuǎn)彈簧。* 清華大學基礎研究基金資助項目(JC2002016).發(fā)動機曲軸的扭矩波動激勵附件帶傳動系統(tǒng)，使得皮帶和帶輪發(fā)生多種形式的振動1-7。HWANG等2建立了一個離散的彈簧質(zhì)量模型，考慮皮帶的縱向振動，研究了穩(wěn)態(tài)的固有頻率和皮帶的打滑；BEIK

10、MANN 等5基于移動弦模型得到了連續(xù)皮帶與離散帶輪混合的模型，分析了皮帶縱向振動和橫向振動的耦合關系，并求解了系統(tǒng)固有頻率。在一定的發(fā)動機轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)振動十分顯著，從而惡化了整車的振動噪聲水平。顯然，通過靈敏度分析以揭示設計參數(shù)對系統(tǒng)振動頻率的影響對于解決相關振動噪聲問題具有重要的指導作用。迄今這方面的研究尚不多見，已報道的工作也有待深入。在帶傳動系統(tǒng)設計過程中，張緊機構(gòu)便于設計和修改，而且直接影響系統(tǒng)的振動特性。通過對頻率靈敏度的分析，可以知道張緊機構(gòu)各參數(shù)對頻率的影響大小，從而為張緊機構(gòu)的優(yōu)化提供依據(jù)。本文作者曾針對某模型帶傳動系統(tǒng)，基于多項式形式的耦合振動方程推導了靈敏度控制方程，并基

11、于系統(tǒng)基頻最小對張緊機構(gòu)參數(shù)進行了優(yōu)化8。本文給出了進一步的工作：針對實際多帶輪系統(tǒng)，給出了矩陣形式的自由振動方程，推導了系統(tǒng)固有頻率對于任意設計參數(shù)的靈敏度的通用公式，由此導出了固有頻率對張緊機構(gòu)設計參數(shù)和皮帶傳動速度的靈敏度的顯式計算式。算例分析顯示了本文方法的正確性、效率與適用性。1 模型及耦合自由振動方程圖 1 所示為包含個帶輪的多楔帶傳動系統(tǒng)。從n主動帶輪開始，逆時針依次命名，即帶輪 1 為主動輪、帶輪 2n 為從動輪。以帶輪 2 與帶輪 1 之間的帶段開始，逆時針依次命名為帶段 1、2、n。張緊臂一端用扭轉(zhuǎn)剛度為的彈簧固定，另一端與帶輪rk（圖中為帶輪 2）連接。記為帶輪 的轉(zhuǎn)動慣

12、量，jiJi為張緊臂的轉(zhuǎn)動慣量，為皮帶的傳動速度；為tJci帶輪 偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角（沿著皮帶的傳動方向為i正向） ，為張緊臂偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角（以逆時針t方向為正） ，為張緊臂的安裝角（逆時針為正） ；a為帶段 的橫向撓度（以指向皮帶內(nèi)側(cè)為正向） 。iwi定義張緊臂轉(zhuǎn)動軸軸線為射線 I，其方向垂直紙面朝外；張緊臂軸線為射線 II，自轉(zhuǎn)軸指向帶輪為正；依據(jù)右手定則按照射線 I、II 順序即可確定張緊臂切線的正方向。帶段所對應的方向矢量(帶段與1j 1j 帶輪的切點為起點，指向帶段與帶輪的j1j 1j 切點)逆時針轉(zhuǎn)動到張緊臂切線的角度記為，張緊1臂切線逆時針轉(zhuǎn)動到帶段所對應的方向矢量(帶段j與

13、帶輪的切點為起點，指向帶段與帶輪的jjj1j 切點)的角度記為，如圖 1 所示。2 Jt Jn J5 J4 J3 J2 J1 a 2 3 t 4 5 n 1 wj-1 1 c 2 wj kr Jn-1 n-1 圖 1 多楔帶傳動系統(tǒng)模型示意圖不計皮帶的彎曲剛度，忽略皮帶楔入或離開帶輪時的摩擦，并認為輪帶之間不打滑。對于實際傳動帶，彈性模量、橫截面積和預張力滿足EAoip，且縱波波速遠大于低階橫向振動波速。oipEA因此可以近似地認為皮帶以準靜態(tài)方式伸縮，帶的質(zhì)量和剛度均勻分布并保持不變。此外，假設皮帶傳動速度為常數(shù)。依據(jù)這些假設，對各段皮帶和c各帶輪分別應用 Hamilton 原理與 Newt

14、on 第二定律建立運動方程，線性化后可得到如下振動方程5。皮帶的橫向振動方程式 (i=1,2,n) (1) 222t2220iiiiwwwmcptx tx 式中，是平衡狀態(tài)下皮帶的張緊力 ，tipi，是皮帶單位長度的質(zhì)量 。2toiippmcm帶輪的線性振動方程式 ( i=1,2,n,) (2) dd(1)iiiippmd0dnpp其中，帶輪等效質(zhì)量；帶輪邊緣的偏2/iiimJr轉(zhuǎn)位移，為帶輪的半徑；為帶段iiiriridip的動張力id1()iiiipk (i=1,2,n,) (3)111, ;nijj (4)d(1)11t1(cos)jjjjpk (5)d1t2(cos)jjjjpk式中，

15、皮帶的縱向等效剛度，是帶/iikEA lil段 的長度；，為張緊臂的長度。ittLL張緊臂的 線性化振動方程式1111t(1)1t20011t111t22sinsincoscoscoscosjjjjjx lx ljjjxxjjjjjjwwpmcxtwwpmcxtkk (6)sgrtttkkm其中，張緊機構(gòu)的等效質(zhì)量，2tt/jmJLm為帶輪的質(zhì)量；張緊機構(gòu)的彈簧剛度jmj；為張緊臂的幾何剛度2sr/kkLgrk (7)t(1)1t 2grsinsinjjppkL2 靈敏度分析兩端固定的段皮帶的橫向2n(1, )i ijj振動跟系統(tǒng)其它組成部分 (帶段和、個帶1j jn輪、張緊臂)的振動之間并不

16、耦合 。因此，圖 1所示系統(tǒng)可分為兩個子系統(tǒng)：第一子系統(tǒng)僅包含兩端固定的段皮帶，其它部分構(gòu)成第二子系統(tǒng)。2n對于子系統(tǒng) 1 可直接應用文 獻9的分析結(jié)果。因此下面主要對子系統(tǒng) 2 進行分析。換言之，除非特別聲明，后文敘述中 “系統(tǒng)”均特指子系統(tǒng)2。通過重新組合，可將 系統(tǒng)自由振動方程 寫為矩陣形式10 (8)2DD()0KMX其中 (9)T12tnX， (10)dDt00mMMdDTtKKhKh而 (11)12d1000000000000nnmmmmM1112d2111000.nnnnnnnkkkkkkkkkSymkkK (12)12tt(1)1222211112t 22222sincot()

17、/()/sincot()/()/jjjjjjjjjjjjlKpvcvvcvlpvcvvcv (13)22112sgrcoscosjjkkkk (14)1111220coscoscoscos0jjjjkkkk h式中，帶段 j 橫向波速，ojjpvm為矢量的第個元素。112(coscos)jjkkhj若，為矢量的第個元素；若1j 11cosjkhn，為矢量的第個元素。jn2cosjkh1記對應于第階固有頻率的振型矢量為kk (15)Tk12nt. 由式(8)可得 (16)20DkDkKM 式(16)兩邊對結(jié)構(gòu)設計參數(shù)求導并逐項左乘mp，經(jīng)整理可得Tk TT2kDkkkkDkmmppKM (17)

18、2TT20kDkkkkDkDmmppMKM 因為和均為對稱矩陣， 式(16)給出DKDM (18)T2()0kDkDKM 式(17)因此化簡為 TT2T20kDDkkkkDkkkkmmmpppKMM (19)記，而，TTT12kkk 1k T12n，則2k td1TTTD12T2tmmkkkkkkmmmpppKpp KhKh (20)TTTdt1112222kkkkkkmmmKpppKh 考慮到為和的函數(shù)，記tKkmp，則有t,kmKGp (21)tkmkmmKGGppp把式(20)和(21)代入(19) 即得到第 k 階固有頻率對系統(tǒng)任意設計 參數(shù)的靈敏度表達式kmpTTT1112222kd

19、kkkkkkmmmmGppppKh (22)2TTT222DkkkkkDkkkmkGpMM 基于式(22)，可分別 導出固有頻率對張緊臂安裝角、張緊臂長度、扭轉(zhuǎn)彈簧剛度和皮aLrk帶傳動速度的靈敏度10c TTT111222TT2222dkkkkkkkaaaakkDkkkkGGKhM (23)TTT1112222kdkkkkkkGLLLLKh 2TTT22/ 2DkkkkkDkkkkGLMM (24) (25)T22TT222kkkrrkkDkkkkGkGkM (26)T22TT222kkkkkDkkkkGcGcM 3算例利用本文的靈敏度公式對三帶輪系統(tǒng)8進行了計算，得到第一階固有頻率對張緊臂

20、安裝角、臂長a、彈簧扭轉(zhuǎn)剛度與帶速的靈敏度變化曲線，與Lrkc文獻8中的結(jié)果完全吻合。下面對一個具有 6 帶輪的某發(fā)動機前端附件多楔帶傳動系統(tǒng)進行分析，以說明本文給出的靈敏度公式適用于多帶輪系統(tǒng)。對圖 2 所示多楔帶傳動系統(tǒng)，基本參數(shù)取值見下表。帶輪 6 的中心坐標 由張緊臂的中心坐標、安裝角與臂長決定 。下面計算子系統(tǒng) 2 的固有頻率，以及第一階固有頻率對張緊臂安裝角、臂a長、彈簧扭轉(zhuǎn)剛度與帶速的靈敏度。計算Lrkc中、和的初始值分別取為-37.24、aLrkc0.055 m、13.44 Nm/rad 和 0 m/s。1J2J3J4J5J6J圖2 六帶輪系統(tǒng)表表 某發(fā)動機前端附件帶傳動系統(tǒng)的

21、基本參數(shù)某發(fā)動機前端附件帶傳動系統(tǒng)的基本參數(shù)組件帶輪或張緊臂中心坐標()/m, x y半徑或臂長/m, r L轉(zhuǎn)動慣量/(kgm2)J帶輪 1(0.0, 0.0)0.080.005 466 2帶輪 2(0.28,0.058)0.064 50.002 25帶輪 3(0.121, 0.198)0.067 50.001 614帶輪 4(-0.005, 0.294)0.072 50.001 556 3帶輪 5(-0.216,0.117 7)0.0350.004 42帶輪 6(-, -)0.040 850.000 217 8張緊臂(-0.078, 0.173)-0.001 166 5o130000 N,

22、 0.10087 kg / m, 240 NiEAmp13.44 N m/rad, 0 m/srkc運用矩陣行列式約化方法10或Holzer法8計算系統(tǒng)各階固有頻率。變換某一設計參數(shù)的值，其他參數(shù)值不變，再次計算，由此可得到固有頻率與該參數(shù)的關系曲線，進而通過差分得到靈敏度曲線8,10。運用本文顯式計算公式則直接得到靈敏度曲線。部分結(jié)果見圖3圖6，差分法與靈敏度公式結(jié)果分別用“” 、“”表示。其中，圖3是第一階固有頻率對的靈a敏度曲線，圖46則分別是該階固有頻率對張緊臂長度、彈簧扭轉(zhuǎn)剛度和帶速的靈敏度曲線。Lrkc圖 3 第一階固有頻率對安裝角度的靈敏度曲線a圖 4 第一階固有頻率對張緊臂長度

23、的靈敏度曲線L圖 5 第一階固有頻率對彈簧扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度曲線rk圖 6 第一階固有頻率對皮帶速度的靈敏度曲線c顯然，兩 種方法得到的靈敏度曲線完全重合 ，說明本文所建立 靈敏度公式的正確性。系統(tǒng)前六階固有頻率隨帶速的變化曲線如c圖 7 所示。圖中，受帶速影響較大的固有頻率對應于皮帶橫向振動為主的振動模態(tài) ；受帶速變化影響較小的固有頻率 對應于以離散部件轉(zhuǎn)動振動為主的振動模態(tài) 。圖 8 是圖 7 中第 5 階和第 6 階固有頻率隨帶速變化曲線的局部放大圖。顯然，隨著皮帶速度的c增加，這兩階固有頻率不斷接近，但二者并未相交。應該指出，對于某些特定結(jié)構(gòu)參數(shù)的系統(tǒng)，有可能出現(xiàn)兩階固有頻率曲線相交的情

24、況。在皮帶速度變化過程中，系統(tǒng)各階固有頻率所對應的主運動會發(fā)生變化。如圖8 所示，當帶速小于 12.2 m/s 的時候，第 5 階固有頻率對應轉(zhuǎn)動振動為主的系統(tǒng)模態(tài)，模態(tài)能量集中在轉(zhuǎn)動振動部件中。當帶速大于 12.2 m/s 時，該階頻率 變?yōu)閷獧M向振動為主的系統(tǒng)模態(tài)。第6 階頻率的情況剛好相反。圖 7 前六階固有頻率隨皮帶速度的變化曲線c圖 8 固有頻率隨皮帶速度的變化曲線局部放大圖c4 結(jié)論(1) 基于多楔帶傳動系統(tǒng) 耦合子系統(tǒng)的矩陣形式的自由振動方程， 推導了其固有頻率對于設計參數(shù)的通用靈敏度公式 ，由此給出了固有頻率對張緊機構(gòu) 若干設計參數(shù)和皮帶速度的靈敏度的顯式計算式。(2) 結(jié)合

25、一多楔帶 傳動系統(tǒng)， 利用差分法得到的靈敏度曲線 對本文靈敏度公式的正確性 進行了驗證 。同時發(fā)現(xiàn)了模態(tài)轉(zhuǎn)換現(xiàn)象 。(3) 因為耦合子系統(tǒng)自由振動方程以矩陣形式給出，而且給出 了顯式靈敏度計算公式，本文方法可以 方便地應用 于對具有不同數(shù)量帶輪的多楔帶傳動系統(tǒng)的分析與設計 優(yōu)化。參參 考考 文文 獻獻1BARKER C R, OLIVER L R, BREIG W F. Dynamic analysis of belt drive tension forces during rapid engine acceleration R. SAE Paper No. 910687, 1991.2HWA

26、NG S J, PERKINS N C, ULSOY A G, et al. Rotational response and slip prediction of serpentine belt drive systems J. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1994, 116(1)：71-78.3ABRATE S. Vibrations of belts and belt drives J. Mechanism and Machine Theory, 1992, 27(6)：645-659.4ULSOY A G, WHITSELL J E,

27、 HOOVEN M D. Design of belt-tensioner systems for dynamic stability J. ASME Journal of Vibrations, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, 1985, 107(3)：282-290.5BEIKMANN R S, PERKINS N C, ULSOY A G. Free vibration of serpentine belt drive systems J. Journal of Vibration and Acoustics, 1996, 118(3)：406-413.6ZHANG Lixin, ZU