泰勒公式及其應(yīng)用典型例題

1、泰勒公式及其應(yīng)用常用近似公式已01+戈，血"戈（工充分?。?，將復(fù)雜函數(shù)用簡單的一次多項(xiàng)式函數(shù)近似地表示，這是一個進(jìn)步。當(dāng)然這種近似表示式還較粗糙（尤其當(dāng)P較大時(shí)），從下圖可看出。上述近似表達(dá)式至少可在下述兩個方面進(jìn)行改進(jìn):1、提高近似程度，其可能的途徑是 提高多項(xiàng)式的次數(shù)。2、任何一種近似，應(yīng)告訴它的誤差，否則，使用者“心中不安”。將上述兩個想法作進(jìn)一步地?cái)?shù)學(xué)化:對復(fù)雜函數(shù)仗），想找多項(xiàng)式pa來近似表示它。自然地，我們希望厲（X）盡可能多地反映出函數(shù)所具有的性態(tài)如：在某點(diǎn)處的值與導(dǎo)數(shù)值；我們還關(guān)心弘仗）的形式如何確定；pa近似幾。所 產(chǎn)生的誤差懇（幼二/幾?！締栴}一】設(shè)/（工）在含叼

2、的開區(qū)間內(nèi)具有直到M斗1階的導(dǎo)數(shù)，能否找出一個關(guān) 于（攵-牝）的亢次多項(xiàng)式AXQ = S亠碼（工工0）4%（艾-工斗亠兔a石且曆英"）=嚴(yán)g） = 04加 近似/（工）？【問題二】若問題一的解存在，其誤差 忌（幼=/a）-禺（幼的表達(dá)式是什么？一、【求解問題一】問題一的求解就是確定多項(xiàng)式的系數(shù) 吋珂，宀。戸”匕）-壯+ 6（工-g） + &衛(wèi)（龍一g尸4+ SO -心嚴(yán)尹;（卞）=盤亠2i?2（jr - Xo ） +號仃3（k -工/ +*+博盤K（工-疋0£仗）=2 Iq + d 2陽O-坯）+44 （工一xj +片ST）撿a-咼嚴(yán)2 =卩陷）2 1 +4- 3-

3、 2 （t-jc）+5 - 4-多色+丹（丹-1）（旳-2）每< ,2小也=瓦”（攵上述工整且有規(guī)律的求系數(shù)過程，不難歸納出:% = P 皐） = f 收 Q）1丄=P：（帀=廣（帀）2.1' % =二廠、3 2 1 幻=pg、=廣氣 6） 一般地，有仁上 _ 1）（怎 _ 2、2 1 H = pfQG = /血（戈0 從而，得到系數(shù)計(jì)算公式：% = faj/氣帀）2 !廣氣叼）3!5 =八Ig（更=0丄2,丿）于是，所求的多項(xiàng)式為:詢=伽)+警(5)1+警(5)+侔(2)1!icl田(2)二、【解決問題二】泰勒（Tayler）中值定理若函數(shù)丁仗）在含有的某個開區(qū)間SQ內(nèi)具有直到

4、n + 1階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)時(shí)，f（H）可以表示成° "況）+丈號吐Qc-x舁+ T 絆do嚴(yán)t=i 七！W + 1）!這里是叼與工之間的某個值。先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路:了（霜=R量小» /（X）-戸左）=尺皐廠=; 雷 （X-工5 + 1）1C瓦（0 _爐5）a gm G + 1）I注意到M円衍）=/e（g） 尸戶（叼）=0 （i= OJZ，町 -咼）"'衛(wèi)心小=0 二0 J乙）， 嚴(yán)三十1）1是關(guān)于£的十1次多項(xiàng)式）衛(wèi)）護(hù)小=0 （因久是關(guān)于£的次多項(xiàng)式5 取R/） = 了-»3則時(shí)（0 =廠7Q空土

5、空込眇7彳（X）-扌 On） g這表明:只要對函數(shù)及上一工0）"“在工與工D之間反復(fù)使用n+1次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作。【證明】 以叼與£為端點(diǎn)的區(qū)間bn*工或戈丁力記為 ，了u（a/）。函數(shù) &（r） = nr）-弘W 在上具有直至 M + 1 階的導(dǎo)數(shù), 且瓦（艾（）=盡!?？冢?凡（可）S U農(nóng)）（叼）=。函數(shù)產(chǎn) 在上有直至戸十1階的非零導(dǎo)數(shù)，且磯牝）二y （牝）=/見）=-*=q何（力）=0于是，對函數(shù) 盡（t）及9（。在上反復(fù)使用 冗41次柯西中值 定理，有心）rr© (勾)擴(kuò)©） -護(hù)（斑）乜）Krf_尺諷(EJ-尺

6、相Oo) _呼d)昂在斤d與尙之間氏竝（乳）_ 出（乳）丘昭） _ &匚）0（雖）$1在叼與托之間夷在帀與為之問氏$小（6+J（旳+ 1）1記上=爲(wèi)+直在兀D與工之間八 '0 + 1）1（« + !）!三、幾個概念1、他）喀警.（一莎+待.（一虻此式稱為函數(shù)f按a-叼）的幕次展開到 起階的泰勒公式;或者稱之為函數(shù)/（H）在點(diǎn)叼 處的咫 階泰勒展開式。當(dāng)冗三0 時(shí)，泰勒公式變?yōu)?#39;(0+1)/（工）=/氏）+ / 號（戈-況）"I = /仏）+廣（）（工-工。）(0 + 1)!這正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱泰勒公式中的余項(xiàng)。嚴(yán)利)<M

7、 ci<x<b需心7嚴(yán)為拉格朗日余項(xiàng)。2、對固定的刑，若M Iin 4-1r 一叼I此式可用作誤差界的估計(jì)。<（冗十1）!r-Xg|-> 0 （工 THg）它們的值依次取四個數(shù)值L，°，-1。故 &（工（艾10 表明：誤差死（X）是當(dāng)XT叼時(shí)較（勺尸 高階無窮小，這一 余項(xiàng)表達(dá)式稱之為皮亞諾余項(xiàng)。3、若衍=0，則逞在0 與 工之間，它表示成形泰勒公式有較簡單的形式麥克勞林公式心）"叭晉”響宀十獸宀f:叫驚嚴(yán)卩（"L）!近似公式誤差估計(jì)式麥蒐勞林展開式是一種特殊形式的泰勒展開式，容 易求P因此，求®i»/（X）在任

8、竜點(diǎn)耳=曲魁的素 勒展開式時(shí)，可通避量替換耳-呵"化歸到這令工-呵"則 /（=） = /"十"）=陀）財(cái)a數(shù)F（f）作麥克臂抹展開【例1】求h的麥克勞林公式。解：= X童=0丄2=丿）/(0)= A0)= r(0)=-*= f(») = °=1，嚴(yán)相(/工)=嚴(yán), X x' X"嚴(yán)(0< (9<1)g =1.1-* *+1 于是有近似公式g 對1H+-+ 1!2! n!其誤差的界為凡（兀）|£產(chǎn)亍収廠（川+1）!1! 2E円！ m + 1)!的一些近似表達(dá)式。（1）、丿期1十工、在matlab中

9、再分別作出這些圖象，觀察到它們確實(shí)在逐漸逼近指數(shù)函數(shù)?！纠?】求= g 的n階麥克勞林公式。嚴(yán)（亠現(xiàn)C十號）嚴(yán)（O）"#解：£丄/(0) = 0,廣3) = 1. r (0) = 0,嚴(yán))(0) =(0) = 6宙11H二工一三+ -+-嚴(yán)T宀' + R亦(其)3!5!(2m-1)!如其中:TTsin&y + (2+l)E加 ©): - X(2 刑+1)!加(0<3<1)同樣，我們也可給出曲線丿=商11工的近似曲線如下，并用matlab作出它們的圖象。"0十丄J6 120100-553-2024例 3】求/=爐 的麥克勞林展開

10、式的前四項(xiàng),并給出皮亞諾余項(xiàng)。COS Xcosx伽）仁，com 0。段"口"曲玄（-®）二2 cos x + 6sin rcos rCOSTc 、“ -2cosjf；*f-sinjc) 2sinx (爐)二-倉x|z=0,(cy|*尸 h (毎)匚=曠4 (frb=o=22 3 2 如=工+ 工+ cix) 于是：3!"利用泰勒展開式求函數(shù)的極限，可以說是求極限方法中的“終極武 器”，使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限。tcr-sinxliiii3【例4】利用泰勒展開式再求極限tO F 。解：3sinx = X J + a（x）6 '，tgx- sinx = x4-x + o（x）-x-+o（，）36=（耳一瓦）十（一工3 H J ）十 0（工°）36=丄兀7亠口（工左）2恤雖半=血土塵=訕|+血辱=1ktO Xx->o jcxtD tr 2【注解】 現(xiàn)在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯誤之處 因?yàn)橐?"訟(xtO)，從而liinfc =