線性代數(shù)課程教學(xué)大綱-鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院

1、 線性代數(shù)教學(xué)大綱共科部課程分冊鄭州大學(xué)升達經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院二七年十二月線性代數(shù)教學(xué)大綱一、課程說明線性代數(shù)是討論矩陣理論與矩陣理論結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科。線性代數(shù)除了在數(shù)學(xué)的其它基礎(chǔ)學(xué)科、自然科學(xué)有著傳統(tǒng)的聯(lián)系和應(yīng)用之外，在科學(xué)技術(shù)快速發(fā)展、生產(chǎn)規(guī)模日益擴大以及計算機技術(shù)廣泛應(yīng)用的今天，線性代數(shù)作為一種數(shù)學(xué)工具和語言，其應(yīng)用的領(lǐng)域也越來越廣泛，如經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)、決策科學(xué)及計算機的有關(guān)基礎(chǔ)學(xué)科等等。數(shù)學(xué)不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識，而且是一種素養(yǎng)；不僅是一種科學(xué)，而且是一種文化；能否應(yīng)用數(shù)學(xué)觀念定量思維是衡量民族科學(xué)文化素質(zhì)的一個重要標志。數(shù)學(xué)

2、教育在培養(yǎng)高素質(zhì)經(jīng)濟和管理人才以及計算機應(yīng)用和軟件開發(fā)人才中越來越顯示其獨特的、不可替代的重要作用。線性代數(shù)和微積分（高等數(shù)學(xué)）、概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高等院校經(jīng)濟類和管理類專業(yè)以及計算機專業(yè)的?？粕匦薜娜T重要的基礎(chǔ)理論課。線性代數(shù)的基本任務(wù)是使學(xué)生掌握行列式、矩陣、向量的線性相關(guān)性、線性方程組、特征值和特征向量、二次型及線性空間和線性變換理論相關(guān)的基本概念、基本定理和基本方法，從而為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程及進一步提高打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時要在微積分（高等數(shù)學(xué)）學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，進一步地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力，綜合應(yīng)用所學(xué)的知識分析問題的能力及較強的自主學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，逐

3、步培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力。二、教學(xué)要點及教學(xué)基本要求 第一章 行列式(一)教學(xué)要點1、二階、三階行列式2、全排列和逆序數(shù)，奇偶排列（可以不介紹對換及有關(guān)定理），n階行列式的定義3、行列式的性質(zhì)4、n階行列式，元素的余子式和代數(shù)余子式，行列式按行（列）展開定理*5、拉普拉斯展開定理6、克萊姆法則（二）教學(xué)基本要求 1、理解n階行列式的定義和性質(zhì) 2、會用定義判定行列式中項的符號3、理解和掌握行列式按行（列）展開的計算方法，即 4、會用行列式的性質(zhì)簡化行列式的計算，并掌握幾個基本方法： 歸化為上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一個常數(shù)的行列式， 利用展開定理降階 *歸納法、遞推

4、法、降階法等。 *5、了解拉普拉斯展開定理6、掌握應(yīng)用克萊姆法則的條件及結(jié)論 會用克萊姆法則解低階的線性方程組7、了解個方程個未知量的齊次線性方程組有非零解的充要條件 （充分性在第三章中證明）第二章 矩陣（一）教學(xué)要點1、矩陣的概念 矩陣是一個矩陣表。當時，稱為階矩陣，此時由的元素按原來排列的形式構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣的行列式，記為.矩陣和行列式是兩個完全不同的兩個概念。2、幾種特殊的矩陣：對角陣；數(shù)量陣；單位陣；三角形矩陣；對稱矩陣3、矩陣的運算；矩陣的加減法；數(shù)與矩陣的乘法；矩陣的轉(zhuǎn)置；矩陣的乘法 （1）矩陣的乘法不滿足交換律和消去律，兩個非零矩陣相乘可能是零矩陣。 如果兩矩陣與相乘，有

5、,則稱矩陣與可換。 （2）方陣的冪：對于階矩陣及自然數(shù)， 規(guī)定,其中為單位陣 . *(3) 設(shè)多項式函數(shù)，為方陣，矩陣的多項式,其中為單位陣。 （4）階矩陣和，則.*4、分塊矩陣及其運算5、逆矩陣：可逆矩陣（若矩陣可逆，則其逆矩陣是唯一的）；矩陣的伴隨矩陣記為，矩陣可逆的充要條件；逆矩陣的性質(zhì)。6、矩陣的初等變換：初等變換與初等矩陣；初等變換和初等矩陣的關(guān)系；矩陣在等價意義下的標準形；矩陣可逆的又一充分必要條件：可以表示成一些初等矩陣的乘積；用初等變換求逆矩陣。7、矩陣的秩：矩陣的階子式；矩陣秩的概念；用初等變換求矩陣的秩8、矩陣的等價（二）教學(xué)要求1、理解矩陣的概念；矩陣的元素；矩陣的相等；

6、矩陣的記號等 2、了解幾種特殊的矩陣及其性質(zhì)3、掌握矩陣的乘法；數(shù)與矩陣的乘法；矩陣的加減法；矩陣的轉(zhuǎn)置等運算及性質(zhì)4、理解和掌握逆矩陣的概念；矩陣可逆的充分條件；伴隨矩陣和逆矩陣的關(guān)系；當可逆時,會用伴隨矩陣求逆矩陣*5、了解分塊矩陣及其運算的方法（1）在對矩陣的分法符合分塊矩陣運算規(guī)則的條件下，其分塊矩陣的運算在形式上與不分塊矩陣的運算是一致的。（2）特殊分法的分塊矩陣的乘法，例如，將矩陣分塊為，其中（）是矩陣的第列，則又如將階矩陣分塊為，其中（）是矩陣的第列. （3）設(shè)對角分塊矩陣,均為方陣，可逆的充要條件是均可逆，且6、理解和掌握矩陣的初等變換和初等矩陣及其有關(guān)理論；掌握矩陣的初等變換

7、；化矩陣為行最簡型；會用初等變換求矩陣的秩、求逆矩陣7、理解矩陣的秩的概念以及初等變換不改變矩陣的秩等有關(guān)理論8、若矩陣經(jīng)過有限次初等變換得到矩陣,則稱矩陣和矩陣等價，記為. 矩陣和等價當且僅當,在等價意義下的標準型：若，則 ，為階單位矩陣。因此階矩陣可逆的充要條件為。 第三章 線性方程組(一)教學(xué)要點 1、n維向量；向量的線性運算及其有關(guān)運算律 記所有維向量的集合為，中定義了維向量的線性運算，則稱為 維向量空間。 2、向量間的線性關(guān)系 （1）線性組合與線性表示；線性表示的判定 （2）線性相關(guān)與線性無關(guān)；向量組的線性相關(guān)與無關(guān)的判定3、向量組的等價，向量組的秩；向量組的極大無關(guān)組及其求法；向量

8、組的秩及其求法 （1）設(shè)有兩個向量組 向量組和可以相互表示，稱向量組和等價。向量組的等價具有傳遞性。 （2）一個向量組的極大無關(guān)組不是惟一的，但其所含向量的個數(shù)相同，那么這個相同的個數(shù)定義為向量組的秩。4、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系5、線性方程組的求解（1）線性方程組的消元解法（2）線性方程組解的存在性和唯一性的判定（3）線性方程組解的結(jié)構(gòu)（4）齊次線性方程的基礎(chǔ)解系與全部解的求法（5）非齊次方程組解的求法（二）教學(xué)要求1、理解n維向量的概念；掌握向量的線性運算及有關(guān)的運算律2、理解向量的線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念3、掌握線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)定理4、理解并掌握向

9、量組的等價極大無關(guān)組、向量組的秩等概念；及極大無關(guān)組、向量組秩的求法5、掌握線性方程組的矩陣形式、向量形式的表示方法6、會用消元法解線性方程組7、理解并掌握齊次方程組有非零解的充分條件及其判別方法8、理解并掌握齊次方程組的基礎(chǔ)解系、全部解的概念及其求法9、理解非齊次方程組與其導(dǎo)出組解的關(guān)系；掌握非齊次方程組的求解方法* 第四章 矩陣的特征值與特征向量一、教學(xué)要點 1、矩陣的特征值與特征向量的定義；特征方程、特征值與特征向量的求法與性質(zhì) 2、相似矩陣的定義、性質(zhì)；矩陣可對角化的條件 3、實對稱矩陣的特征值和特征向量 向量內(nèi)積的定義及其性質(zhì)；正交向量組；施密特正交化方法；正交矩陣；實對稱矩陣的特征

10、值與特征向量的性質(zhì)；實對稱矩陣的對角化二、教學(xué)要求 1、理解矩陣的特征值、特征向量的概念及有關(guān)性質(zhì) 2、掌握特征值與特征向量的求法 3、理解并掌握相似矩陣的概念與性質(zhì) 4、掌握判斷矩陣與對角矩陣相似的條件及對角化的方法 5、會將實對稱矩陣正交相似變換化為對角矩陣。* 第五章 二次型一、教學(xué)要點 1、二次型與對稱矩陣：二次型的定義；二次型與對稱矩陣的對應(yīng)關(guān)系 2、二次型與對稱矩陣的標準形 配方法；初等變換法；正交變換法；合同矩陣；二次型及對稱矩陣的標準形與規(guī)范形 3、二次型與對稱矩陣的有定性 二次型與對稱矩陣的正定、負定、半正定、半負定二、教學(xué)要求 1、理解并掌握二次型的定義及其矩陣的表示方法。

11、 2、會用三種非退化線性替換：即配方法、初等變換法、正交變換法化二次型為標準形及規(guī)范性3、理解二次型的正定、負定、半正定、半負定的定義；* 第六章 線性空間與線性變換一、教學(xué)基本要求： 1、理解線性空間公理化定義，了解子空間的概念，會判斷一個集合是否構(gòu)成線性空間，或是某個線性空間的子空間。 2、了解線性空間的維數(shù)、基坐標等概念，熟悉幾個常用線性空間的維數(shù)、基；了解兩個線性空間同構(gòu)的概念。 3、掌握兩個基之間的過渡矩陣的求法，會使用坐標變換公式。 4、會求在一個基下線性變換的矩陣。二、教學(xué)要點： 1、線性空間的概念，子空間。 2、線性空間的基、維數(shù)與向量的坐標。 3、基變換和坐標變換公式。 4、變換及線性變換的概念。5、線性變換的矩陣表示。三、課程教材及主要參考資料 1、趙樹嫄，經(jīng)濟應(yīng)用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（二）線性代數(shù)（第二版），中國人民大學(xué)出版社，2003年2月。 2、張博，線性代數(shù)（人大第二版）導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)考，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004年11月。 3、同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，線性代數(shù)（第三版），高等教育出版社，1999年6月（注：本書榮獲2000年中國高等科學(xué)技術(shù)二等獎）。4、錢志強，線性代數(shù)教學(xué)與參考，中國致公出版社。2003年8月。四、其他說明1、本大綱根據(jù)國家教委審定的線性代數(shù)課程的基本要求并結(jié)合我院招生的實際狀況而編寫的，對所選