2020高中數(shù)學3.2.3用空間向量求空間角教學設計新人教A版選修2-1

1、3.2.3立體幾何中的向量方法空間“角”問題（后附學案）一、教材分析：立體幾何是高中數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容，在整個高中數(shù) 學學習中占有重要的地位， 它不僅能培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點， 還能培養(yǎng)學 生的空間想象能力和邏輯思維能力， 是歷年高考的重點考查內(nèi)容之一。 用向量法 處理幾何問題，可使空間形式的研究從“定性”推理轉化為“定量”計算. . 空間角又是立體幾何中的重要知識點， 學好了它對其他數(shù)學知識的學習及貫穿運用有 很大的幫助，因此在首輪復習有必要再對其進行專題復習。二、學情分析 學生雖已學完了立體幾何，也對立體幾何有了一定的認識，但由于空間角是 一個難點，一般的方法是由“作、證、算”三

2、部分組成，學生對作出空間角的方 法即如何化空間角為平面角并在可解三角形中來求解有一定的困難， 還不能熟練 掌握，而空間向量的引入， 使立幾問題演繹難度降低， 相比較來說過關比較容易， 因此有必要對此內(nèi)容通過引入空間向量的方法進行專題訓練， 使學生能更好地掌 握。三、教學目標 知識基礎：空間向量的數(shù)量積公式、夾角公式，坐標表示。認知目標：掌握利用空間向量求空間角（兩條異面直線所成的角，直線和平 面所成的角及二面角）的方法，并能熟練準確的求解結果及完整合 理的表達。能力目標：培養(yǎng)學生觀察分析、類比轉化的能力；體驗從 “定性” 推理到 “定量” 計算的轉化，提高分析問題、解決問題的能力 . . 使學

3、生 更好的掌握化歸和轉化的思想。情感目標：激發(fā)學生的學習熱情和求知欲，體現(xiàn)學生的主體地位；感受和體 會數(shù)學美的魅力，激發(fā)“學數(shù)學用數(shù)學”的熱情 . .教學重點： 1 1）向量法求空間角的方法和公式；2 2 ）空間角與向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系。教學難點：1 1） 兩條異面直線的夾角、 二面角的平面角與兩個空間向量的夾角之間的區(qū)別;2 2）構建恰當?shù)目臻g直角坐標系，并正確求出點的坐標及向量的坐標關鍵：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，正確寫出空間向量的坐標，將幾何問 題轉化為代數(shù)問題四、 教學方法：啟發(fā)式講解互動式討論 研究式探索反饋式評價五、 教學手段：借助多媒體輔助教學六、 教學過程：教師教學活動學生參與

4、活動設計意圖教師提出問題：提問學生，學生一一作出回復習空1 1、異面直線所成的角、線面角、二面答。間角概角的范圍分別是什么？念及求2 2、兩向量夾角的范圍是什么？兩條異面直線所成的角（線法以及3 3、向量的有關知識線角），直線和平面所成的角新學的（1 1）兩向量數(shù)量積的定義（線面角）及二面角的平面空間向（2 2）兩向量夾角公式角（面面角）。量知識，（3 3）什么是直線的方向向量？什分三步：作證求為新課么是平面的法向量？做準備（4 4）如何用直線的方向向量和平面的法向量證明線面間的平行與垂直？教師給出引例：如圖所示，四邊形ABCD是邊 長為6的正方形，SA平面ABCD，SA=8,M是SA的中點,

5、 過M和BC的平面交SD于N.求二面角 M-BC-DM-BC-D 的平面角的正 切值；(2)(2) 求 CNCN 與平面 ABCABC 所成角的正切 值；(3)(3) 求 CNCN 與 BDBD 所成角的余弦值；求平面 SBCSBC 與 SDCSDC 所成角的正弦 值提出問題：如何用空間向量來求解空 間角？1 1、線線角多媒體演示兩異面直線夾角與向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系，得出結論：分別在直線 ABAB CDCD 上取定1 1、學生說方法2 2、方法歸納：求空間角的主 要方法是通過平移轉化法作 出所成角，然后利用三角形 邊角關系求解教師板書用向量求線線角結論以簡單 的練習 題回顧 空間角的三種 類型

6、，在 解題方 法上注 重引導學生并 通過問 題讓學 生對所用知識 有較為 詳細的 回顧，基 于時間的問題 板演省 略通 過 討論、分析總結得 出用空間的區(qū)等于向量ab所成的角或其補角如別和聯(lián)求線線角方法,量a,b,則異面直線 ABAB CDCD 所成的角兩者之系，培養(yǎng)學生嚴例1、如圖所示的正方體中，已知 F Fi教師提問學生回答例 1 1,可 講練結與 E Ei為四等分點，求異面直線以用兩種辦法，傳統(tǒng)法和向合使得量法知識能引導學生悟出用向量求線線夠及時角的方法步驟鞏固并IH找到方稠韓耕酊曙曲角霸 8181 勸法規(guī)律，扔十旬觸 射命鏑；師I癥抵離霏斛訥耕：初歡租為魅弗同時通過練習以麗勃球：輛雅

7、M M 戕樂陋酣琲柿 題熟悉線線角向量法,這樣的設計符謹?shù)膶W習習慣圖，則 COSCOSDFDF 與合學生 的認知 規(guī)律iflifl 血申也心=剜規(guī)蔽血平勰 I I 斜耳 C C 也置,己知BCCA恥倚半的中疸壞片求吧與=cq範賊能能戰(zhàn).?學生練習（回答）2 2、線面角多媒體演示線面夾角夾角與向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系，教師引導，學生類比用向量 求線線角的研究方法，通過獨立 探索、討論得出結論明確 直線方 向向量 與平面法向量 所成角 與線面 角的關系1ScB8B中，求 ABAB 與例 2 2、如圖，在正方體 ABCD-AABCD-AiGDGD平面 A AiBiCDBiCD 所成的角結合讓學生自己動手

8、分析冋題解決問題更能激發(fā)學生學細：在長方體椒7)-制仙中，朋二6廁二& 岡 弋M為呃上的一或二I.點斑線闕D匕 卑斗劇胡平5U蝕所成酬的正寵.戲囪旳龜圍：(0,/ 2亓 黒機如何用空同向常的夾箱蠱臚址曲伯嚅 r結sin# =論：學生回答例題方法(兩種)通過教師板演例題的向量法教師的板書使學生練習，求出答案，點評學生對對錯證明、求解題的It-m過程書刮毘斤觀或妙氣平宙肝戰(zhàn)毎的矗為.寫有個很規(guī)范則覦楚“騙事*的為：HSAftm的標準，w.境酎 濾你輛郭unxmeh統(tǒng)砒目的使尊理卞臾胃#走專.學生既要會做又要不失分。講練過通 求 要不a=習的興趣。有助于學生對知識的掌握2 2、面面角多媒體演示二面角

9、與向量夾角的區(qū)別觀察、分析、理解用向量求二面角的方法和依據(jù)和聯(lián)系,數(shù)形結合,分類范圍：0皿討論分析使學生掌握用法向面角時忽略對面角大小的判斷站 倫:0亠土，小以二曲fit的tl.Lfi.:主-為感懸、A腐牛離內(nèi)舟創(chuàng)柞塞_1于檢的曲柚構條期蜒所雇杓MflL-曲用的千曲島，二板甫的卑晦用益頼滿例3.已知正方徉ABCD的邊長為2,為ACBD的交點，M為的中點(I)求證，肖線斗O丄Ml AC;求二面角對MA的余缶值.rxC.:Z丄學生思考后回答：學生寫出過程，實物投影展示LH卩M首水欽切色ftM) BM：WBG i AOC，SO亠廁ABG EOS-OC-B-L OH, i：備H盤對10B獵的繍械血M酉

10、酈AB陽踽詢踐仏二諭AS 0SH.通 過 此題主要 是培養(yǎng) 學生靈 活運用所學知 識解題 能力的 遷移通過 學生討 論，提問 增力卩了 師生間 的交流使這堂 課變得 生動活 潑并使學生充 分掌握 化歸和 轉化的思想學生回答總結:課時小結生回顧、總結的能力和 意識，徹 底完成 今天的 教學目標小結：C-D1.異面直線所成角：丁-Duuuuuu、 Bcos|cos CD, AB |Ar2.直線與平面所成角：nr uuru- Z -7Sin|cos n,AB |B-03.面角：urUDurcos|cosm,uu1/”n cos|cos叫壓|關鍵：觀察二面角的范圍七、 作業(yè)：課后強化訓練八、 教學過程

11、設計說明1 1、這是一節(jié)用空間向量求解空間角的專題課， 基于學生對空間角的概念和基本 的求解方法有一定的基礎，所以本節(jié)課先從空間各種角的概念、 相關圖形及取值 范圍進行復習，再通過一個相對比較綜合的題目對普通方法求所有的空間角鞏固 一下，為新課做好準備。2 2、 整個教學過程采用循序漸進的原則，使學生能更好地掌握所學知識。3 3、 教學過程中充分體現(xiàn)學生的主體作用，激發(fā)學生的學習興趣，以達到良好的 教學效果。九、 板書設計課題利用向量解決空間角問題一、 線線角 公式二、 線面角公式三、 二面角公式例題 2 2引例多媒體投影323323 立體幾何中的向量方法空間“角”問題課程標準能用向量方法解決

12、線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研 究幾何問題中的作用學習目標1 1 使學生學會求異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的向量 方法；2 2、使學生能夠應用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題3 3、使學生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高例 2 2、如圖，在正方體 ABCD-ABGDABCD-ABGD 中，求 ABAB 與平面 ABCDABCD 所成的角利用向量法求直線與 平面所成角的步驟為:(1)(2)RC ABC, ZBCA =90。，現(xiàn)將匕佃沿著半 皿骯的法向量 平移到也置，己知號 C 二 U4 二CClf取州咎丿心的中點卩、片求BDAE所成的角的余弦值.例2、

13、如圖所示的正方體中，已知 F Fl與 E El為四等分點，求異面直線DFDF 與 BEBE 的夾角余弦值？練習;利用向量求異面直線所成的角的步驟為：（1 1）（2 2）（3 3）探究二線面角1定義:2范圍:思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？設直線 ABAB 的方向向量分別為 a a,平面 的法向量為 n n(3)例父 已知正方體ABCD-小叭UZ的邊長為2.為ACXBD的空點M為DP】的屮點(1)求證 育一線月。丄面2求二面角-Mt -C的余弦值.平面所成角的步驟為:(1)如EL已知：直角鴨形OABC中OABC, ZAOC-900, JiO丄面JAHC日OS=OC-BC=1TOA=2n求

14、： 異面直塊SA和0B所誡的fll的余強值， 艸與面所戰(zhàn)甬a(chǎn)的正弦值r二面角B-AS-O的余弦値.練習:在長方體肋門屮，&九= 6, M為場G上的一點,且M二2,點N在線段再D上, 昇AT = 5,求4刀與平面NM所成的角的正弦值*71探究三面面角(二面角)(3)思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢?設兩平面的法向量分別為n ni、 n n2利用向量法求直線與定義:uB=6060 求二面角 A A- A AiC C- B B 的大小.三、課堂小結1 1、線線角2 2、 線面角3 3、 面面角解題技巧都掌握了嗎？快快記下來吧！四、當堂檢測1 1.直三棱柱 ABCABC - ABCABC 中，/ ACB=ACB= 9090 , D D , E E1分別為 的中點，若BOCBOC 心 CCCC ,則 BDBD 與 AEAE 所成角的余弦值為A.2B.B.曙1515C.C.1010 10102 2 .已知長方體 ABCD-ABCD- ABCDABCD 中,A A 吐 BOBO4 4, CGCG= 2 2,貝 U U 直線 BGBG 和平面 DBEDDBED 所成角的正弦值為（A.#A.#BFC.4 4.已知正三棱與側面 ABBAABBAi所成的角的正弦值為5 5 .如圖，已知在一個二面角的棱上有兩個點 A