《常微分方程》答案習(xí)題2.1

1、習(xí)題2.1= 2xy,并求滿足初始條件:x=0,y=1的特解.word=2xdx ,兩邊同時(shí)積分得:2 2ln I y| = X + c,即 y = c gX 把 x = 0, y = 1 代入得解：對原式進(jìn)行變量分離得dy y2c =1,故它的特解為y =eX。22. y dx +(x +1)dy =0,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進(jìn)行變量分離得：dy,當(dāng)yO時(shí)，兩邊同時(shí)積分得；ln|x + 1=+c,即y=1y1 . 1 dx = 2 X+1 y當(dāng)y =0時(shí)顯然也是原方程的解。當(dāng)x=0,y=1時(shí),1y =。1+1 n1+x|c + ln|x+1代入式子得c = 1,故

2、特解是2dy J+ydx y顯然1 Tn1 +2故原方程的解為兩邊積分得=In2 2(1 + y )(1 +x)1X 一 l n 1 +22 2»=cx2 2+ ln C(c HO),即(1 + y )(1 + x)=2cx4:(1 +x)ydx + (1-y)xdy =023虬"y3.3dx xy + X y解：原式可化為：2y HO,故分離變量得yX - y = c,= x-y=Gy=O;x = O.解：由y=0或x=0是方程的解，當(dāng)xyHO時(shí)，變量分離1_ dx = dy=OX y兩邊積分 ln|x +x + ln|y| -y = c,即Inxj + 故原方程的解為l

3、n xy5: (y +x)dy + (y -x)dx =0解型=g,令y=u,y=ux=u+x巴dx y +x xdxdx則u+x理=4,變量分離，得：-孚1du Jdx dx u +1u +1 X1 2兩邊積分得：arctgu +- ln(1 +u)=n|x| +c。dy26： xy+Jx -y解：令y =u,y =幟,少 =uxdx'22du少d),分離變量得：厶 dx xJ1 -u2+ X竺,則原方程化為:dxdu=sg nx1dxx兩邊積分得：arcsinu =sgnx *ln|x +c 代回原來變量，得arcsin =sgnx *ln|xx2o另外，y =x也是方程的解。ct

4、gydy =tgxdx=In cos* +c.7: tgydx - ctgxdy = 0 解：變量分離，得： 兩邊積分得：ln|sin y.y由x8:dy_e dx y解：變量分離，得 Zdy = y3e9: x(ln X In y)dy -ydx =0 解：方程可變?yōu)椋篒n 乂 dy-dx=0xx令u貝y有:5=- lnu d Inux x 1+1 n u代回原變量得：cy=1+l n '。x10：dx D,yxX +c解：變量分離e dy =e dx 兩邊積分ey =edyx_ydx=e解：變量分離,yxe dy =e dxy xe =e +c兩邊積分得:dy2解:令 X +y =

5、t,貝y原方程可變?yōu)椋篸變量分離得:代回變量得:dx dx1.=+1dx t1二dt = dx,兩邊積分 arctgt = X + c t +1arctg (x + y) = x + cdy12- dx 一(x + y)2"drXy)令x+y =t,貝U直=蟲_1,原方程可變?yōu)?蟲= 1+1dx dxdx tdt=dx，兩邊積分t-arctgt=x + c，代回變量t2變量分離t2 +1X + y -arctg(x +y) =x +c 3.業(yè) _2x-y-1dx x-2y+111解：方程組 2x-y-1 =0,x-2y+1=0;的解為x = -,y =33人 、，1、，丄 1r“若

6、dY 2X -Y.令X = X 一，y = Y 貝y有='33 dX X -2Y1-2U2 令Ju,則方程可化為：xjU-22U+2U XdX變量分離dy X y +514,丄=dx X - y - 2解：令x-y=5=t,貝U史=1吏,dx dx原方程化為：1 - 0 = 丄,變量分離（t - 7）dt - 7dxdxt 一71 2兩邊積分t -7t = -7x+c2t1 2代回變量-(x-y+5) -7(x-y+5) =7x+c.15.齊（5）2+（4汁）2+8"解：方程化為 矽=x2 +2x+1+16y2+8y+1+8xy + 1 = (x + 4y+1)2+2 dx令

7、1+x + 4y =u，貝U關(guān)于X求導(dǎo)得1+4夠=巴，所以丄=+9, 4dx dx4 dx分離變量14u22 28du=dx，兩邊積分得 arctg(-+-x +- y) = 6x+ c,是3 33原方程的解。16.dy6c2y -2xdx2xy5 +x2y2解:dyz 3、2 c 2 (y ) -2xdudx3u223 丄2y (2xy + xdx3（y ） -2x ,，令y3=u,貝U原方程化為c3丄22xy 十 x-6x2dx 2xu +x23u2T _6x2u +1x這是齊次方程u=ZX當(dāng)z22dudz 缶、3z -6dz，貝0 =z+x，所以=z + xdxdxz -6 = 0,得

8、z =3或z當(dāng)z2-z -6 h0時(shí)，變量分離2z + 1=2是(1)2z + 1z2 -z - ddx方程的解。即dz z2 z - 6x一 =dx 2z+1y3 =3x或y3 = 2x是方程的解。(1)dz=1dx，兩邊積分的(z-3)7(z +2)3=x5c,x即(y3-3x)7(y3 + 2x)3 = x5c,又因?yàn)閥3=3x或y3 = _2x包含在通解中當(dāng)c = 0時(shí)。故原方程 的解為(y3 3x)7(y3 +2X)3 =x15c17.dy 2x3 +3xy + x dx 3x2y + 2y3 - y解:原方程化為dydxx(2x2 +3y2 +1) ；dy222J J，2y(3x2

9、 +2y2 -1) dx22x2 +3y2 +1_3x2 +2y2-12 2 y =u,；xT；則弘dv 3v + 2u-1(1)+1,方程組【3v+2u-1解為（人一1 ； 令Z"-1，丫刊則有2+3丄 2"3八0,從而方程(1)化為z 3z+2y = 0dz 3 + 2.zt,z，則有-t+z生，所以 t + z生=2+3t dzdzdz3+2t'dtz一 =dz2-2t23 + 2t2 -2t2=0時(shí),，即t = ±1,是方程（2）的解。得-2或 y2=-X2是原方程的解2 -2t2H0時(shí),3 + 2t 1，分離變量得廠2"=嚴(yán)兩邊積分的y

10、2 +2 ,2 2x = (y -x+ 2)5c另外-X2 +2)5cy2 =x2 -2,或y2 =-x2，包含在其通解中，故 原方程的解為y2 + x2 =（y218.證明方程-= = f (xy)經(jīng)變換xy =u可化為變量分離方程，并由此求解下列方程 y dx2 2(1).y(1 +x y )dx =xdy.c22沁=2+X y)y dx 2-x2y2 證明：因?yàn)閤y =u,關(guān)于X求導(dǎo)導(dǎo)得y +xdy ="dy,所以=竺-丫dudx dxdx dx得:丄半1 =f(u)， =u(f(u) +1)=(uf(u)+u)y dxdx =y(f(u) +1) xx故此方程為此方程為變程。

11、解(1):當(dāng)X =0或y =0是原方程的解，當(dāng)xy h0s時(shí)，方程化 為彳巴=x2y' y dx 八丿令xy =u,則方程化為空=(2u +u3),變量分離得:dx x udu 1 J=-dx2u +u X2兩邊同時(shí)積分得:一 =cxu +22故原方程的解為原2 "X y2，即tX y +22=cx ,x =0.2=cx ,y = 0也包含在此通解中。解(2)令xy =u，則原方程化為 一=!( dx x 2-uy _x yx分離變量得du1=dx，兩邊積分得Inx2 +u2 丄、1 4u 廠u) =- 2X 2 -u2 2-+ c，這也就是方程的解。419.已知f(x) J f (x)dt = 1, X H 0,試求函數(shù)f (x)的一般表達(dá)式.0X=_丄'解:設(shè)f(x)=y,則原方程化為ff(x)d-兩邊求導(dǎo)得yyy0 y3-y=業(yè)dxJ J J J J J J J J J j 八dx盤；兩邊積分得“一1卡；所以心丄把y*代入rf(x)d10 y±亠0 J2t +c I L , 1dt = ±j2x + c; ;±(J2x +c Jc) = ±j2x + c得c- 0,所以y = ± J2x20.求具有性質(zhì)x(t+s)= SS的函數(shù)x'已知x