2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第2節(jié)基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案北師大版

1、第2節(jié)基本不等式及其應(yīng)用最新考綱1. 了解基本不等式的證明過程；2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.I基礎(chǔ)摻斷知識梳理a亠b1.基本不等式：ab0,b0.等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號其中=廠稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)2.兩個(gè)重要的不等式(1)a2+b22ab(a,b R)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.3.利用基本不等式求最值已知x0,y0，貝 U(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是 2p(簡記：積定和最小).2如果和x+y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是專(簡記：和定積最大).常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒b a1.6

2、2(a,b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.2 22ta+ba+b3.1 1wabww - ： 2(a0,b0)._+1 ;a b4.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致診斷自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“V”或“x”)(1)兩個(gè)不等式a2+b22ab與.ab成立的條件是相同的.()1函數(shù)y=x+ -的最小值是 2.()口歸教材、夯靈基礎(chǔ)abw辛 (a,b R)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號2x34函數(shù)f(x) = sinx+的最小值為 4.()sinxx y(4)x0 且y0 是+丄2 的充要條件.()y x解析不等式a2+b22ab成立的條件是a,b R；不等式 于尹，ab成立的條件是

3、a0,b 0.1函數(shù)y=x+-值域是(a, 2U2,+s)，沒有最小值.x4函數(shù)f(x) = sinx+ sinx的最小值為5.x yx0 且y0 是-+ 2 的充分不必要條件.y x答案 (1)X(2)X(3)X(4)X2.設(shè)x0,y0,且x+y= 18,則xy的最大值為()A.80B.77C.81D.82答案 C13.若函數(shù)f(x) =x+(x2)在x=a處取最小值，則a等于()x 2A.1 +2B.1 +3C.3 D.4解析當(dāng)x2 時(shí)，x 20,f(x) =(x 2) +2+ 22 寸 (x 2)X2 + 2= 4,當(dāng)且僅1當(dāng)x 2 =(x2)，即x= 3 時(shí)取等號，即當(dāng)f(x)取得最小

4、值時(shí)，即a= 3.x 2答案 Cx y4._(2017 山東卷)若直線a+b= 1(a0,b0)過點(diǎn)(1 , 2)，貝 y 2a+b的最小值為 _1 2解析由題設(shè)可得一 + = 1,Ta0,b0,a b(12 2a+b= (2a+b)?+b= 2(b4a、b4ab4a+a+T+24+2；a匚解析x=y= 9 時(shí)取等號48 當(dāng)且僅當(dāng)a= +，即b= 2a時(shí)，等號成立.故 2a+b的最小值為 8.答案 85.(教材習(xí)題改編)一段長為 30 m 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m,則這個(gè)5511 汶 + 2y2225解析 設(shè)矩形的長為xm 寬為ym則x+ 2y= 30,所以S=xy=-x

5、-(2y) =,22k2丿2當(dāng)且僅當(dāng)x= 2y，即x= 15,y=弓時(shí)取等號答案 1515I考點(diǎn)突破 呀 nl ?,弓訃諄考點(diǎn)一配湊法求最值51【例(1)若X0,則f(x) = 4x-2 +44x- 5-彳、(5-4x)5+3一2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng) 5-4X=訂士，即x= 1 時(shí)，等號成立1故f（X）=4X-2+R 的最大值為1.所以y=t2+1 + 3+1=t7TTT4當(dāng)t= 0，即x= 1 時(shí)，y= 0;當(dāng)t0，即x 1 時(shí)，y= 1 一,t+4+ 1因?yàn)閠+4 2 4 = 4（當(dāng)且僅當(dāng)t= 2 時(shí)取等號）,1 1所以y= 4 三 5,t+ - +1即y的最大值為 1（當(dāng)t= 2,即x=

6、5 時(shí)y取得最大值）.答案(1)1(2)1矩形的m,寬為m 時(shí)菜園面積最大.分類講練.以例求沬5- 4x+ 三 + 3 1,不等式x+- 1a恒成立，則實(shí)數(shù)a入I I的取值范圍是x2+ 2函數(shù)y=匸 1 (x1)的最小值為xI解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x) =x+1 1 在1 ,+R)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x) =x+ 1+土12 在0,+)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在1 ,+)的最小值為g(1)=，因此對任意x1 1 1 不等式x+x1a恒成立，所以awg(x)最小值=2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2 2x+ 2(x 2x+ 1) + ( 2x 2)+ 3y=x 12(x 1) + 2 (x 1)+

7、3x1=(x1) + T +223+2.x1當(dāng)且僅當(dāng)x 1 =x1，即x= .3+ 1 時(shí)，等號成立.o,2(2)23+2答案考點(diǎn)二常數(shù)代換或消元法求最值(易錯(cuò)警示)【例 2】(1)( 一題多解)若正數(shù)x,y滿足x+ 3y= 5xy，則 3x+ 4y的最小值為(2)( 題多解)已知x0,y 0,x+ 3y+xy= 9,貝 Ux+ 3y的最小值為13解析法一由x+ 3y= 5xy可得可+去=1,(13、 3x4y=(3x4y)5y+晟=5+5+5-+呼A齊1=5(當(dāng)且僅當(dāng)希=螟即 x=1,y=2 時(shí)，等號成立), 3x+ 4y的最小值是 5.3y法二 由x+ 3y= 5xy，得x=5y 11oo

8、，278由已知得心帛.法一(消元法)因?yàn)閤 0,y 0，所以 0vyv3,9 - 3y所以x+3y=帀+3y即y= 1,x= 3 時(shí)，(x+ 3y)min= 6.法二/x 0,y 0,11做+ 3y29-(x+ 3y) =xy= (3y) 0，貝 yt+ 12t 1080, (t 6)(t+ 18) 0,又 Tt0,.t6.故當(dāng)x= 3,y= 1 時(shí)，(x+ 3y)min= 6.答案(1)5(2)6規(guī)律方法條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不

9、等式求解最值；三是對條件使用基本不等式, 建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解 .易錯(cuò)警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致 x0,y0,.y5 3x + 4y =9y5y- 1卜 4y=139卜4y=虧+ 5 當(dāng)且僅當(dāng)y= *時(shí)等號成立,(3x+ 4y)min= 5.12存y+3(y+1)-6212存 T3(y+1),121 +y3(y+1)當(dāng)且僅當(dāng)-6= 6,91 1 1【訓(xùn)練2】已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且忌+不=6 則x+y的最小值為()I:ax+byab= 0(a0,b0)經(jīng)過點(diǎn)(2 , 3)，貝 Ua+

10、b的最小值為_ .1 1 1解析 x,y均為正實(shí)數(shù)，且x2+yT2=6則x+y= (x+ 2 +y+ 2) 4=6土+忌(x+2+y+2)42 +宰+空4y+ 2x+ 2y+ 2 -4= 20,當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 10 時(shí)取等號 x + y 的最小值為 20.故選 C.因?yàn)橹本€I經(jīng)過點(diǎn)(2 , 3)，所以 2a+ 3bab= 0，所以匕=羊0，所以a 30,所以a a 32a6/6+b=a+=a 3+ 55+ 2(a 3)=5 + 2 6，當(dāng)且僅當(dāng)a 3 =.a 3a3la 3a 3即a= 3 +寸 6,b= 2+ 6 時(shí)等號成立.答案(1)C(2)5 + 2 6考點(diǎn)三基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)

11、用【例 3】運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛 130 千米，按交通法規(guī)限制 50Wxw100(單上2位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升 2 元，而汽車每小時(shí)耗油2 + 360 升，司機(jī)的工資是每小時(shí) 14 元.(1) 求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2) 當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值130解設(shè)所用時(shí)間為t=(h),x130 x2130y=-x2x2+360+14 乂丁,x50,100.130X182X130所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y=- +x,x 50, 100 x300A.24B.32C.20D.28(2018 石家莊質(zhì)檢)已知直線10130

12、X182X130ly = -x + 右x2610,即x= 18 10 時(shí)等號成立故當(dāng)x= 18 10 千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26 10 元.規(guī)律方法1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)2. 根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值3. 在求函數(shù)的最值時(shí)， 一定要在定義域（使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍）求解【訓(xùn)練 3 2016年 11 月 3 日 20 點(diǎn) 43 分我國長征五號運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認(rèn)為我國已從航天大國向航天強(qiáng)國邁進(jìn)的重要標(biāo)志.長征五號運(yùn)載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新材料，甲工廠承擔(dān)了

13、某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)（為保證質(zhì)量要求 Kx 1 000X2 .9= 6 000,x/當(dāng)且僅當(dāng)x=9即卩x= 3 時(shí)，等號成立，且x3 1 , 10.故工廠應(yīng)選取 3 千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，消耗的A材料最少，最少為 6 000 千克.分層訓(xùn)練、提升能力111.下列不等式一定成立的是（）12Agx2+1lgx(x0)1B. sinx+2(x*kn ,kZ)sinx2C.x+ 12|x|(x R)1D.rV1(xR)x +1)解析 當(dāng)x0 時(shí)，x2+1 2 x 1 =x,所以 lg jx2+ Igx(x0)，故選項(xiàng) A 不正確；4 24/運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證一正”二定三相等”

14、，當(dāng)x*kn,k Z 時(shí)，sinx的正1負(fù)不定，故選項(xiàng) B 不正確；顯然選項(xiàng) C 正確；當(dāng)x= 0 時(shí)，有-7- = 1,選項(xiàng) D 不正確.x十 I答案 C2.若 2x十 2y= 1，則x十y的取值范圍是()B. 2, 0C.2，十)D.(a, 21解析 2.2十0，不等式x2彳乂十wa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()x111解析 由x0,得乂:十3x十=1 w:1= 5，當(dāng)且僅當(dāng)x= 1 時(shí)，等號成立,X十x十32/x - + 31 則a？5答案 A4.若a0,b0,且a+b= 4,則下列不等式恒成立的是()1 1A w -ab41 1B.-十w1a bC.ab22 2D.a+b 8A.0

15、, 2十8D.1，十 71513解析 4=a+b2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立)，即.abw2,abw4,1，選項(xiàng)A,11a+b4o ooC 不成立；-匚=匚1，選項(xiàng) B 不成立；a+b= （a+b） 2ab= 16 2ab8,選項(xiàng)a b ab abD 成立答案 D5. 若a,b都是正數(shù)，則1 +b 1 +罟 的最小值為（）A.7B.8C.9D.10解析Ta, b都是正數(shù)，.1 +占燈+b= 5+a+石5+ 2、a=9,當(dāng)且僅當(dāng)b= 2a0時(shí)取等號答案 C6. 若正數(shù)x,y滿足4X2+9y2+ 3xy= 30，則xy的最大值是（）4A.35 B.-3C.25 D.-4解析22由x0,y 0

16、，得 4x+ 9y+ 3xy2 (2x) （3y） + 3xy（當(dāng)且僅當(dāng) 2x= 3y時(shí)等號成立），12xy+3xyw30,即xyw2,.- xy的最大值為2.答案C7.已知x0,y0 且 4xy-x- 2y= 4, 則xy的最小值為（）A亞A. 2B.2 2C. ,2D.2解析/x0,y0,x+ 2y2xy, 4xy-(x+2y)w4xy-2 2xy,4w4xy- 2 2xy,則(2xy- 2)(2xy+ 1) 0,寸 2xy 2, .xy 2.答案 D1 18. (2018 鄭州質(zhì)檢)已知a,b (0 ,+)，且a+b+ + = 5，則a+b的取值范圍是()a bA.1,4B.2,+s)C

17、.(2,4)D.(4,+R)11f 1、5解析 因?yàn)閍+b+-+ 二=(a+b) i1 +匚=5，又a,b (0 ,+)，所以a+b=0,則a4+ 4b4+ 1ab的最小值為解析/a,bR, ab0,4, . 4/a+ 4b+ 1ab4ar1=4ab+ 存2d4ab ab=4,當(dāng)且僅當(dāng)a2= 2b2,i 14ab=不,時(shí)取得等號答案 411.已知函數(shù)f(x)=2x+ax+ 11x+ 1(aR)，若xNk,f(x)3恒成立，則a的取值解析對任意x N+,f(x) 3,2即x+ 13 恒成立，即ajX+- + 3. k x/88廠設(shè)g(x) =x+ 一，x N+，貝 Ug(x) =x+ 一42,x

18、x17當(dāng)x= 2 2 時(shí)等號成立，又g(2) = 6,g(3)=孑,g(4) = 6.88x+一+3W ;, x3，17g(2)g(3)，-g(x)min= 38 一 8a 3,故a的取值范圍是3,8-km3，十答案 I- 8，+m12. (2018 成都診斷)某工廠需要建造一個(gè)倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為答案 A二、填空題9._正數(shù)a，b滿足ab=a+b+ 3,貝Uab的取值范圍是 _解析 /a,b是正數(shù)， ab=a+b+32abl3,解得ab3,即ab9.答案 9,+R)51+alb當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立，即2(a+b) 5(alb) + 4 0,解得 Ka+bx16a6+a5= 0,a7+a6= 7,a8+a7= 0,a9+a