函數(shù)的極限與連續(xù)

1、 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一章 函數(shù)的極限與連續(xù) 1.1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 1.2 極限方法極限方法 1.3 無窮小的比較無窮小的比較 1.4 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 1.5 數(shù)學實驗數(shù)學實驗用用matlab求極限及案求極限及案例分析例分析 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1.1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 一、初等函數(shù)初等函數(shù) 二、極限的概念二、極限的概念 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1.1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1、初等函數(shù)、初等函數(shù)（1）復合函數(shù)的概念）復合函數(shù)的概念 如果y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，且的值域包含在函數(shù)的定義域內(nèi)，

2、那么y(通過u的關(guān)系)也是x的函數(shù)，我們稱這樣的函數(shù)為與復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù)，記作例1 寫出下列函數(shù)的復合函數(shù) 解 將 代入 可得復合函數(shù)為： 將 代入 可得復合函數(shù)為： y fx 2,siny u ux2sin ,yu uxsinux2y u2sinyx2u xsinyu2sinyx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)例2 指出下列復合函數(shù)的復合過程 （2）初等函數(shù)初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復合運算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)一般可以用一個解式子表示例如 它們都是初等函數(shù) 2arctanyx21 xy e2sinsin 1cos ,3

3、xyxxx yx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)2、極限的概念、極限的概念（1）案例引入極限思想案例引入極限思想中國古代數(shù)學家劉徽在九章算術(shù)注中創(chuàng)造了“割圓術(shù)”來計算圓周率的方法。劉徽注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，且當邊數(shù)屢次加倍時，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈接近圓的面積?！案钪畯浖?，所失彌少。割之又割以至于不可割則與圓合體而無所失矣”。這幾句話明確表明了劉徽的思想：當內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n越大，多邊形就越貼近圓周，也就是說當正多邊形的邊數(shù)n無限增大時，正多邊形的周長就是圓周長。根據(jù)這一思想如何來計算圓周率的近似值？理論根據(jù)何在？寫出你的推導過程。劉徽的

4、思想中體現(xiàn)了極限的思想，也就是說極限是研究事物發(fā)展變化趨勢的重要工具。下面我們將具體研究極限的概念。 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)2)(2)(arctan)(無限接近時，無限趨向于當；無限接近時，無限趨向于當，對于函數(shù)xfxxfxxxf記作時的極限，當為函數(shù)，則稱確定常數(shù)的值無限接近于一個時，函數(shù)如果當axfaxfxxxfaaxfxxxx)(lim)(lim)()()()(2arctanlim2arctanlimarctan)(xxxxfxx，的極限，我們可以寫為對于xyoxyarctan定義：定義： 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)01lim1)()(lim)

5、(lim)(lim2121xxxfaaaaxfaxfaxfxxxx，對于即0)(0)(1)(無限接近時，無限趨向于當；無限接近時，無限趨向于當，對于函數(shù)xfxxfxxxfaxfaxfxxfaaxfxx)()(lim)()(或者記作時的極限，當是函數(shù)，則稱確定的常數(shù)的值無限接近于一個無限增大時，函數(shù)如果oxyxy1定義：定義： 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)oxy) 1 , 1 (112xxy時的極限當為函數(shù)，則稱一個確定的常數(shù)的值無限接近于時，函數(shù)趨近于，如果當自變量可以除外點的附近有定義在點設(shè)函數(shù)00000)()()()()(xxxfaaxfxxxxxxxf定義：定義：)()

6、()(lim00 xxaxfaxfxx或者記作2)(1111)(1), 1 () 1 ,(11)(22xfxxxxxfxxxxf時，當時，當，定義域為對于函數(shù)211lim21xxx在上例中， 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)axfaxfxxxxxfaaxfxxxxxxxx)(lim)(lim)()()()()()000000極限，記作右時的左當為函數(shù)，則稱接近于一個確定的常數(shù)的值無限時，函數(shù)的如果當定義：定義：2121)(lim)(lim)(lim000aaaxfaxfaxfxxxxxx由此易知：這常被用來作為判斷函數(shù)在某一點處極限是否存在的依據(jù) 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函

7、數(shù)的極限與連續(xù)的極限是否存在時與討論例：設(shè))(2132121210)(xfxxxxxxxxxf不存在故，故，解：)(lim1)(lim0)(lim1)(lim1)(lim1)(lim122111xfxfxfxfxfxfxxxxxx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限分幾種情況，有的自變量趨向于無窮大，有函數(shù)的極限分幾種情況，有的自變量趨向于無窮大，有的自變量趨向于一個確定的數(shù)；函數(shù)在某一點處極限存的自變量趨向于一個確定的數(shù)；函數(shù)在某一點處極限存在的充要條件是左、右極限都存在且相等在的充要條件是左、右極限都存在且相等.掌握極限思想的形成過程，理解極限是研究事物發(fā)展變掌握極限

8、思想的形成過程，理解極限是研究事物發(fā)展變化趨勢的重要工具化趨勢的重要工具 小小 結(jié)結(jié) 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1.2 極限方法極限方法 一、無窮小與無窮大一、無窮小與無窮大二、極限的運算法則二、極限的運算法則 三、兩個重要極限三、兩個重要極限 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)一、無窮小與無窮大一、無窮小與無窮大0limt是時間的函數(shù)，且有動機，斷電后的轉(zhuǎn)速的變量。例如運轉(zhuǎn)的電我們常會遇到極限是零定義：定義：0)(lim0)(lim)()()()(000 xfxfxxxxfxfxxxxxx記作窮小，時的無窮小量，簡稱無為函數(shù)的極限為零，則稱時，函數(shù)如果當注意：

9、注意： 無窮小不能看作一個“很小的數(shù)“，它是一種特殊的以零為極限的函數(shù)。但如果一個函數(shù)取值恒為零，依定義它是一個無窮小。另外，無窮小是對自變量某一個變化過程來說的。 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系：等時，上式依舊成立、當時的無窮小為當其中00)()()()(lim0 xxxxxxxaxfaxfxx性質(zhì)：性質(zhì)：1.有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小 2.有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 3.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小xx

10、xsin1lim例：求0sin1lim1sinsin1xxxxxxx即是有界函數(shù)，滿足是無窮小，時，函數(shù)解：當 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)定義：定義：xx1sinlim0)(lim)(lim)()()()(000 xfxfxxxxfxfxxxxxx記作窮大，時的無窮大量，簡稱無為稱函數(shù)的絕對值無限增大，則時，函數(shù)如果當注意：注意：無窮大是指絕對值無限增大的變量，不能將其與很大的常數(shù)相混淆，任何常數(shù)都不是無窮大?！皹O限為無窮大”說明極限不存在，但極限不存在不一定是“極限為無窮大”，也有可能是振蕩無極限的，例如為無窮大。，則為無窮小且反之，若為無窮?。粸闊o窮大，則程中，若在自變

11、量的同一變化過)(10)()()(1)(xfxfxfxfxf 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)二、極限運算法則二、極限運算法則 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)，則，設(shè)bxgaxfxxxx)(lim)(lim00baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim) 1 (000caxfcxcfabxgxfxgxfxxxxxxxxxx)(lim)(lim)(lim)(lim)()(lim)2(00000特別有)0()(lim)(lim)()(lim) 3(000bbaxgxfxgxfxxxxxx)()(lim)(lim)4(00為正整數(shù) kaxfxfk

12、kxxkxx)0)(lim()(lim)(lim)5(000 xfkkaxfxfxxkkxxkxx為偶數(shù)時需為正整數(shù)且法則也成立、換成將其中的000 xxx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)035limlim3)lim(5lim3limlim)53(lim2222222222xxxxxxxxxxxxx解： 37)53(lim1limlim531lim22232232xxxxxxxxxx.531lim. 1232xxxx例：求極限應(yīng)用舉例求極限應(yīng)用舉例如果在上例中分母極限為零怎么辦？ 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)348153lim. 2323xxxxx例：8334

13、8153lim348153lim33323xxxxxxxxnx解：犯了什么錯誤？解法：83)348(lim)153(lim)348(lim) 153(lim348153lim33323323xxxxxxxxxxxxnxxxx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)式時此方法也適應(yīng)當分子和分母為數(shù)列形當當當為非負整數(shù)時有和由上題可知，當mnmnmnbabxbxbaxaxanmbanmnnnnmmmmxnm0lim, 0, 0011011 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)465lim. 3222xxxx4123lim465lim2222xxxxxxx解：xxx42lim. 4

14、04)4(lim2)42(lim)42)(42()42(lim42lim0000解：xxxxxxxxxxxxxx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1112lim. 521xxx2111lim1) 1(2lim1112lim12121xxxxxxxx解：)11(lim. 622xxxx1/11/112lim112lim)11()11)(11(lim)11(lim222222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解： 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)三、兩個重要極限三、兩個重要極限)(1sinlim.10取弧度單位 xxxx則是錯誤的的，是趨向于這個極限中，

15、1sinlim01sinlim. 10 xxxxxxx依然成立，是形式上的此極限中的12/)2/sin(lim. 20 xxxxx3.其極限可以推廣為sinlim0 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)xxx1sinlim. 1例：1/1/1sinlim/1/1sinlim1sinlim0/1xxxxxxxxx解：20cos1lim. 3xxx21)2/()2/sin(21lim)2/(4)2/(sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx解：xxxsinlim. 41sinlim)sin(limsinlim00ttttxxttxttxx解：xxxtanlim. 2

16、01cos1limsinlimcos1sinlimtanlim:0000 xxxxxxxxxxxx解 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)exxx11lim)2(也可以是既可以是這個極限中的exxx11lim. 1enexxnnxx11lim1lim. 210，如形式，是形式上還有其它一些此極限中的3.此式可以推廣為 1( )( )0lim 1( )f xf xf xe 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)xxx11lim. 1例：exxxxxx111lim11lim1解：xxxx11lim. 221221121lim121lim11limexxxxxxxxxxxx解：xx

17、xsec2/)cos21 (lim. 322cos212/sec2/)cos21 (lim)cos21 (limexxxxxx解： 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)小小 結(jié)結(jié)1sinlim0 xxxexxx11lim求極限是一元函數(shù)微積分中最基本的一種運算，其方法較多。主要有以下幾種：（1）利用極限的定義，通過函數(shù)圖像，直觀地求出其極限；（2）利用極限的運算法則；（3）利用重要極限 (4）利用無窮小的性質(zhì)和 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1.3 無窮小的比較無窮小的比較 一、無窮小的比較一、無窮小的比較 二、等價無窮小代換二、等價無窮小代換 第第一一章章 函數(shù)的極

18、限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)；記作高階的無窮小是比，就說如果)(,0lim) 1 (o定義定義: :. 0,且窮小是同一過程中的兩個無設(shè);, 0lim)3(是同階的無窮小與就說如果c;, 1lim記作是等價的無窮小與則稱如果特殊地，低階的無窮小是比，就說如果lim)(一、無窮小的比較一、無窮小的比較 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)21)cos1tan(lim)cos1 (tanlimsintanlim203030 xxxxxxxxxxxxx21cos1lim20 xxxxcos1例1 稱 是x的二階無窮小。11,11limlim11二、等價無窮小代換二、等價無窮小代換定理定理1 在

19、同一極限過程中，如果無窮小量滿足條件：則 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)常用的等價無窮小量常用的等價無窮小量)0(1)1 (,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2aaxxxxexxxxxxxaxxexx2sin1lim. 130例：求23232sin231lim2sin1lim3030 xxxexexxxx解：xxxarctan) 12ln(lim. 22002arctan2) 12ln(limarctan) 12ln(lim222020 xxxxxxxxxx解： 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1.4 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函

20、數(shù)的連續(xù)性的概念一、函數(shù)的連續(xù)性的概念 二、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性二、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性 三、函數(shù)的間斷點三、函數(shù)的間斷點 四、初等函數(shù)的連續(xù)性四、初等函數(shù)的連續(xù)性 五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)一、函數(shù)的連續(xù)性的概念1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxuxxuxf .)(),()(0的增量的增量相應(yīng)于相應(yīng)于稱為函數(shù)稱為函數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第第

21、一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當自變量的增量果當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應(yīng)的函對應(yīng)的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. .,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)定義

22、定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限存在時的極限存在, ,且等于它在且等于它在點點0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù). . 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 第第一

23、一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)二二.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),

24、(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的有理函數(shù)在區(qū)間有理函數(shù)在區(qū)間 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對任意的對任意的

25、 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)三、函數(shù)的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxx

26、xf 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則

27、稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點. 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與

28、連續(xù)如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點函數(shù)在點 xoxy112 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解

29、oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)四、初等函數(shù)的連續(xù)性四、初等函數(shù)的連續(xù)性由于基本初等函數(shù)的圖象在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)由于基本初等函數(shù)的圖象在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)不斷的曲線，故知：基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)不斷的曲線，故知：基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的都是連續(xù)的. 定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如

30、,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù).)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理2 2例如例如,), 0() 0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的理論依據(jù)的理論依據(jù)變量代換變量代換xu 例例1 1.)1ln

31、(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy )

32、.()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk

33、 取取.)(kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)定理定理 3(3(零點定理零點定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零的一個零點點, ,即至少有一點即至少有一點 )(ba ，使，使0)( f. .定義定義: :.)(, 0)(000的零點的零點稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx .),(0)(內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在即方程即方程b

34、axf 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 aaf )( 及及 bbf )(, ,那末，對于那末，對于a與與b之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)c，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 ，使得，使得cf )( )(ba . .xyo)(xf

35、y 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xxmm 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)例例2 2.)(

36、),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxf 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxfaafaf )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)1.5 用用matlab求極限及案例求極限及案例分析分析一、用一、用matlab求復合函數(shù)求復合函數(shù) 二、用二、用matlab求極限求極限 三、案例分析求解三、案例分析求解 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)一、求復合函數(shù)一、求復合函數(shù) 若函數(shù)若函數(shù)z=z(y)的自變量的自變量y又是又是x的函數(shù)，的函數(shù)，則求則求z對對x的函數(shù)的過程稱為復合函數(shù)的函數(shù)的過程稱為復合函數(shù)運算。在運算。在matlab中，此過程可由功中，此過程可由功能函數(shù)能函數(shù)compose來實現(xiàn)，命令常用格來實現(xiàn)，命令常用格式為：式為： compose(f,g) 求當求當f=f(y)和和g=g(x)時的復合函數(shù)時的復合函數(shù)fg(x). 第第一一章章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù) 例1 設(shè),求。 解 clear syms x f=1/(1+2)； g=sin(sqrt();