幾種插值法比較與應(yīng)用

1、多種插值法比較與應(yīng)用(一) Lagrange 插值1. Lagrange插值基函數(shù)n+1個(gè)n次多項(xiàng)式lk(x)0,1, ,nn X X j0 Xk Xjk稱為Lagrange插值基函數(shù)2. Lagrange插值多項(xiàng)式設(shè)給定n+1個(gè)互異點(diǎn)(xk, f(xk) , k 0,1,，n ,XiXj ,i j，滿足插值條件Ln(Xk)f(Xk),0,1,的n次多項(xiàng)式Ln(X)nf(Xk)lk(x)k 0n X f(Xk)( k 0j 0 Xkj k為Lagrange插值多項(xiàng)式，稱E(x)f(x)Ln(x)f(n 1)() nVj0(X Xj)為插值余項(xiàng)，其中X (X)(a,b)(二) Newton插值1

2、 .差商的定義f(x)關(guān)于Xi的零階差商fXi f(Xj)f(x)關(guān)于Xi , Xj的一階差商fXj fXiXjXi依次類推，f(x)關(guān)于 Xi , Xi 1 ,Xi k的k階差商fXi,Xi 1, Xi kfXi 1,Xi k f Xi,Xi k 11,Xi kXi2.Newton插值多項(xiàng)式設(shè)給定的n+1個(gè)互異點(diǎn)(Xk，f(xk) , k0,1, ,n ,xixj , i稱滿足條件Nn(Xk) f(Xk) , k0,1,n的n次多項(xiàng)式Nn(X)fXofXo,Xi(X Xo)fXo,Xi,，Xn ( XXo)(X Xn i)為Newton插值多項(xiàng)式，稱E(X)f(X) Nn(X)f Xo,Xi

3、,Xnjn(X0Xj),Xa,b為插值余項(xiàng)。(三)Hermite插值設(shè) f (x) C1a,b，已知互異點(diǎn)Xo , X1 ,-Xna,b及所對應(yīng)的函數(shù)值為fo , f1 ,導(dǎo)數(shù)值為fo ,辦，fn'，則滿足條件H 2n 1 (Xi )fi , H 2n 1 ( Xi )fi ,i0,1, ,n的2n 1次Hermite插值多項(xiàng)式為nH2n1(X)fijj(x)fj j(x)其中j(x)1 2(x Xj)lj(Xj)lj2,j(x)(x Xj)lj2(x)稱為Hermite插值基函數(shù),ij(x)是 Lagrange插值基函數(shù)，若f C2n 2a,b，插值誤差為(2n 2)f(x) H2n

4、1(X)廠 一(X)(2n 2)!X丿/2/2-(X X0) (X Xn),(X)(a,b)(四) 分段插值 設(shè)在區(qū)間a,b上給定n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)aX0X1Xn b(X)，具有性質(zhì)和相應(yīng)的函數(shù)值y , y1，yn，求作一個(gè)插值函數(shù)(Xi)y ( i 0,1,2, ,n )。(X)在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)Xi,Xi 1(i 0,1,2, ,n上是線性函數(shù)。(五) 樣條插值設(shè)在區(qū)間a,b上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a X0X1Xn b給定這些點(diǎn)的函數(shù)值yf(xi)。若函數(shù)s(x)滿足條件: s(Xi) y , i 0,1,2, ,n ;,n )上是3次多項(xiàng)式;在每個(gè)區(qū)間Xi,Xi 1 ( i 0,1,2, s(Xi)

5、C2a,b；取下列邊界條件之一:(i)第一邊界條件：s'(X0)f '(X0)，s'(Xn)f'(Xn),(ii )第二邊界條件：f"(X0), s'(Xn) f '(Xn)或s (X0) s (Xn)0(iii)周期邊界條件:Sk(X0)sk(Xn),k 1,2稱s（x）為3次樣條插值函數(shù)。（六）有理插值設(shè)在區(qū)間a,b上給定n+m+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)Xo，X1， X2，Xn m 1 ，Xn m上的函數(shù)值yif(Xi)，i 0,1,2,n m，構(gòu)造一個(gè)有理插值Rmn(x)需nn 1aox a1Xm 1b0xmbix1X anbm 1X bm滿

6、足條件:Rmn(Xi)f (Xi)， i 0,1,2,n m則稱 Rmn（x）為點(diǎn)集 X0， X1， X2，Xnm1 , Xn m上的有理插值函數(shù)。例1 .設(shè)X0 , X1，Xn為n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，|0（X）, l1（X）,nln(x)為Lagrange插值基函數(shù)，證明lj(x) 1j 0證 考慮f（X） 1，利用Lagrange插值余項(xiàng)定理f(X) Ln(X)池(X X0)(X X1)(X Xn)顯然Ln（X）f（X） 1。利用Lagrange基函數(shù)插值公式，有nnLn(x)f(Xj )lj(x)Xk lj(x) Xkj 0j 0例2給出下列表格：X00.20.40.60.81.0S(

7、x)00.199560.396160.588130.772100.94608對于正弦積分S(x)xsint ,0dt，當(dāng)S(x) 0.45時(shí)，求x的值。解利用反插值計(jì)算線性插值，取t。0.39616，t10.58813， x00.4，x10.6。Li(t)0.4t 0.588130.39616 0.588130.6 t O.396160.588130.39616x L1(0.45)0.456092097。2次插值，取t00.199561 0.39616 , t20.58813，x00.2，x10.4，x2 0.6L2(t)(t 0.39616)(t0.58813)0.2 (0.199560.3

8、9616)(0.19956 0.58813)(t 0.19956)(t0.5813)(t 0.19956)(t0.39616)例3取節(jié)點(diǎn)X00，X11對函數(shù)y e x建立線性插值。0.4 (0.396160.19956)(0.396160.58813)0.6 (0.58813 0.19956)(0.58813 0.39616)x L2(0.45)0.455622509。故x值約為0.456。解先構(gòu)造X0X11兩點(diǎn)的線性插值多項(xiàng)式。因?yàn)閤01y11 e0(1) Lagrange型插值多項(xiàng)式構(gòu)造(0,1)和(1,e 1)的一次插值基函數(shù)l0(x)丄上X0 X1(X 1),li(x)X X0 XXI

9、 X018045事實(shí)上In 0.600.510826，另外這樣就容易得到1(x)y0l0(x) y1l1(x)(X1) xe 1(2) Newton型插值多項(xiàng)式因?yàn)閒ix。* e 1 1，所以1 x(e 11)1(X) f (X0) (X X0)fX0,X1例4根據(jù)函數(shù)f(X)in X的數(shù)據(jù)表X0.400.500.700.80f(x)-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144f '(X)2.5000002.0000001.4285711.250000運(yùn)用Hermite插值計(jì)算In 0.60。x00.40X10.50， x20.70， x30.80，首先構(gòu)造 Hermite插值基函數(shù)0(X)，1(x)，2(X)，3(X)，0(x)，1(x)，2(x)，3(X)。然后利用Hermite插值公式寫出直接計(jì)算得3H7(x) f(Xk) k(x)k 0f (Xk)k(x)0(0.60)0(0.40)115411(0.60)1(0.60)8272_827，22(0.60)452 (0.60)113(0.60)，5413(0.60)-18ln 0.60H7(0.60)0.510824f(x) Inx , f 8(x)7!8 .x例5判斷下面的函數(shù)是否是3次樣條函數(shù):s(x)x3 2x 1