第3章微分中值定理及其應(yīng)用(2)

1、第3章 微分中值定理及其應(yīng)用 （第二講泰勒公式、函數(shù)極值等 ）3X+ 1)3。2一.應(yīng)用麥克勞林公式，按X乘幕展開(kāi)函數(shù)f（X）=（X - 解：f（X）是6次多項(xiàng)式,5+d6二 f(x)=f(0)+f'(0X+f)x2+f_)x3+)x42!3!4!5計(jì)算出：f(0) =1, f'(0)=3(x2 -3x + 1#2x-3?x才-9f "(O) = 60, f'"(0)= -270, f 佇0)= 720, f(mo)= -1080, f 00)=720故 f(X)= 1 - 9x + 30x2-45x3 + 30x4 - 9x5 + X6二當(dāng)Xo =

2、 -1時(shí)，求函數(shù) f（X）= 1的n階泰勒公式。X解: f(x)=丄=x1Xf(x)= x2f(x)=(-1X-2)x3，f g(x)=(-1)kk!xn f( 1)= -1, f'(一1)1, f''(1)= -2f'"(1)3!,f(nn1)= -n!Rn(X)= fr )=（-1廠（n + 1!© 一卩七）=(_1廣 n(x + 1)n=(匕在一1和X之間)1f"f_1f1n!f(1)+ f'( 1)(x + 1)+(x + 1)2+(x+1)n + R/x)X2!=-1 + (x + 1) +(x + lf + (x

3、+1)n+(T)n%7EXx + 1嚴(yán)三求函數(shù)f（X）= xex的n階麥克勞林公式。解：f(x) = xe f'(x)=eXd + x) f (x)=eX(2+x)，f(k)(x)= ex(k+X)IIIIQf(x) = xe = f(0)+f(0%+ f(0)x k2!-f(n0)xn +f(MG)xn+1 n!(n + 1!=0 +1+ X2 +2!11kn xn +e (n + 1 + 匕“十1n!(n + 1!213=X + X2 + X3 +2!+(n + 1!-Mkn + 1)+ E xn岀©可表示為日X （0 <日吒1 ）兀2.當(dāng) 0w x<2 時(shí)，

4、證明一xsinx。JI一、sinx 一 f , xcosx - sin x證：設(shè) f(x)=,則 f(x)= 2XXg(x)= xcosx- sin x,g(X)= cosx - xsin x - cosx = - xsin x.兀'時(shí),故gx）單調(diào)減少,g(0)= 0, g(x)< g(0)l即 XCOSX - sinx 0所以f兀0在（0,?上f（x）單調(diào)減少.f兀1f l-l12丿.當(dāng)2時(shí),fsflips i IX因此AX2 2 . 即-XF%、當(dāng)X4時(shí)，證明 2XX2。f(X)二 xln 2 - 2ln x, f(4)= 0,i.n2 -上上=0X 2 X 24當(dāng)xa4時(shí)

5、,f'(x)：>0,所以f(x)為單調(diào)增加 f(x)> f(4)= 0 xin 2-21 n x > 0,即 in 2 > in X2 in x 為增函數(shù)， - 2 x2三.試證方程sinx= X僅有一個(gè)實(shí)根。解：顯然X = 0為方程f(x)= x-sinx的一個(gè)根又f ' (X ) = 1 - COS X3 0, X壬(r +-(-處，+處)時(shí),f(x)單調(diào)增加廠f(x)=x-sinx在(-廣-)僅有一個(gè)零點(diǎn).即方程sinx= X僅有一個(gè)實(shí)根五.f (X)、g (X)在a,b上存在二階導(dǎo)數(shù)且g”(x) H 0, f (a) = f (b) = g(a)

6、 = g(b) = 0，證明：(1)在(a,b)內(nèi) f(E) f )g(x)H0。(2)(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)巴，使得g( ) g (J分析：(1)要證g(X)在(a, b)上非零,用反證法更方便，若不然,至少有一 個(gè)零點(diǎn)C"(a,b)，則由g( X)的三個(gè)零點(diǎn)，可推出g'(x)有2個(gè)零點(diǎn),從 而g "(X)有一個(gè)零點(diǎn)與已知矛盾.fC) f"C)''''要證 K = 頁(yè)；，即證方程f(X)g(x)-g (x)f (x)= 0有解，則gr)g r)取 F(x)= J( f(X )g(x)-g(x )f(X )dx=f'

7、;(xgx)- J f'(x)g'(x)dx-g'(x)f(x)+J f'(x)g'(x)dx-f'（xgx）-g'（x）f（X）從而可以證明結(jié)論.證明：（1）反證法：若不然，則在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)C,使得g（c）0,于是由已知g（x）在/c】,Qb】上均滿足羅爾定理?xiàng)l件, 因此必存在 ©1"（a,c）2"（C, b），使得 g'®）= 0,0,進(jìn)一步知g'（x）在區(qū)間 氣,2上滿足羅爾定理的條件， 因此，必存在"（匕1,匕2）（a,b）使得g"（©

8、 ） = 0 , 與已知g"（x） K 0矛盾。因此在（a,b）上g（x） H 0o（2）設(shè) F（x2 f '（X）g（x）- f（x）g'（x）,由已知，在a,b上連續(xù)可導(dǎo)，F(xiàn)（a2 F（b）= 0,滿足羅爾定理的條件，因此，至少存在一點(diǎn)巴壬（a,b）使得FG）= 0 ,n f（r） W） ）f（=0，也即而=瑋g（a），試證IIII即：f代）g（E）- g憶六.f'（x）g（x），且f(a) =（1）當(dāng)Xa時(shí)，f(x)>g(x)；（2）當(dāng) X a 時(shí)，f(x)<g(x)o分析：對(duì)于這種題顯然用反證法 證明：（1）設(shè)當(dāng)x> a時(shí)f（x）蘭g

9、（x），任意取一點(diǎn)xj（ a嚴(yán)）fX）- f（a）由導(dǎo)數(shù)的定義知：f（a）= xima 1xi a將-（2）得：f'g(Xi ) f(a)g (a)二 lim' (2)人Ta咅一aF .'f , f (Xi)- f(a)- g(Xi)+ g(a)(a)- g (a )= lim ''XiTa因?yàn)楫?dāng)X A a時(shí)f(X)蘭 g(x)f(xi)蘭 g(xi)且 f (a)= g(a)-f （Xi）- f （a）-=f（X!）- g（x1）】+ 0 蘭 0與條件相矛盾所以假設(shè)不成立原命題成立即:gy )+ g(a )= f (咅)gW )+f (a) g(a)當(dāng)

10、 X > a時(shí)，f(X)> g(X)（2）設(shè)當(dāng)X丈a時(shí)f（x）二g（x），任意取一點(diǎn)X2 " （-ra）由導(dǎo)數(shù)'f（x2）- f（a）的定義知：f（a）7maX2 - ag(x2)- f(a)g(a)= lim x2TaX2 - a將_(4得 fSgSlim gmaX2T aX2 - a因?yàn)楫?dāng)X吒a時(shí)f（X）工 g(x)，f(x2P g(X2)且f (a) = g(a)所以f(X2)- f (a)- g(x2)+=f(洛)-gX)】+ 0 H 0g(a2f(X2)- gx +f (a)- g(a)與條件相矛盾所以假設(shè)不成立原命題成立即:當(dāng)X a時(shí)，一、求函數(shù)yf

11、(xr g(x)2=2 -(X - 1)3 的極值。2解：y = -3X(-3,)1（1,+處）y+y最大極值點(diǎn)亠T，X0 =1點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在，而函數(shù)有意義（x 作極大值：y （0 = 2二.試證明：如果函數(shù) y = ax3 + bx2 + CX + d滿足條件b2 - 3ac < 0，那末這函數(shù)沒(méi)有極值。2bx + C，由條件b2 - 3ac吒0，推出a工0,c工0,證明：y、3ax2 +y 為二次三項(xiàng)式，心-(2b )2 - 43a fc = 4(b2 - 3ac)< 0當(dāng)a > 0時(shí)，y>0,潛嚴(yán)），從而y（x）為單調(diào)增加當(dāng)a < 0時(shí)，y<0,XS-j

12、"），從而y（x ）為單調(diào)減少故無(wú)論對(duì)怎樣的y（x）在2嚴(yán)）總是單調(diào)的，y（x）在-）無(wú)極值。（1）討論f（x）在x = 0處的連續(xù)性。f x + 1 xZ二、設(shè) f（X）= （ x"lx X > 0,（2） X取何值時(shí)f（X）取得極值。lim （x+1）= 1Xt0 -limZX中丄e x解：（1）由連續(xù)的定義知:lim xXXT 0十I- xin X lim eXT 0十1lim+晉XT0+1lim Xxt0（-2）：X1-limx = 02 XT0所以xim異In xlim X衛(wèi)+丄XJ xim* f（x）=xm-f®而 f（0） = 1.所以 lim

13、 fM = lim f（x）= f（0）= 1XT 0XT 0所以f（X）在x = 0處連續(xù)（X > 0）要使g（x）取得極值 則必須使設(shè) h（x）= xIn x,1-要使gx）取得極值/X、r / I Xxl nxxin x在X > 0處取得極值.（2）設(shè) g（x）= X - eII則 h（X）= In X + 1, h（X）=則有 h'（x）h'（x）蘭 0，而 x> 0 所以 h''（x）= - > 0X11因此h（x）=lnx+1E0,所以In x蘭-1 x乞一. 所以當(dāng)x等于一eeX 時(shí)，xX取得極值，由于（x+1）、1 >

14、; 0即為單調(diào)增函數(shù) 所以只要X1取得極值即可。所以當(dāng)X等于e時(shí)f（X）取得極值。.利用函數(shù)的凹凸性，證明不等式xln X + y In y A(X +X + yy)lnh (XA0,y>0)解軍：設(shè) f (t)= tl nt, f (t )= I n t + 1,+ oC1由f(t)=t：>0知f (t )是上凹的,所以對(duì)任意X, y壬(0,+之)(XH r<即:四.解:IIyxy)f(X)+ f(y)xln X + yIn y(X + y)ln求函數(shù)yxXtx = t2,y = 3t + t3 的拐點(diǎn)。ytXt3+ 3t22t2t±1時(shí)，IIyx曰12lt丿3t

15、2T)_ 3(t TXt + 1)4t34t3=0,又當(dāng)t = 0時(shí)，y不存在但注意到t = 0時(shí)曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0,0）為邊界點(diǎn)，因?yàn)榍€上的橫坐標(biāo)都大于等于0，所以點(diǎn)（0,0）不能是拐點(diǎn)，故曲線上可能是拐點(diǎn)的點(diǎn)為t = 1時(shí)的點(diǎn)（1,4）及 t = -1時(shí)的點(diǎn)（1-4 ）,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證二者都是拐點(diǎn)。32五問(wèn)a及b為何值時(shí)，點(diǎn)（1,3）為曲線y=ax + bx的拐點(diǎn)?IQII解:y - 3ax + 2bx, y = 6ax + 2b = 6a x +r 工3a丿令 y =0 得 Xo =-bb廠，由于aH 0，在x。八一的領(lǐng)域內(nèi)，3a3aIIy 在X0的兩側(cè)變號(hào)，所以x。=b3a ，這時(shí)對(duì)應(yīng)的y

16、0"b2V 3a丿 V 3a丿2b327a2要使（1,3）為拐點(diǎn)，則r 3=1I a =-3a；2b3。解得：I .9=3b =匚27a3L 2六.設(shè)f（X）二階可導(dǎo)，若 lim若 XTO x，f(0)= 0,廠(x)> 0,證明：f （xp X。證明：由導(dǎo)數(shù)的定義：lim 通=lim 皿XTO XXTOX 0血Llim=f'=1EO X應(yīng)用麥克勞林公式將 f(X)展開(kāi)得:f(x) = f (0) +f (0)x + x2 + R2(x)2! 2因?yàn)?f (0) = 0,f"(x)>0 f'(0)=15所以 f(x)= X +2!+ R(e)3

17、X +SX 2!(2)設(shè) f (X)、g (X)互為反函數(shù)，f (X)- f (- X)，且均在(_oC,+K)上存在二階導(dǎo)數(shù)，于是(A 若 x> 0, f (X)>0,則 XV 0，f ( X)< 0 ；B 若 x> 0, f ( X)>0,則 x< 0，f ( X)> 0 ；c 若 f (X)> 0,則 g (X)> 0 ；D 若 f ( X)> 0,則 g (X)< 0 ；分析：依題意，f (X)為奇函數(shù)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)處 A正確，故取 A，而 函數(shù)曲線y二f (X)與曲線凸凹性相反，即二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，因此f (X

18、)、g (X)互為反函數(shù)的條件， (X)的凸性關(guān)系與其單調(diào)性相關(guān)， D做判斷。法對(duì)C,(5)在不明確單調(diào)性情況下， 無(wú)(X)在(1 - J1 +冷內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)， 廠(X)嚴(yán)格單調(diào)減少, =f' CD = Sx )。A.在(1- 5,和(1,1 + H 內(nèi)均有 f (X)<x ；且f (1B.在(1- 51 和(1,1 + 5)內(nèi)均有 f(X)>x ;C.在 (1 - 3,內(nèi)，f ( X) <x ,在(11 十 6)內(nèi)，f (X)>x ;D在(1-M 內(nèi)，f (X)>x，在(1,1+ 6)內(nèi)，f (X) <x。f(x),分析：由幾何直觀考慮，如圖，在 x = 1處，切線為y = X，且曲線y= f(x)上凸，從而知切線在曲線 y=