ch2導(dǎo)數(shù)與微分

1、高等數(shù)學(xué)教案第二章導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的:1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切 線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的 可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微 分。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù)。4、會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點：1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;

2、3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4、高階導(dǎo)數(shù)；6、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)難點：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§2. 1導(dǎo)數(shù)概念、引例1.直線運動的速度設(shè)一質(zhì)點在坐標軸上作非勻速運動、時刻t質(zhì)點的坐標為s、s是t的函數(shù):S=f (t )、求動點在時刻to的速度.考慮比值這個比值可認為是動點在時間間隔t-to內(nèi)的平均速度.如果時間間隔選較短r這個比值在實踐中也可用來說明動點在時刻to的速度.但這樣做是不精確的.更確地應(yīng)當這樣：令t 4取比值f(t)f(to)的極限.如果這個極限存在.設(shè)為V r即 t弋t=ot

3、 to這時就把這個極限值V稱為動點在時刻t 0的速度.2切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M、在點M外另取C上一點N .作割線MN 當點N沿曲線C趨于點M時.如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT*直線MT就稱 為曲線C有點M處的切線.設(shè)曲線C就是函數(shù)y-f(x)的圖形.現(xiàn)在要確定曲線在點M(xo, yo)(yo-f(xo)處的切線、只要定出切線的斜率就行了.為此、在點M外另取C上一點N(x, yb于是割線MN的斜率為t a _yyo _f(x)-f(xo)X-Kox-xo其中W為割線MN的傾角.當點N沿曲線C趨于點M時XTXD.如果當XT 0時*上式的極限存在.設(shè)為k .即存在、則此極限k是割

4、線斜率的極限、也就是切線的斜率.這里k=tan a、其中a是切線MT的傾角.于是、通過點M(xo, f(xo)且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點M、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個問題看出*非勻速直線運動的速度和切線的斜率都歸結(jié)為如下的極限：limfgfX)-30 X X。令心X =x-X0、則也y =f(x0 +也X)-f(X0)= f(x)-f(x0)、xt X0相當于 ixt 0、于是 lim f(x)-f (X0)XX0成為晟或曲心")定義 設(shè)函數(shù)y#(x)在點X0的某個鄰域內(nèi)有定義-當自變量X在X0處取得增量 心x(點X0松X仍在該鄰域內(nèi))時、相應(yīng)

5、地函數(shù)y取得增量Ay#(xo松x)-f(xo)；如果Ay與也X 之比當心XT 0時的極限存在、則稱函數(shù)y-f(x)在點X0處可導(dǎo)、并稱這個極限為函數(shù)y#(x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)r記為y'|x»即也可記為y|xKdydxJ、.也yf (xo+Ax)- f(x0)f(X0冗2護慳或fx)XzXodXXZS0第19頁共36頁函數(shù)f(x)在點X0處可導(dǎo)有時也說成f(x)在點X0具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在-導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式.常見的有flxoPiJZhlM hTf '(Xo) = lim f(x)f(x°)3X0X-Xo在實際中.需要討論各種具有不同意義的變量的變化“

6、快慢”問題 、在數(shù)學(xué)上就 是所謂函數(shù)的變化率問題.導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述如果極限f(xo +4 f(Xo)不存在r就說函數(shù)y=f(x)在點X0處不可導(dǎo).如果不可導(dǎo)的原因是由于 鸚f(X0+3f(Xo)" 也往往說函數(shù)y=f(x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導(dǎo)、就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)、 這時.對于任一 X引、都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值.這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)、這個函數(shù)叫做原來函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)、記作/ f(x)、dx、或警導(dǎo)函數(shù)的定義式：= limT hf(x+£x)-f(x)f(X +h)

7、-f(X)f (xo)與f '(X)之間的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)f '(X)就是導(dǎo)函數(shù)f '(X)在點x=xo處的函數(shù)值、即導(dǎo)函數(shù)fX)簡稱導(dǎo)數(shù)*而f(X0)是f(x)在X0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)fX)在X0處的值.左右導(dǎo)數(shù)：所列極限存在、則定義f(x)在 Xo 的左導(dǎo)數(shù)：口Xo)=lim f(Xo +2-5)； hThf(Xo+h)f(Xo)f(x)在Xo的右導(dǎo)數(shù)：珥冷)=怨+ h如果極限f(XOf(X0)存在、則稱此極限值為函數(shù)在X0的左導(dǎo)數(shù).如果極限lim f(Xo加)f(Xo)存在、則稱此極限值為函數(shù)在hX0的右導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:f (X0)=Af

8、 丄滄)nf/x。) =A .2 求導(dǎo)數(shù)舉例例1.求函數(shù)f(x)=C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).f(x+h) f(x)解：f(x)料 h=lim C嚴=0 . hT h即(C )'=0.例2.求f(x)J的導(dǎo)數(shù).Xf(x+h)f(x)x+hX解啊亍嚴器十弋0虛-甄X +h)xX2f (x+h) -f(X)例3.求f(x)=VX的導(dǎo)數(shù).解： f(X)=lim_=limhThwoh=lim t亍=lim /_尸=亍 .hT h( Jx +h ) hT Vx +h Mx 2Jx例2.求函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))在 x=a處的導(dǎo)數(shù).f(X)-f (a)xn-an/ n_Jn_2.nJ_ =li

9、m =|im (x+ax+ ” 七)=na換成 x 得 f (x)=nxn二 即(xnV=nxn £ . (Vx)'=丄 * (xW=4xZ .x-ax-aT把以上結(jié)果中的a（C）7.（y=_x2 's -莎更一般地，有，其中H為常數(shù). 例3.求函數(shù)f（x）=sin x的導(dǎo)數(shù).解：f，（x） =lim f（xMf（x）=lim sin（X 加）-sin xh_0hM01hh=lim '2 cos(x +)sin - Th22h sin2=lim cos(x+h) =cosx . M02 h2即（sin x）'=cos x .用類似的方法、可求得（cos

10、 x ）'=sin x .例4 .求函數(shù)f(x)=aX(a>0、a H1)的導(dǎo)數(shù). 解：f (x) =lim gfl =lim 噲?zhí)m、'hThhTh=ax lim a 1 令ah -1 =t axlimT htTloga(1+t)1=ax=axlna .logae特別地有(ex)=ex.例 5.求函數(shù) f(x)=logax (a>0、aH1)的導(dǎo)數(shù). 解：f(x)Him f(x+h)-f(x)=lim loga(x+h)-logaX 時hThT=lim h loga(呼)W 忸hloga(1 +£) =2limloga(1 +護1 1=xloga"

11、;亦解f（姑忸3嚴Timo沁adf）丈聖叭(計Uge沽.特殊地(ln)W.1(gxy Qnx)，3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)：極限 lim f(x+h)-f(x)M0_1X存在的充分必要條件是般半嚴!及般+f(x+hh-f(x)都存在且相等.f(x)在 X0處的左導(dǎo)數(shù)：口翊“口 _f(x+h)-f(x)hT f(x)在x0處的右導(dǎo)數(shù)心)習(xí)(xh")導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點X0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f'4xo)和右導(dǎo)數(shù)f *xo)都存如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)、且右導(dǎo)數(shù)f軟a)和左導(dǎo)數(shù)f '_(b)都存在、就 說f(x)有閉區(qū)間a, b上可導(dǎo).

12、例6.求函數(shù)f(x)Tx|在x=0處的導(dǎo)數(shù).解口叱im嚴嚴譜驢"q0)=lim+f(0+h)f(0)=lim 嚴兒h-o+hT+h因為f '_(0)H f 40b所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo).四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)f '(xo)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(xo, f(xo)處的切 線的斜率.即f(X o)=ta n g 、其中a是切線的傾角.如果y=f(x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大、這時曲線y=f(x)的割線以垂直于X軸的直 線x=xo為極限位置，即曲線y=f(x)在點M(xo, f(xo)處具有垂直于x軸的切線x=xo

13、.:由直線的點斜式方程、可知曲線yfx)在點M(X0, yo)處的切線方程為y-yo=f lxo)(x-xo)過切點M(xo, yo)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點M處的法線如果 f (xo)#o、法線的斜率為一4 *從而法線方程為f (xo)1yy°STK)(xF例8.求等邊雙曲線y在點(+，2)處的切線的斜率.并寫出在該點處的切線方x2程和法線方程.解山三、所求切線及法線的斜率分別為ki VZ"k2 吩三所求切線方程為y-2=Y(x-2)、即4x+y-4=o.所求法線方程為y-2=拆-1)、即2x£y+15O例9求曲線y=x/x的通過點(o、Y)的

14、切線方程解設(shè)切點的橫坐標為xo則切線的斜率為331f (xo)%2)丄 3 x2于是所求切線的方程可設(shè)為y Xo ''x0 =3xo(xo).根據(jù)題目要求、點(0、4)在切線上、因此二一xojx0=2/xO(O_xo),解之得XoM .于是所求切線的方程為y*4=|74(x*)即 3x-y-4=O四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y#(x)在點X0處可導(dǎo)-即 =f '(x0)存在.貝Ulim 勾=lim 黑& = lim 孕 dim Ax= f "(xj 0 =0 . Z氐X氐X E這就是說.函數(shù)y=f(x)在點X0處是連續(xù)的.所以、如果函數(shù)y=f(

15、x)在點X處可導(dǎo)、則函 數(shù)在該點必連續(xù).另一方面.一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點處可導(dǎo).例7.函數(shù)f(x)=VX在區(qū)間(,+ )內(nèi)連續(xù)、但在點x=0處不可導(dǎo).這是因為函數(shù)在點x=O處導(dǎo)數(shù)為無窮大lim f(0+h)-f(0)=iim 辰= hThhTh§2 2-He *函數(shù)_ 一的求導(dǎo)法則x、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點x具有導(dǎo)數(shù)、那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導(dǎo)數(shù)并且u(x)如(X) W(x)切(X) u(x) v(x) '=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)(u(x)ILu(x)

16、v(x)u(x)v(x) llv(x)v2(x)證明(1)u(x) ±v(x)丄四u(x 卄卅嗆卄)4u(x)±v(x)甲(x+h)_u(x) v(x 加)_v(x).I hh J 丿 丿法則(1)可簡單地表示為(u±v)'=u'：v/Cr /、/ M- I- u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)u(x) v(x) dim0 ' 丿' 丿 八丿=四 hu(x +h)v(x +h) _u(x)v(x +h) + u(x)v(x+h) -u(x)v(x)u（x+h）-u（x）v（x 加）+u（x）v（x 畀-v（x）lim v(x

17、+h)+ u(x) lim * +小-嗆)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).其中l(wèi)im v(x州)=V(X)是由于v'(x)存在、故v(x)在點x連續(xù).法則(2)可簡單地表示為(uv)'=u v+uvlu(x+h) u(x)(3) 腆日im u(x加)：(瓷呎：&+6W(x)hThhTv(x+ h)v(x)h=lim u(x+h)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h) v(x) hmov(x +h)v(x)hu(x+h)-u(x)v(x) u(x) v(x+ h)-v(x) hmov(x + h)v(x)u (x)v(x) u(x)v(x)法則

18、（3）可簡單地表示為(u：)T切、(uv)Fv+uvl (uuuvv2定理1中的法則 、（2）可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形例如 設(shè)u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導(dǎo)則有(uvwy =( uv)wp=(uv) W+( uv)w*= (u v切v)w+uvw'=u vw+uv'w+uvwl(uvw) =u'vw+uvw+u vwl在法則中 如果v=C(C為常數(shù)八則有(Cu)寶u.32例 1. y=2x -5x +3x-7* 求 y解:/<2x 35x 2+3x7)，=(2x 3廠(5x 2)飛3x)i( 7丫=2 (x 3/- 5( x 2/ + 3

19、x)2 2=2 3x -5 2x+3=6x -10x+3.例 2 . f(X)=x3 +4COSX -sin 2 * 求 f (x)及 f '(號)解：f (x) Nx3) '+(4cosx) '(sin -2=3x4sin x、例 3. y=eX(sin x+cos x),求 y'.xx解：ye ) (sin x+cos x) + e (sin x+cos x)'=ex(sin x+cos x)+ ex (cos x -sin x)O x=2e cos x.例 4. yPan x 、求 y'.cos2x解：y Nan x)'=(沁f =

20、(血"cosxFnXcosx)' cosx=cos2x：sin 2x=t 壬egx . cos2 xcos2 x即(tan X) 書ecx .例 5. y=secx* 求 yl解：yMsecx)=(丄)1 0-2 (cosx)'=secx tan x .cos Xcos2 Xcos2 X即(sec x)yec x tan x .用類似方法.還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：2(cot x) -csc X 、(csc x) -csc X cot X .、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間ly內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f'(y片0,那么它的反函數(shù)'

21、(X)在對應(yīng)區(qū)間lx=x|x=f(y)療ly內(nèi)也可導(dǎo)r并且簡要證明：由于x=f(y)在I y內(nèi)單調(diào)、 v(x)存在且f'(x)在lx內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)任取X引X 給x以增量也xQx丸或dy或 dx dxdy可導(dǎo)(從而連續(xù)) 所以x=f(y)的反函數(shù)1x+Ax引X)由y=f(X)的單調(diào)性可知y=f_J_4y=f(x+Ax)-f (x)HO于是3=1bxAx因為y#'(x)連續(xù) 故 lim人y=0.x 30從而例 6.設(shè) x=sin y上述結(jié)論可簡單地說成反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)y-寺"2】為直接函數(shù)則y=arcsin x是它的反函數(shù)數(shù)x=sin y在開區(qū)間(-亍，

22、自內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo) 且(si n yjNos y>0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對應(yīng)區(qū)間lx=(-11)內(nèi)有/ "11 1 1(arc s() n" , f_If 2(siyj coy d1_siny 占-x2類似地有：(arccosx)丄一=X=1 x2例7.設(shè)xrnan y用一，今)為直接函數(shù)則y=arctan x是它的反函數(shù)函 數(shù)x=tan y在區(qū)間(_今歲內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo) 且2(tan y) Wee y 丸因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對應(yīng)區(qū)間lx=(二址)內(nèi)有(arCtxa'n(tayrseCy1+1 a ny 1+x2 '類似地有：(arccot.1+x2例

23、8設(shè)x=ay(a>0a h1)為直接函數(shù)在區(qū)間|y=(二母)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且(ay) %y In a 丸因此 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則 在對應(yīng)區(qū)間(logaX)'= 11則y=loga X是它的反函數(shù)函數(shù)x=ayI x=(0+=)內(nèi)有11111(ay)' aylna xina到目前為止*所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來了*那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)Intan x、e"、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3如果u=g(x)在點x可導(dǎo)、函數(shù)y=f(u)在點u=g(x)可導(dǎo)、則復(fù)合函數(shù)y=fg(x) 在點x可導(dǎo)、且其導(dǎo)數(shù)為譽f(u)g

24、(x)或?qū)W乎驢. dxdx du dx證明：當u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時、y=f®(x)也是常數(shù).此時導(dǎo)數(shù)為零.結(jié) 論自然成立當u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時 Qu心此時有® _f g(x中3 -f g(x)二fg(x+&) -f g(x) g(x+Ax)-g(x)&&g(x+也x)-g(x)人X高等數(shù)學(xué)教案二 f(u + Au) -f (u) g(x +&)-g(x)史= limdx 馭 A-30簡要證明：im =lim dx 心0右x 送卡知f(u 弋(u)g(xpz(x) = f'(u)g'(x)Ax=芻

25、蠱Jim4H(u)g(x)函數(shù)ywx3可看作是由uy=eu=x3復(fù)合而成的因此dy _dy dx du dx理=eu3x2 =3x2ex310 gn帛是由y=sin u1 +x2因此業(yè)妙理=cosu 2(1+x2)-(2x)2 dx du dx(1+x2)2對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后例 11. lnsin X、求歲.dx_2(1-x2) co亠(1+x2)21+x2、就不必再寫出中間變量.解：S勿sinx)'金(sinx)1 cosx=cotx . sin x例 12. y2x2 .求學(xué).dx. 1 2解：器斗(1-2x2)3丄1(12x2)P (1-2x2)'=Yxdx333

26、/(1 -2x2)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個中間變量的情形(V)v= (x)則dy jdy型=業(yè)如”dvdx du dx du dv dx例如 設(shè)y=f(u)u=例13.汁込(幼求J解：dx "In cos(ex)'=c0；eX) cos(ex)'第15頁共36頁-cos*(ex) -sin(ex) (ex-ext ateO . 例14.'求器角軍；dy =(esinx/=esinx (sin丄)'=esinx cos-(丄)'=一2 e dxXXXX2例15設(shè)x>0證明幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式解因為X =(e ln x) w ln x所

27、以(x )'=(eln x)' = eln x(In x)'=esin二1 X(X r=1cos-.XJIn X四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (60(2) (xKx巴(3) (s in x)'=cos x、(4) (cos x)'Kin X、2(5) (ta n x)'=secx.2(6) (cot X) Tsc X、(7) (sec X) 書ec x tan x、(8) (csc X) rsc X cot X r(9) (ax)%x In a,(10) (eX)WX、(11)(l0gaX)'T(12)(In

28、x).-,X(13)(arcsin x)，=1(14)(arccosx) =# 1占x2(15)(arcta-(16)(arccot x)=-去-2. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x) *v=v(x)都可導(dǎo)-則(1)(u ±v)'M±<(C u)寶u(3)(u v)'*v+u v字*3. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則1設(shè)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f Xy>則它的反函數(shù)y=f (x)在lx=f(ly)內(nèi)也 可導(dǎo).并且或2喘xdy4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(x) '而u=g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo)、則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)

29、的導(dǎo)數(shù)為篇喘 dxu 或 y(x)f(u)g'(x).例16 .求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù).解：因為sh X =2-e)、所以(s hx)，=1(ex -ey=2(ex +e)=c hx ”即(sh x)'=ch x.類似地.有(ch x)'=sh x.例17.求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù).解：因為th x¥ '所以ch x(th x)-ch2xvh2xch2x例18.求反雙曲正弦=1ch2x 'arsh x的導(dǎo)數(shù).解：因為arsh xHn(x+訥 +x2)-所以(arsx)'說虧由 arch x=ln(x + Jx2 -1)、可得(arch

30、 x)'= / 1.Vx2 T高等數(shù)學(xué)教案由arth 巳可得的h xTTx2類似地可得（arch X）丄為、（arth "匕例 19. y=sin nxsinnx (n 為常數(shù))、求 yl解:y<sin nx)innx + sinnx - (sinnx)， n n_J=ncos nx sin x+sin nx -n - sin x (sin x )=ncos nx sin x+n sin x - cos x =n sin x - sin(n+1)x .§2. 3高階導(dǎo)數(shù)一般地、函數(shù)y-f（x）的導(dǎo)數(shù)yf '（X）仍然是x的函數(shù).我們把y-f '

31、（X）的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)yh（x）的二階導(dǎo)數(shù)r記作y"、f"（x）或ddx2即 yF）f（x）f（xd>ddx（孰相應(yīng)地 '把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類似地'二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)*叫做三階導(dǎo)數(shù)*三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)一般地* (n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)'分別記作八y7或界歙dnydx第41頁共36頁函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù).也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo).如果函數(shù)f(x)在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)、那么函數(shù)f(x)在點x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù).階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)y稱為一階導(dǎo)數(shù) W'

32、rjyS)都稱為高階導(dǎo)數(shù).例 1. y=ax +b、求 y”.解：yy yrn.例2. s=sin仁求s".2解：sF cos eo t 刖 Y sin c t .例3 .證明：函數(shù)y =J2xx2滿足關(guān)系式y(tǒng) 3廠+1=0.證明：因為yM層廠是2、一2 一0 一x)2鳥;二2 _ Zx+x2-(1-X)2y -2xx2(2xx2)J(2xX2) 1(2x-x2py所以 y 3y'F=0.y=ex 的 nx=e例4 .求函數(shù)解 yd ynx yE一般地、可得y(性.即(ex)(n) .例5.求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).解：y=sin X./=c o x=s i nxy).

33、y "=c 0 s<(+-歲)=s i nx什號 +歲=s i rx('2 號),y J 0 5x(-2 '2)=s i rx什2 .2 +_2s i nx什3 -2) *y(4) =c 0 s<e3 ”2)=s i nx削 號)、一般地.可得y®) =s i rx(+n 今)-即(sinx)®) =sin(x +n 歲-用類似方法、可得(COSX)®) =cos(x +n歲例6.求對函數(shù)In(1+x)的n階導(dǎo)數(shù) 解：yTn(1+x)yN1+x)廠之1+x)3y“n-1)(-2)(1 +x)'化(-1)(-2)(-3)

34、(1 +x)巴n(n 7)!(1+x)n一般地.可得y(n)=(-1)(-2)(廿1)(1 故)1)In(1+x)=(-例6.求幕函數(shù)y=x4岸是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式.解:y7x巴y，(4_1)x4 y 性出 P_1)(P_2)XZ、y ( 4)=4(卩-1)(卩-2)(卩-3)x4'一般地、可得y(n)(A-1)(4-2)(卩-n+1)x 也、 (xyn) =4(41)(42)(4n+1)xZ當卩=n時.得到(xn)(n)=比 41)(4_2)3 ” 2 dn!.如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)、那么顯然函數(shù)u(x) v(x)也在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)*且(u

35、v)(n)Jn)+v(n) (uv)'=uV+uv' (uv)''=u"v+2u V 切V J (uv)'''=ir'v+3u"v'七uVFv"'、用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n(uv)(n) =2 CkuZv*)、kz0這一公式稱為萊布尼茨公式.例 8. y=x2e2x” 求 y(20) 解：設(shè) e2x ;v=x2、貝U(u)忙2ke2x(k=1,2,20). v=2x "=2 . (v)(k) =0 (k=3, 4,20)、代入萊布尼茨公式.得y(20quv)(2020)v+C

36、201ugv 弋 202嚴 V小20 2x 2 丄cc J9 2x c 丄201918 2x 小=2 e x +20 - 2 e 2x+0192 e ”2 2!=220e2x(X2+20x5).§2. 4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)：形如y=f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù).例如y=sin x ry=ln X'+ex.隱函數(shù)：由方程F(xy)=O所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).例如、方程xW3 -1=0確定的隱函數(shù)為y y=g .如果在方程F(x、y)=O中、當x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時.相應(yīng)地總有滿足這方程的 唯一的y值存在、那么就說方程F(x、y)

37、=O在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù).把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù).叫做隱函數(shù)的顯化.隱函數(shù)的顯化有時是有困難的 甚至是不可能的.但在實際問題中.有時需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此*我們希望有 一種方法、不管隱函數(shù)能否顯化、都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來例1.求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).解：把方程兩邊的每一項對x求導(dǎo)數(shù)得(ey)違xy)re)no ey.從而y丄-壬 (x+ey0).x+ey例2.求由方程y5+2y-x-3x7=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)在 x=0處的導(dǎo)數(shù)y "k=o -解：把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)得5yy'yT21x 6=0、-1+21X

38、6由此得y丄匕半.5y4 +2因為當X乂時*從原方程得y=0*所以yi _1 +21X6 I =1y Ix- 5y4+2 - 2例3.求橢圓在（2, |V3）處的切線方程.1692解：把橢圓方程的兩邊分別對X求導(dǎo)、得疋y y丄0 -當x=2時、汽屈,代入上式得所求切線的斜率所求的切線方程為y 373 =-（x-2）、即 J3x+4y-8/3=0 . 24解：把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo)、得+2y9X8將.代入上式得2于是k子'k=2 = '34y_3 心沖（x 一2）、即 U3x+4y -873=0 .例4.求由方程X-廠護ny=0所確定的隱函數(shù)y 的二階導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊對X求

39、導(dǎo) '得所求的切線方程為-dx+R 裁于是 色dx 2-cos y上式兩邊再對x求導(dǎo)、得d2y-2siny'Vinydx2(2-cosy)2(2-cosy)3 '對數(shù)求導(dǎo)法：這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對數(shù)、然后再求出y的導(dǎo)數(shù).設(shè)y=f(x) '兩邊取對數(shù).得In y = In f(x)、兩邊對x求導(dǎo).得丄 y'HIn f(x)r . yy=f(x) In f(x)l對數(shù)求導(dǎo)法適用于求幕指函數(shù)y珂u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之 積和商的導(dǎo)數(shù).例5.求yn sin x (x>0)的導(dǎo)數(shù).解法一：兩邊取對數(shù)*得In y=sin x - In x

40、.上式兩邊對x求導(dǎo)、得y'=cosxlnx+sinx 丄- yx=xsinx(cosx In X.x于是y'=y(cosx Inx+sinx1)x解法二：這種幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求sin x sin x In xym=er=esinx Inx(sin x In x/=xsinx(cosx 怕 sinx).x例6.求函數(shù)yjg)(X-2)的導(dǎo)數(shù).V(x ,)(x3)解：先在兩邊取對數(shù)(假定x>4) *得In y 冷In(x1)+1 n(x2)In(x3)-1 n(x4).上式兩邊對x求導(dǎo)、得于是y號(肖£匕-古 當x<1時4(希g ；當2<x

41、<3時"磴1活；用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果.注：嚴格來說*本題應(yīng)分x>4、x<1、2<x<:3三種情況討論、但結(jié)果都是一樣的.、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程/彳滬)確定的.則稱此函數(shù)關(guān)系所表達的函ly =屮 數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).在實際問題中.需要計算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但從參數(shù)方程中消 去參數(shù)t有時會有困難.因此r我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確 定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).設(shè)x=®(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=w4(x)、且此反函數(shù)能與函數(shù)y=W(t)構(gòu)成復(fù)合函 數(shù)尸屮®4(x) b

42、若x/(t)和尸屮(t)都可導(dǎo)、則dy型電=業(yè)”丄上也 dx dt dx dt dx ®'(t) ' dtdy業(yè)=也或dy=-dL dx 珂t)或 dx dxdt若5)和Tt)都可導(dǎo)、則驚韶.例7.求橢圓jacost在相應(yīng)于t#點處的切線方程. jy =bsi nt4解：業(yè) JbsinLjcost =_bcott .dx (acost)' -asi nta所求切線的斜率為 學(xué)山=上.dx '4a切點的坐標為 Xq =acos=a r y。=bsin 弓=b424切線方程為y畤一bz級即bx+ay ab =0.例8.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為X Fty

43、=V2t1+2 '求拋射體在時刻t的運動速度 列2的大小和方向.V2t -g t 2 解：先求速度的大小.速度的水平分量與鉛直分量分別為X '(t)=vi y(t)=V2gt*所以拋射體在時刻t的運動速度的大小為v=x(t)2+y(t)2 =丿訝七2-gt)2 .再求速度的方向.設(shè)Ct是切線的傾角、則軌道的切線方向為tan "業(yè)沖占! dx X (t)V|已知x=®(t), y=(t)、如何求二階導(dǎo)數(shù)y"?由x/(t)*業(yè)眷、dx (t)必二(dy.dL(tl)世 dx2 dx(dx) dt(® (t) dx屮 ”(t/P(t)亠(tM“

44、(t) 1-半 3(t)-例9.計算由擺線的參數(shù)方程nt)所確定y =a(1 -cost)的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù).解：喘盟=鴿噸0 2n"為整數(shù)).寫（史）=d（cot丄）.蟲dx2 dx'dx，dt'2 dx2 adcosy-a（1-Cost）2 （t2nJn 為整數(shù)）-2三、相關(guān)變化率設(shè)xn(t)及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù)而變量x與y間存在某種關(guān)系從而變化率竽與dy間也存在一定關(guān)系這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率dt dt化率問題就是研究這兩個變化率之間的關(guān)系變化率相關(guān)變以便從其中一個變化率求出另一個例10 一氣球從離開觀察員500f處離地面鉛直上升其速

45、度為當氣球高度為500m時觀察員視線的仰角增加率是多少？解 設(shè)氣球上升t(秒)后其高度為h觀察員視線的仰角為140m/mi n（分）ta唸其中及h都是時間t的函數(shù)上式兩邊對t求導(dǎo) 得sec2a業(yè)=丄.塑dt 500 dt已知字=40(米/秒)又當h=500(米)時tan=1dtsec=2代入上式2躋說140所以聲疇44(弧度/秒)即觀察員視線的仰角增加率是每秒 014弧度§ 5函數(shù)的微分、微分的定義引例函數(shù)增量的計算及增量的構(gòu)成.一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響、其邊長由X0變到X0+心X、問此薄片的面 積改變了多少?設(shè)此正方形的邊長為X、面積為A則A是X的函數(shù)：A=x2.金屬薄片

46、的面積改變 量為AA=(xo松x)2(xo)2 =2xoAx +(Ax)2 .2幾何意義：2xo心X表示兩個長為X0寬為Ax的長方形面積；(Ax)表示邊長為Ax的正 方形的面積.數(shù)學(xué)意義：當Ax0時、(X)2是比心X高階的無窮小*即(3)2=0(心刈；2x必X是Ax的線性函數(shù)、是AA的主要部分、可以近似地代替 4定義 設(shè)函數(shù)yh(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義、xo及X0+人X在這區(qū)間內(nèi)、如果函數(shù)的增量y =f(xo 松 X)f(Xo)可表示為y=AAx+o(Ax)、其中A是不依賴于Ax的常數(shù)、那么稱函數(shù)y=f(x)在點X0是可微的、而A衛(wèi)X叫做函數(shù)y甘(X)在點X0相應(yīng)于自變量增量Ax的微分、記作dy

47、、即函數(shù)可微的條件：函數(shù)f(x)在點X0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點X0可導(dǎo). 且當函數(shù)f(x)在點X0可微時.其微分一定是dy=f '(xo)Ax.證明：設(shè)函數(shù)f(x)在點X0可微、則按定義有Ay=Ax+o(Ax)、上式兩邊除以也X、得Ay _A+oSx)于是、當人X0時、由上式就得到因此-如果函數(shù)f(x)在點X0可微 '則f(x)在點X0也一定可導(dǎo)、且A=f '(X0).反之、如果f(x)在點X0可導(dǎo)、即存在、根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系、上式可寫成其中a0(當Ax0)、且A=f(Xo)是常數(shù) 衛(wèi)也x p(Ax).由此又有辿=f '(X0)心x+a心X .

48、因且fX0)不依賴于& .故上式相當于Ay=AAx+o(心X)、所以f(x)在點X0也是可導(dǎo)的.簡要證明：一方面紉=A& +oQx)= 寮A+智二耙熄=f(x0)=A .別一方面螞魯=f (xo)=魯=f(Xo)= 3 = £ '(x0)zixPAx .以微分dy近似代替函數(shù)增量Ay的合理性：當f -(X0)0時、有螞詈羽f撫XfX)芻奢-y=dy+o(d y).結(jié)論：在f '(X0)0的條件下r以微分dy=f '(X0)也X近似代替增量也y=f(xo+Ax)-f(xo)時、其誤差為o(dy) 因此 在似很小時有近似等式函數(shù)y#(x)在任意點X

49、的微分r稱為函數(shù)的微分-記作dy或d f(x),即dy=f '(x)Ax、例如 d cos X =(cos x)/x=-s in xx de=(exy x=ex . 例1求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分.解函數(shù)y=x2在x=1處的微分為dy=(x2)'|xT 也 x=2X；函數(shù)ym2在x=3處的微分為dy=(x2)'k=3Ax=6Ax .例2.求函數(shù)y=x3當x=2x=0. 02時的微分.解：先求函數(shù)在任意點x的微分32dy=(x3y&=3x2人X .再求函數(shù)當x=2上x=0. 02時的微分2 2dy|x=2 衛(wèi)=0.02 =3x | Xz2,杏=0.02

50、 =3x2 X0.02=0.24.自變量的微分：因為當y和時rdy=dx=(x)/x=Ax*所以通常把自變量x的增量 x稱為自變量的微分*記作dx*即dx=Ax.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f '(x)dx.從而有黔嘰 這就是說、函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此、導(dǎo)數(shù)也 叫做“微商”.二、微分的幾何意義 當Ay是曲線y=f(x)上的點的縱坐標的增量時.dy就是曲線的切線上點縱坐標的相應(yīng) 增量.當|Ax|很小時.陽-dy|比趙|小得多.因此在點M的鄰近.我們可以用切線段來 近似代替曲線段.三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則從函數(shù)的微分的表達式d

51、y 斗 x)dx可以看出、要計算函數(shù)的微分、只要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、再乘以自變量的微分.因此、 可得如果下的微分公式和微分運算法則1 基本初等函數(shù)的微分公式微分公式：d &5七'®導(dǎo)數(shù)公式：(x )(sin x)Nos x (cos x) -sin x (ta n x)，=sec2 x2(cot x) -csc xd (sin x)=cos xd x d (cos x)=-sin xd x2d (tan x)=sec xd x2d (cot x)=-csc x d x(sec X)Wee x tan xd (sec X)=secx tan x d x(esc x) -cs

52、c x cot xd (csc x)=-csc x cot xd x(ax)yxl n a彳 Xx x(e )w(log a X) xln ad (ax >axln ad x d (ex)=exdx1d(logax71；dx(ln xf=lxd(l nx)=ldxx(arcsin x)=1X21d(arcsinx)= . dx(arccosx)_ 1-x21 d(arccosx) =. dx V1x2(arcta n x)=11+x21d (arctan x) =' dx1+x2(arccot x)11+x21d(arccotx)=1pxidx2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)

53、法則：(u±v)d(u±v)=du±dv(Cu)'a 'd(Cu)=Cdu(u v) '=u V+uv'd(u v)=vdu+udv(滬忖(Sd(uvdu_-udvdx(0)證明乘積的微分法則： 根據(jù)函數(shù)微分的表達式d(uv)=(uv)'dx.再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則、有(uvY=u'v+uv'.于是guvTuv+uvjdxRvdx+uv'dx.由于 u'dx=du *v'dx=dv* 所以 d(uyvdu+udv.3.復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y=f(u)及u/(x)都可導(dǎo)、則復(fù)合函數(shù)y=f&

54、#174;(x)的微分為dy=yldx=f'(U)3(X)dx.于由W'(x)dx=du、所以、復(fù)合函數(shù)y司玖X)的微分公式也可以寫成dy=f '(u)du 或 dyyUdu.由此可見r無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù).微分形式d尸f '(u)du保持不變這一性質(zhì)稱為 微分形式不變性這性質(zhì)表示.當變換自變量時.微分形式d尸f'(u)du并不改變.例 3. y=sin(2x+1)、求 dy.解：把2x+1看成中間變量u、則dy P(sin u) =cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1) 2dx=2cos(2x+1)dx.在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時r可以不寫出中間變量.例 4 .y =1 n(1 +ex2)、求 dy 高等數(shù)學(xué)教案解：dy=dln(W2)詔尹仆x2)'X22xeX'X2例 5. y=e1"Xcos x、求 dy.解：應(yīng)用積的微分法則、得dy =d(e1 3xcos x) =cos xd(e1 3xe1 3xd(cos x) =(cos x)e1 S(