一元二次方程的解法3

1、元二次方程的解法3.解答題（共25小題）1.解方程：(1) 5工-4 _§上+10 - 1X-2 31-6(2) 4x (X-3) =X2 - 92.解下列方程:(1)(2X+3) 2-81=0;(2)x2+2x- 399=0;(配方法)(3)3x (X- 1) =2x- 2;X2 - 2x- 1=0.3三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6和8,第三邊長(zhǎng)是方程X2-7x+10=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根.求該三角形的周長(zhǎng).4.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?1)x2+5=W(2)2x2+5x - 3=0 (配方法)(3)2 (y- 3) 2=y2 - 9(m-2) (3m - 5) =15.解方程:(1) x2+2x=2

2、(2) 4 (3x- 2) (x+1) =3x+36.解方程:(1) 2x2- 4x- 1=0 (配方法)(2) (x+1) 2=6x+67.小明在解方程X2- 2x- 1=0時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，其解答過程如下:（第一步）X2 - 2x+1 = - 1+1（第二步）(X- 1) 2=0（第三步）X1=X2=1（第四步）（1）小明解答過程是從第_步開始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是第1頁(yè)（共25頁(yè)）（2）請(qǐng)寫出此題正確的解答過程.8.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1) X2 - 5x+1=0(2) 3 (X-2) 2=x (X-2)(3) (y+2) 2= (3y- 1) 2 .9.閱讀：將代數(shù)式x2+2x+3轉(zhuǎn)化

3、為(x+m) 2+k的形式，(期中m，k為常數(shù))，則 x2+2x+3=x2+2x+1 - 1+3= (X+1) 2+2,其中 m=1, k=2.（1） 仿照此法將代數(shù)式x2+6x+15化為（x+m） 2+k的形式，并指出m, k的值.（2）若代數(shù)式X2- 6x+a可化為（X- b） 2 - 1的形式，求b- a的值.10.用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題.例如：因?yàn)閍2>0,所以a2+1就有最小值1,即a2+1> 1,只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值1.同樣，因?yàn)?吐0，所以-a2+1有最大值1,即-a2+1 < 1,只有在a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式

4、子的最大值1.(1)當(dāng) x=時(shí)，代數(shù)式（x+2）2 - 3有最（填寫大或?。┲禐?2)當(dāng) x=（填寫大或?。┲禐闀r(shí)，代數(shù)式-2x2+4x+3有最（3）矩形花園的一面靠墻，圍成花園的柵欄總長(zhǎng)度是16m，當(dāng)花園與墻平行的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？（提示：可設(shè)與墻垂直的邊長(zhǎng)為X，用含X的代數(shù)式表示花園的面積）11.設(shè)代數(shù)式2x2+4x- 3=M，用配方法說明無論X取何值，M總不小于一定值, 并求出該定值.12.按要求解方程.(1)（3x+2） 2=24 （直接開方法）3x2- 1=4x(公式法)(2X+1) 2=3 (2X+1)(因式分解法)X2 - 2x- 399=0(配方法)

5、13.試說明不論X, y取何值，代數(shù)式x2+y2+6x-4y+15的值總是正數(shù).14. 先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題. 第2頁(yè)（共25頁(yè)）求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值.解：y2+4y+8=y2+4y+4+4= (y+2) 2+4v( y+2) 2>0,( y+2) 2+4>4y2+4y+8的最小值是4.(1)求代數(shù)式m2+m+1的最小值;(2)求代數(shù)式4 - x2+2x的最大值.15. 按要求解一元二次方程:(1)4x2- 8x+1=0 (配方法)(2)(X+1) (x+2) =2x+4(3)2x2 - 10x=3第7頁(yè)(共25頁(yè))(4) 3y2+4y+1=0.16

6、.已知 la-1 |+7b+2=0,求一元二次方程 bx2- x+a=0 的解.17.對(duì)于實(shí)數(shù)a, b,我們定義一種運(yùn)算 ”為：b=a2- ab,例如丨3=12 - 1X 3=- 2.(1) 計(jì)算(-2)探4;(2) 若x4=0,求X的值.18.配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來解決很多問題.例如：因?yàn)?a2>0,所以3a2- 1 >- 1,即：3a2- 1就有最小值-1.只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值-1.同樣,即：-3a2+1就有最大值1,只有當(dāng)a=0時(shí),時(shí)，代數(shù)式-2 (X+1) 2 - 1因?yàn)?3a2< 0.所以-3a2+1 < 1,才能得到

7、這個(gè)式子的最大值1.(1)當(dāng) x=有最值(填大”或小”值(2)當(dāng) x=時(shí)，代數(shù)式 2x2+4x+1有最值(填大”或小”值(3)矩形自行車場(chǎng)地ABCD邊靠墻(墻長(zhǎng)10m),在AB和BC邊各開一個(gè)1米寬的小門(不用木板)，現(xiàn)有14m長(zhǎng)的木板圍成此矩形場(chǎng)地，當(dāng) AD長(zhǎng)為多少時(shí)，自行車場(chǎng)地的面積最大？最大面積是多少?19 .用因式分解法解下列關(guān)于X的方程(1)-5xX224 (X+3) 2-(X- 2) 2=0.2X2 - ax" - b2=04(4)abX2 -(a2+b2) x+ab=0. (ab 0) 20.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1) 4x2- 3x- 1=0 (用配方法);(2)

8、 5X2- 2血女+3=0.21.已知a b、c是 ABC的三條邊長(zhǎng)，若x=- 1為關(guān)于x的一元二次方程(c-b) X2- 2 (b- a) x+ (a- b) =0 的根.(1) ABC是等腰三角形嗎？ ABC是等邊三角形嗎？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明；(2) 若代數(shù)式子氐有意義，且b為方程y2-8y+15=0的根，求 ABC的周長(zhǎng).22.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算 ”，其法則為：b=4ab,例如：2探6=4X2X6=48.(1) 求3探7的值；(2)求xx+8X+2探8=0中x的值.23. 用適當(dāng)方法解下列方程(1)(2x 5) 2-(x+4) 2=0(2)3m2 - 7m - 4=0(3)(X-3)

9、 2+2x (X- 3) =024. 探究題：閱讀下面的內(nèi)容，按要求完成題目: 已知方程X2 - 1=0的兩根是X1 = 1 , X2 = - 1 ； 方程X2+X- 2=0的兩根是X1=1, X2= - 2;方程x2+2x - 3=0的兩根是X1=1, X2= - 3;方程X2+3x- 4=0的兩根是xi=1, X2= - 4;(1) 請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龇匠蘹2+4x- 5=0的兩根;是xi =(2)觀察上面幾個(gè)方程的根的特點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出方程x2+2008x-2009=0的兩根,X2=，并用適當(dāng)?shù)姆椒?yàn)證你的結(jié)果；(3)請(qǐng)直接寫出關(guān)于 x的方程x2+ (n - 1) x - n=0的兩根是

10、xi =X2=25. 閱讀下列范例，按要求解答問題.例：已知實(shí)數(shù)a, b, c滿足：3+b+2口二1,色二a，求a, b, c的值.解： a+b+2c=1,. a+b=1 - 2c,l-2c 1 丄1 J -2c二 0 將代入得：(丄夸(罟t嚴(yán)+氏斗二Q整理得：t2+ (c2+2c+1) =0, 即卩 t2+ (c+1) 2=0,二 t=0, c=- 1a=y二匸尋 c=-l .將t, c的值同時(shí)代入得:3_ ,以上解法是采用 均值換元”解決問題.一般地，若實(shí)數(shù) x, y滿足x+y=m，則可設(shè)直昜匚 尸號(hào)-戈，合理運(yùn)用這種換元技巧，可順利解決一些問題.現(xiàn)請(qǐng)你 根據(jù)上述方法試解決下面問題：已知實(shí)

11、數(shù) a, b, c滿足：a+b+c=6, a2+b2+c2=12,求 a, b, c 的值.(2)x2+2x- 399=0;(配方法)(3)3x (x- 1) =2x- 2;元二次方程的解法3參考答案與試題解析.解答題（共25小題）1.解方程：(1) 5x-4 _姿+10 - 1X-2 31-6(2) 4x (x-3) =x4x (x-3) =x2-9, 4x (x- 3)-( x+3) (x-3) =0,(X- 3) 4x-( x+3) =0, x- 3=0, 4x-(x+3) =0, xi=3, x2=1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程和解一元二次方程，能不是分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解（1）

12、的關(guān)鍵，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解（2 ）的關(guān)鍵.2.解下列方程:(2x+3) 2-81=0; - 9【分析】（1）先把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可;（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.【解答】解：（1）方程兩邊都乘以3（X-2）得:3 (5x- 4) =4x+10- 3 (X-2), 解得：x=2, 檢驗(yàn)：當(dāng) x=2 時(shí)，3 (X- 2) =0,所以x=2不是原方程的解, 即原方程無解;第#頁(yè)（共25頁(yè)）(4) x2 - 2x- 1=0.【分析】(1)直接開平方法求解可得;(2) 配方法求解可得;(3) 因式分解法求解可得;(

13、4) 配方法求解可得.【解答】解：(1) (2x+3) 2-81=0,(2X+3) 2=81, 2x+3=9 或 2x+3= - 9,解得：X1=3X2=- 6;(2) x2+2x- 399=0, x2+2x=399.x2+2x+1=399+1，即(x+1) 2=4OO, x+1=20 或 x+1 = - 20,解得：X1=19x2=- 21;(3) 3x (x- 1) =2x- 2;整理，得：3x (x- 1)- 2 (X- 1) =0,因式分解，得(x- 1) (3x- 2) =0, X- 1=0 或 3x- 2=0, 解得：X1 = 1 , 送; x2 - 2x- 1=0.x2-2x=1

14、,X2- 2x+1=1+1,即(X,- 1) 2=2, X- 1必或X-仁-佗解得：利二1伍，H2=1 TN【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的第7頁(yè)(共25頁(yè))方法.3三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6和8,第三邊長(zhǎng)是方程X2-7x+10=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根.求 該三角形的周長(zhǎng).【分析】先解一元二次方程，求出方程的解，再求出三角形的周長(zhǎng)即可.【解答】解：解方程X2- 7x+10=0得：x=2和5,當(dāng)x=2時(shí)，三角形的三邊為6, 8, 2, 2+6=8,不符合三角形的三邊關(guān)系定理,此時(shí)不能組成三角形;當(dāng)x=5時(shí)

15、，三角形的三邊為三角形，三角形的周長(zhǎng)為6, 8, 5,符合三角形的三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成6+8+5=19,所以該三角形的周長(zhǎng)為19.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和解一元二次方程，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵.4.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?#171;+5=4弘(1)(2)(3)(4)(m - 2) (3m - 5) =12x2+5x - 3=0 (配方法)2 (y- 3) 2=y2 - 9第13頁(yè)（共25頁(yè)）【分析】（1）先把方程化為一般式，然后利用求根公式法解方程;譽(yù)，然后利用直接開平方法解方程;（2）利用配方法得到（ X晉）（3）利用因式分解法解方程；（4）先把方程化為一般式，然

16、后利用求根公式法解方程.【解答】解：（1） X2 - W+5=0, = （W2） 2 - 4X 5=12,x=貶;屁=也±75, 所以 X1=2W5； X2=2- Vs；違X+（B （X詩(shī)）（2）誨嗎，點(diǎn))2旦=16 '2錚骨x+5=±F,4所以X1令；X2= 3;(3) 2 (y-3) 2-(y+3) (y - 3) =0,(y-3) (2y-6-y-3) =0, y- 3=0或 2y- 6- y- 3=0,所以 y1=3； y2=9；(4) 3m2- 11m+9=0, =112-4X 3X 9=13,11 ±Vl3m=,2X3所以m1仝匡,m2土匡.6

17、 6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法和配方法解一元二次方程.5.解方程:(1) x2+2x=2(2) 4 (3x- 2) (x+1) =3x+3【分析】（1）根據(jù)配方法解方程即可求解;（2）先移項(xiàng)，再因式分解法解方程即可求解.【解答】解：（1） x2+2x=2, x2+2x+1=2+1,(x+1) 2=3,x+1 = ±,解得X1=- 1-V艮 X2= -1+Vj ；(2) 4 (3x- 2) (x+1) =3x+3, 4 (3x- 2) (x+1) - 3 (x

18、+1) =0,(x+1) (12x- 8- 3) =0,(x+1) (12x- 11) =0,解得 X1=- 1 , X2.【點(diǎn)評(píng)】考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1; （3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).同時(shí)考查了因式分解法解方程.6.解方程:(1) 2x2-4x- 1=0 (配方法)(2) (x+1) 2=6x+6【分析】（1）利用配方法得到2 （x- 1） 2=3,然后利用直接開平方法解方程;（2）先移項(xiàng)得到（x+1） 2-6

19、（x+1） =0,然后利用因式分解法解方程.【解答】解：(1) 2x2- 4x- 1=0,2 (x- 1) 2=3,(x- 1)兮,m，x- 1=±解得xi=1 -2(2) (x+1) 2=6x+6, (x+1) 2 - 6 (x+1) =0,(x+1) (x+1- 6) =0,x+1=0 或 x- 5=0,解得 X1=- 1 , X2=5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就 都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方

20、程的問題了 （數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.也 考查了配方法解一元二次方程.7.小明在解方程x2- 2x- 1=0時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，其解答過程如下:（第一步）x2 - 2x+1 = - 1+1（第二步）(X- 1) 2=0（第三步）第15頁(yè)(共25頁(yè))X1=X2=1(1)小明解答過程是從第(第四步)步開始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是不符合等式的性質(zhì)1(2)請(qǐng)寫出此題正確的解答過程.【分析】(1)先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上 9,然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可;(2)先把方程兩邊加上1,再把方程兩邊加上1,利用完全平方公式得到(X- 1)2=2，然后利用直接開平方法解方程.【解答】解：(1)小明解答過程

21、是從第一步開始出錯(cuò)的，因?yàn)榘逊匠虄蛇叾技由?時(shí)，方程右邊為1.故答案為一；不符合等式性質(zhì)1;(1) X - 2x=1,X2 - 2x+1=2,(x- 1) 2=2,x- 1=± 逅，所以X1 = 1+逅,x2= 1 -血【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.8用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1) X - 5x+1=0(2) 3 (X-2) 2=x (X-2)(3) (y+2) 2= (3y- 1) 2.【分析】(1)整理后求出b2- 4ac的值，再代入公式求出即可移項(xiàng)，開方，即可得出兩

22、個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；(2)移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可;(3) 開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.【解答】解：(1) X2 - 5x+1=0/ a=1 b= - 5 c=1, =b2- 4ac= (- 5) 2 -4X 1X 1=21>0#±負(fù)2X1'X1邑國(guó),X2旦匹；2 2(2) 3 (X 2) 2=x (X 2)3 (X 2) 2 X (X 2) =0(X 2) (3x 6-X)=0,X 2=0 或 2x- 6=0, xi= 2, X2=3;(3) (y+2) 2= (3y 1) 2 .開方得：y+2=3

23、y- 1 或 y+2=( 3y 1),y1冷,y2=-T【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵.9.閱讀：將代數(shù)式x2+2x+3轉(zhuǎn)化為(x+m) 2+k的形式，(期中m, k為常數(shù)), 則 x2+2x+3=x2+2x+1 1+3= (X+1) 2+2,其中 m=1, k=2.(1)仿照此法將代數(shù)式x2+6x+15化為(x+m) 2+k的形式，并指出m, k的值.(2)若代數(shù)式X2 6x+a可化為(X b) 2 1的形式，求b a的值.【分析】(1)根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)，按照要求 x2+6x+15=x2+6x+32+6= (x+3)2+6,可知m=

24、3. k=6,從而得出答案.(2)根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)，按照要求 X2 6x+a=x2 6x+9 9+a= (x 3) 2+a9= (X b) 2 1,即可知b=3, a 9= 1，然后將求得的a、b的值代入ba,并求值即可.【解答】解：(1) x2+6x+15 =X2+6x+32+6 =(X+3) 2+6,可知 m=3. k=6;(2) v X2 6x+a=x2 6x+9 9+a= (x 3) 2+a 9= (x b) 2 1,b=3, a 9= 1,即卩 a=8, b=3,故 b a= 5.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法的應(yīng)用，完全平方公式的變形，熟記公式結(jié)構(gòu)是解 題的關(guān)鍵.完全平方公式：（

25、a± b） 2=a2± 2ab+b2,難度適中.10用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題例如：因?yàn)閍2>0,所以a2+1就有最小值1,即a2+1> 1,只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值1同樣，因?yàn)?吐0，所以-a2+1有最大值1,即-a2+1 < 1,只有在a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1.（1）當(dāng)x= - 2時(shí)，代數(shù)式（X+2） 2 - 3有最 ?。ㄌ顚懘蠡蛐。┲禐椋ㄌ顚懘蠡蛐。┲禐?5（2）當(dāng)x= 1時(shí)，代數(shù)式-2x2+4x+3有最 大（3）矩形花園的一面靠墻，圍成花園的柵欄總長(zhǎng)度是邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多

26、少?16m，當(dāng)花園與墻平行的（提示：可設(shè)與墻垂直第19頁(yè)（共25頁(yè)）的邊長(zhǎng)為X,用含X的代數(shù)式表示花園的面積）【分析】（1）根據(jù)已知可以得出代數(shù)（X+2） 2 - 3最小值;（2）根據(jù)已知將代數(shù)式變形得出，-2x2+4x+3=-2 （X- 1） 2+5,進(jìn)而得出答案;（3）根據(jù)題意列出等式，進(jìn)而求出函數(shù)的最值.【解答】解：（1）- 2;?。?3;(2)v- 2x2+4x+3= - 2 (X- 1) 2+5,當(dāng)X=1時(shí)，代數(shù)式-2x2+4x+3有最大值為5, 故答案為：1,大，5;（3）根據(jù)題意可得：當(dāng)花園與墻相鄰的寬為 X時(shí),S=x( 16-2x) =- 2x2+16x, 當(dāng)X=咅耶治=4時(shí),

27、S 最大4a 4X (-2)長(zhǎng)為8時(shí)，面積最大是32.故答案為：（1）- 2;?。?3(2) 1;大；5【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，求函數(shù)最值是中考中重點(diǎn)題型，同學(xué)們應(yīng)熟練地掌握.11.設(shè)代數(shù)式2x2+4x- 3=M，用配方法說明無論X取何值，M總不小于一定值, 并求出該定值.【分析】利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性證明.【解答】解：M=2x2+4x- 3 =2 (x2+2x+1)- 2 - 3 =2(X+1) 2-5,(X+1) 2>0, 2 (X+1) 2- 5>- 5,則M總不小于-5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式

28、、靈活運(yùn)用配方法是解 題的關(guān)鍵.12.按要求解方程.(1) (3X+2) 2=24 (直接開方法)(2) 3x2- 1=4x(公式法)(2X+1) 2=3 (2X+1)(因式分解法)X2 - 2x- 399=0(配方法)巴石竺代入【分析】(1)把3X+2看作整體，直接開平方得：3x+2=± 麗，可求得X；(2)先移項(xiàng)化為一般形式，求 =b2- 4ac,利用求根公式x=求X；(3) 移項(xiàng)后提公因式2x+1,即可；(4) 移常數(shù)項(xiàng)-399,兩邊同時(shí)加1,配方得：(X- 1) 2=400,再直接開平方.【解答】解：(1) (3X+2) 2=24,3x+2=±,3x=- 2

29、77; 21,x=-5 ±3X1 , x2=；3 3(2) 3x2 - 1=4x, 3x2 - 4x- 1=0, = (- 4) 2-4X 3X( - 1) =16+12=28, x=4土傾=4土277 = 2±衙入"'TT 、663x1 廠,x2 廠；(3) (2x+1) 2=3 (2x+1),(2x+1) (2x+1 - 3) =0,(2x+1) (2x- 2) =0, 2x+1=0 或 2x- 2=0,xw-寺，x2=1； x - 2x- 399=0, x2- 2x+1=400,(X- 1) 2=4OO, x- 1 = ± 20, x=1&

30、#177; 20, xi=21, x2=- 19.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法， 熟練掌握各種解法的步驟是關(guān)鍵， 注 意熟記求根公式和結(jié)果要化簡(jiǎn).13 .試說明不論x, y取何值，代數(shù)式x2+y2+6x - 4y+15的值總是正數(shù).【分析】可化為2個(gè)完全平方式與一個(gè)常數(shù)的和的形式.【解答】解：將原式配方得,(x+3) 2+ (y-2) 2+2,它的值總不小于2;代數(shù)式x2+y2+6x- 4y+15的值總是正數(shù).【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，準(zhǔn)確配方.14.先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題. 求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值.解：y2+4y+8=y2+4y

31、+4+4= (y+2) 2+4v( y+2) 2>0,( y+2) 2+4>4- y2+4y+8的最小值是4.(1) 求代數(shù)式m2+m+1的最小值；(2) 求代數(shù)式4 - x2+2x的最大值.【分析】(1)利用配方法把原式變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答;(2)利用配方法把原式變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可.【解答】解：(1) m2+m+仁+如片詩(shī)=(甘)2礙>|-，所以m2+m+1的最小值是色4(2) 4 - x2+2x= - x2+2x- 1+5=-(x- 1) 2+5< 5所以4- x2+2x的最大值是5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握配方法的一般步驟是解題的關(guān)

32、鍵.15.按要求解一元二次方程:4x2- 8x+1=0 (配方法)(X+1) (x+2) =2x+42x2 - 10x=3(4)3y2+4y+1=0.【分析】(1)方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解；(2)右邊因式分解后移至左邊，再提取公因式，令每個(gè)因式分別為零，得到兩元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程可得答案;(3) 公式法求解可得;(4) 因式分解法求解即可得.【解答】解：(1) 4x2- 8x+1=0，4X2 - 8x=1,X2- 2xJ,4

33、X2- 2x+1丄+1,即(X- 1) 2勻,4 4,即 x=±兩邊開方，得：X- 1 = ±亞2 X1仝屋,；2 2(2)原方程可化為：(X+1) (X+2) =2 (X+2),(X+1) (X+2) 2 (X+2) =0,(X+2) (X- 1) =0, X+2=0或 X- 1=0,解得：X=- 2或X=1;(3)原方程可化為：2X2- 10X- 3=0,a=2, b=- 10, c=- 3, b2-4ac= (- 10) 2- 4X 2X( -3) =124>0, X=io±vrji=5士頂42即X1蘭邑,X2李； X=,(4)方程左邊因式分解，得：(

34、y+1) (3y+1) =0, y+1=0或 3y+1=0,解得：y=- 1或y=-J【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力， 熟練掌握解一元二次方程的幾種方法是解題的關(guān)鍵.16.已知|la-l l+7tS2=C*,求一元二次方程 bX2-X+a=0的解.【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入方程計(jì)算即可求出解.【解答】解：Tla- 1|+晶il=0, - a- 1=0, b+2=0,第21頁(yè)(共25頁(yè))解得：a=1, b=- 2,代入方程得：-2X2 - x+1=0,即 2x2+x - 1=0,分解因式得：(2x- 1) (X+1) =0, 解得：x=- 1或xd.2【點(diǎn)評(píng)】此題考查

35、了解一元二次方程-因式分解法，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.17.對(duì)于實(shí)數(shù)a, b,我們定義一種運(yùn)算 ”為：b=a2- ab,例如丨3=12- 1X 3= 2.(1)計(jì)算(-2)探4;(2)若x4=0,求X的值.【分析】(1)直接根據(jù)新定義得到答案;(2)根據(jù)題中的新定義b=a2 - 2ab,把x 4=0轉(zhuǎn)化為x2- 4x=0,然后解這個(gè)方程即可.【解答】解：(1)根據(jù)新定義可知：(-2)4= (- 2) 2-( -2)X 4=12;(2)由新定義b=a2 - 2ab可知，x4=0轉(zhuǎn)化為X2 - 4x=0,解方程X2 - 4x=0得到xi=0或x2=4.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解

36、一元二次方程-公式法， 把新定義運(yùn)算化為普通運(yùn)算，得 出一元二次方程是解本題的關(guān)鍵.18.配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來解決很多問題.例如：因?yàn)?a2>0,所以3a2- 1>- 1,即：3a2- 1就有最小值-1.只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值-1.同樣，因?yàn)?3a2< 0.所以-3a2+1 < 1, 即：-3a2+1就有最大值1,只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1.代數(shù)式-2 (X+1) 2- 1有最大值(填大”或小”值為(1)當(dāng) x= -1 時(shí),(2)當(dāng) x= -1 時(shí),代數(shù)式2x2+4x+1有最 小 值(填 大”或小”值為.(3)矩

37、形自行車場(chǎng)地ABCD邊靠墻(墻長(zhǎng) 10m),在 AB和BC邊各開一個(gè)1米寬的小門（不用木板），現(xiàn)有14m長(zhǎng)的木板圍成此矩形場(chǎng)地，當(dāng) AD長(zhǎng)為多少時(shí)，自行車場(chǎng)地的面積最大？最大面積是多少？【分析】（1）類比例子得出答案即可;（2）根據(jù)題意利用配方法配成（1）中的類型，進(jìn)一步確定最值即可;（3）根據(jù)題意利用長(zhǎng)方形的面積列出式子，利用（1） （2）的方法解決問題.【解答】解：（1）因?yàn)椋▁+1） 2>0,所以-2 （x+1） 2< 0,即-2 （x+1） 2 - 1就有最大值-1.只有當(dāng)x=- 1時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值-1.故答案是：-1,大，-1;(2) 2x2+4x+1=2 (

38、X+1) 2+1,所以當(dāng)x=- 1時(shí)，代數(shù)式2X2+4X+1有最小值為-1.故答案是：-1,小，-1;(3)設(shè) AD=x,S=x( 16-2x) =- 2 (x-4) 2+32,當(dāng)AD=4m時(shí)，面積最大值為32m2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查配方法的運(yùn)用，理解題意，類比給出的方法得出答案即可，滲透二次函數(shù)的最值.19 用因式分解法解下列關(guān)于X的方程-5xx24 (x+3) 2-(x-2) 2=0.(3)(4)x2 - ax- - b2=0abx-( a2+b2) x+ab=0. (ab 0)第25頁(yè)（共25頁(yè)）【分析】（1）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程;(2)利用平方差公式把方程左邊分解，原方程可化

39、為2 （x+3）-（x-2） =0或（X+3） +X-2=0,然后解兩個(gè)一次方程即可；先把方程變形為（X-1 a） 2-b2=0,然后利用因式分解法解方程; 利用因式分解法解方程.Lx2+5x=0,2【解答】解：（1）x 寺+5) =0， 所以 X1=0, x2=- 10;(2) 2 (x+3)-( X-2) 2 (x+3) +x- 2 =0,3 ;所以 X1= 8，X2=-(3) (X-寺a) 2 - b2=0，(x-2a+b) (X-丄a- b) =0,23所以X1時(shí)a- b，X2斗a+b;（4） （ax- b） （bx- a） =0， 所以X1上，X2嘈.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程

40、-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）20.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1) 4x2-3x- 1=0 (用配方法);(2) 5x2- 2/nd+3=0.【分析】（1）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1,常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，變形后開方即可求出解;（2）方程左邊利用完全平方公式分解后，開方即可求出解.【解答】解:（"方程變形得：號(hào)尋，64配方得：X2 -務(wù)+舊=豈，即(X-魯)21

41、圧 開方得：x-務(wù)土袞，8 8解得：X1 = 1 , X2=-1.4；(2)分解因式得：2=0, 解得：X1=x2醫(yī)5.5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程-配方法， 以及公式法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵.21.已知a、b、c是 ABC的三條邊長(zhǎng)，若x=- 1為關(guān)于x的一元二次方程(c-b) x2- 2 (b- a) x+ (a-b) =0 的根.(1) ABC是等腰三角形嗎？ ABC是等邊三角形嗎？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明；(2) 若代數(shù)式子+/14有意義，且b為方程y2-8y+15=0的根，求 ABC的周長(zhǎng).【分析】(1)根據(jù)方程的解的定義把 x=- 1代入方程(C-b) X2-2 (b-

42、a) x+(a- b) =0,可得c=a,根據(jù)一元二次方程的定義可知 CM b,所以 ABC不是等邊三角形是等腰三角形;(2)根據(jù)二次根式的意義可知，嚴(yán)，所以a=2,所以c=a=2,解方程y2-l2-a>08y+15=0，結(jié)合b<a+c可求得b=3,所以 ABC的周長(zhǎng)為7.【解答】解：(1) ABC是等腰三角形， ABC不是等邊三角形;理由如下:x=- 1 為方程(c- b) X2- 2 (b- a) x+ (a- b) =0 的根, ( C- b) +2 (b- a) + (a- b) =0,c=a, a、b、c是 ABC的三條邊長(zhǎng) ABC為等腰三角形, c- b工0,-cM b

43、,第29頁(yè)(共25頁(yè)):. ABC不是等邊三角形;(2)依題意，得2-a>0 'a=2,-c=a=2,解方程 y2- 8y+15=0得 yi=3, y2=5;V b 為方程 y2- 8y+15=0 的根，且 bv a+c,二b的值為3, ABC的周長(zhǎng)為7【點(diǎn)評(píng)】主要考查了一元二次方程解的定義，等腰三角形的判定和二次根式的意義；要會(huì)利用方程的解和幾何圖形結(jié)合起來，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題.22.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算 ”，其法則為：b=4ab,例如：2探6=4X2X6=48.(1)求3探7的值；(2)求xx+8X+2探8=0中x的值.【分析】(1)直接利用題目提供的運(yùn)算代入求值即可

44、；(2)根據(jù)題目提供的運(yùn)算列出有關(guān)X的方程求解即可.【解答】解：(1) 3探7=4X 3X 7=84;(2)根據(jù)題意得：4x2+4X 8X+4X 2X 8=0,即：x2+8x+16=0, 解得：X=- 4,故X的值為-4.【點(diǎn)評(píng)】考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和解題技能，這是典型的新定義題型，解這類題應(yīng)該嚴(yán)格按照題中給出的計(jì)算法則進(jìn)行運(yùn)算易錯(cuò)點(diǎn)是要把小括號(hào)里算出的代數(shù)式看做是整體代入下一步驟中計(jì)算.23. 用適當(dāng)方法解下列方程(2x-5) 2-(x+4) 2=0(2)3m2 - 7m - 4=0(3)(X-3) 2+2x (X- 3) =0(4)【分析】(1)先把原方程化為(2x- 5) 2= (x

45、+4) 2的形式，再利用直接開方法進(jìn)行解答即可；(2)用公式法解答;(3)利用提公因式法把原方程化為兩個(gè)因式積的形式即可求出m的值;(4) 先判斷方程是否有解，若有解，可直接利用公式法進(jìn)行解答.【解答】解：(1)v原方程化為(2x- 5) 2= (x+4) 2, 2x- 5=x+4 或 2x- 5=- X- 4，解得 X1=9，X2;(2)v a=3，b=- 7，c=- 4，. x±49TX3X (4)2X36(X-3) (X- 3) +2x =0， X1旦魚，X2jWi &(3)提公因式得， 解得 Xi=3, X2 = 1 .2 - 4X 1X 10=20- 40= - 20 V0，(4) v = (2 街) 原方程無解.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法，要根據(jù)不同的方程采取不同的方法, 解題時(shí)要先判斷方程是否有根.24. 探究題：閱讀下面的內(nèi)容，按要求完成題