二導(dǎo)數(shù)與微分

1、二.導(dǎo)數(shù)與微分1.下列各題中均假定 f '(X0)存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出A表示什么.|f(X0-&)-f(X0)=A；Ax解：:lim 怏-Ax) -f(X0)= _|imf(X0Ax)fM =_f,(x0)-Ax33空“;故 A =f (Xo)(2) f (x0) = 0, limx。x0 X解：lim一 lim 止 一f'(X0)x0 Xx0 -x(3)lim fX+hTX-X A.M0解:|im f (x。+h) f(X0 h)rf(X0 +h)- f(X0)MPh =lim f(X0+h)-f(X0)+ Hm f (X0 -h) - f 伽)&qu

2、ot;hThT-h=f '(X0)+ f'(X0)=2f'(X0)故 A =2f (x0).2.討論函數(shù)在X = 0點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性解：lim VX = 0 = f (0) ，故函數(shù)在 x=0處連續(xù).VX-o又lim一- =lim x 3 =處，故函數(shù)在 x = 0處不可導(dǎo).X-0X -0XT3.如果 f(x) 為偶函數(shù)，且 廠(0) 存在，證明： f (0) =0.證明:0)=歸f (Ax) - f(0)f(5-f(0)A-30=他4)嚴(yán)(0)，故 f '(0) =0.4.求下列函數(shù)在 X0處的左、右導(dǎo)數(shù)，從而證明函數(shù)在X0處不可導(dǎo).Isi nx,x>

3、;0,(1)y3, X<0,X0=0;證明：f*0)=lim+f(x)-f(0L|4=1,T十 X-0T十X口0)=limf2Xf = limXL0,T- X0 T-X因坤0) H 口0) ，故函數(shù)在 x0 = 0處不可導(dǎo).(2)y = 1 +e'【0，X HO,X=O,Xo =0；證明：f(0) = limf(x)-f(O)x0=lim TT十1 +e攵1 =0,=1,因缽0)H C(0) ，故函數(shù)在 x0 = 0處不可導(dǎo).(3)廠呼 X1,X0=1.lx , X <1,1"2'證明：fxlim+Ux)f(1)=lim+心n 十X-1H 十 X1fj(1

4、) =lim f g- f = |jm =2,I x-1T_x-1因f*1)H f 2(1)，故函數(shù)在X0 = 1處不可導(dǎo).sinx,xcO,5.已知 f(X)= $求 f(X).lx,XZ解：當(dāng) X 0時(shí)，f '(X)=cosx,當(dāng) X >0時(shí)，f '(X)=1,故 f 0）=1.cosx,x<0,綜上所述知f '（X）= «I1,X >0."2X ,X <1,6.設(shè)函數(shù)f（X）= «Fx+b,X a1.當(dāng)X = 0時(shí),X-0為了使函數(shù)f(x) 在X = 1點(diǎn)處連續(xù)且可導(dǎo)，a, b應(yīng)取什么值?口0） =limX y

5、 sin x-0 彳"c、, x-0 彳/, 1,2解：因 lim f（X）= lim x =1 = f （1）凹 J（X）= lim（ax + b） =a 中 bX2 1又山円叩心二凹話二2,J X -1ax+b 1ax-a=a,g1要使 f(x) 在X =1處連續(xù)，則有 a+b=1,234要使 f(X) 在X =1處可導(dǎo)，則必須 口1)=中1)， 即 a =2.故當(dāng) a =2,b = 1 時(shí)， f(x) 在X = 1處連續(xù)且可導(dǎo).7 .討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性 y = sinX ,x = 0;解：因?yàn)閘im y =0 = yXT所以此函數(shù)在X=0處連續(xù).又 口0)=l

6、imf(X) f(0)XT-x-0lisinx _1,xT-Xf 7m lim f （x） f（0） linn sinx uo） =!m+x-o，x-0口0) H f*0) ，故此函數(shù)在 X = 0處不可導(dǎo).（2）y = b，lx2 si n1,xH0, Xx=0;X =0,解：因?yàn)閘im XxT又 y(0rmf(x)-f(0)x-0X2si n 丄=0,53故函數(shù)在X = 0處可導(dǎo).(3)yX，g，X2x,x1.=1.解:因?yàn)?X)=18.lim f(X)= lim xX =1lim f(x) =lim f (x) = f(1)=1 ，故函數(shù)在X=1處連續(xù). X +又 f '(1)=

7、|im f(x) f(1)= |img=1I 一 x-1x_1x-1f ；(1)=凹fX¥=iim+斗1 一 1十 X1十 X-1X1f_'(1)f (1) ，故函數(shù)在X=1處不可導(dǎo).2證明：雙曲線xy =a上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于2a2.證明：在雙曲線上任取一點(diǎn)M (Xo, yo),x=02Xo2a ,則y =, y =X，則過(guò) M 點(diǎn)的切線方程為:y-y。2 a 2X0(X-Xo)2X0a_2+ X0 2x0a得切線與X軸的交點(diǎn)為(2x0,0)2c a 亠令 X = 0= y =+ y0Xo輕*2%Xo得切線與y軸的交點(diǎn)為 (O,2yo)，9.1

8、故 S =22x)ll2y0 =2>0 U =22a.已知f(X)在X = X0點(diǎn)可導(dǎo)，證明:limfdoTKxo-Ph)p證明:|im f(XoEh) f(Xo-Ph)"lim f(Xo+ah) f(xd + P|im f(xPh)-f(x)o Tah7-Ph10.設(shè)證明:=0 f '(x。)+ Pf 諷) =(a +P)f(Xo).p(x) = fi(X)f2(X)川 fn(x) H0 ，且所有的函數(shù)都可導(dǎo)，證明:P '(X)_ fx) + f2'(x) +出+ fn'(x) "fn(x)P(x)fl(x)f2(x)P'(x

9、)1f1'(X)f 2：X)川 fn(X)+ f Wf '(x)川 fn(X)+|+ f (x)f (xR ) f；(x)_ 時(shí)&) + f2'(x) f1 (x)f2(X)+川+血 fn(x)11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):3x=e y = arcta n x2 ；、:2x+1=e y = (1 + x2) ln(x +J1 U2)；=x2 si ng ；x23y =cos ax ( a 為常數(shù))；=arccoL ； xy = (arcsi n'x)2 ；=J1 +ln2 x ； ny =sin x cos nx ；(11)+x + J1 -x-廠 arcsi

10、n 尸(13)y = In cosarctan(sinh x)；(14) 2X r2, a . Xy = va -x 中一arcsin-22a(a >0為常數(shù))-解： y = 3e3x y = 2x1+x4；.2X+T-一2j2x+1J2x+1 y' = 2x .ln(X + J1 + x2) + (1 +x2)x +J1 +x2xT'(7r=2)121y'=2xsin+x cosp xx=2xln(X +x2)中 j1 + x22 .12 1 ) = 2xsin cos2 ； xx x x/ =2cosax3 <-sin ax3)2233ax =3ax s

11、in 2ax ；<-4)xx2,xy =2arcs in ，（11）2J1+I n2x2nIn xxj1 + ln2 X= nsinn°x cosxcosnx+ sinn x(-sin nx) -n = nsin nx cos(n +1)x；x2arcs in 2 ；-1(12)(13)J1 -x2 +1八px1 +x2 -x-(1 +x) -(1-x) 2(1+x)(1+x)j2x(1-x);y'=cosarctan(sinh x)sin arctan(sinh x)2 coshx = -tanh x ；1 + (si nhx)(J1+ J)/rHx-7vx)( 2“

12、 +x 2“ -xb/v+7x)222 2闔2-X<-2x) +1 = Ja2 - X212.試求曲線y =eA 'Vx +1 在點(diǎn)(0, 1)及點(diǎn)（一1 , 0）處的切線方程和法線方程1尹1）2XzS=3'故在點(diǎn)（0, 1）處的切線方程為:2y -1 = 一 x 0,)卩 2x+3y3 = 032法線方程為：y-1 = (x-0)，即 3x -2y +2 =03在點(diǎn)(一1, 0)處的切線方程為：X = 1法線方程為：y = 0dy13. 設(shè) f（x） 可導(dǎo)，求下列函數(shù) y的導(dǎo)數(shù):dxy = f(x2)解: y'=2xf'(x2)y = f (sin2y

13、ln(x + y ) = 2arctan； X X)+ f (cos2 x)2 2解:y'=2sinxcosxf(sin x)+2cosx(-sin x) f'(cos x)= sin 2x f sin2 x) f '(cos2 x)14.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):33x +y -3axy =0 ； x = y In(xy)；xey - yex =10 ；解:兩邊求導(dǎo)，得:3x2 +3y2 'y'-3ay-3axy' = 0解得y -ax兩邊求導(dǎo)，得:, 1 ,1 = y 1n( xy) + y (y + xy') xy解得 y，=x( l n

14、x + l ry + 1)兩邊求導(dǎo)，得:yyXXe +xe ”y' + ye +ye =0 解得兩邊求導(dǎo)，得：1 1 (2x+2yy)=2 X +yi+(y)2xyX-y2X15.用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(X+1)5解：y'=y (In y)' = y gln(x+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1)'后2 Q-x)4_1(x+1)52(x+2) 3-x x+14 5z co x y = ( Si rx 解:y' = y(ln y)' = y (cosx In sin x)，1= y(-sin x)ln sin x+cosxcosxsi

15、n x=(sin x)cosx(C°S X sin x In sin x)sin xy x(x+3)J(x + 5)x- 4)解:11=y(ln y)' = y2 X + ln( x + 3) 一 ln(x + 5) 一 ln( x-4)'221 1 1=/ 2 + . J(x+5)(x-4)x + 3 2(x + 5) 2(x-4)e2x(x+3)16.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)史:dxx = acosbt +bsin at, «y =asinbt -bcosat,（a,b為常數(shù)）解:dyd y dt abcosbt+absin atdxdx-abs

16、 in bt +abcosatdtcosbt +sin atcosat s inbt解:= 0(1-siin ),= TcosT .dydyCOS0 8 s in 8cos8 8 sinQdxdx1 -sin9 + 9(coM)1 -sin9 £ cos日17.設(shè) f(X)解:=x-a W(x)，其中a為常數(shù)，申(x)為連續(xù)函數(shù)，討論f(x) 在X = a處的可導(dǎo)性.T 叫 f(X)-f(a)XJ十(Xa艸(X)x-atf (x) f (a)f_(a) =lim _Tx-a=lim T十 X -aXT -X - a故當(dāng)®(a) =0時(shí)，f (x)在x=a處可導(dǎo)，且f'

17、;(a)=0當(dāng)申(a) h0時(shí)，f(x)在x = a處不可導(dǎo).18.已知2f(X)=max X ,3，求 f '(x).13,f(Xtx2,>73時(shí)，f(X)=0,X >73時(shí)，f(X)=2x,= ®(a)Ta)口 J)X 3 lim(X-73) =-2/3u(J3)lim L+ v3 I33lim =0,M+x +胎故 f'(-73) 不存在.fM)3-3=lim =0,j-x-JS2 3=lim 二一 =limx + 73) =23,19.若綜上所述知10,X “f '(X)px,X >屈1X屯f(-)=e X,求f x).故f 5 不存

18、在.1 , 解：令一=t，則XX1 +f (t) =et ,即 f (x)1 Hx1f(x)=eX (1-).X2°.若 fn1= 1,y = f (arccoA)X，求dxx=2 .解:dydx, 1=f '(arccos-)( XZ)21)<-)Xdydx21.求函數(shù)y|n加的反函數(shù)21-XX = W (y)的導(dǎo)數(shù).解:1_ 1 1 -X2-l n(1 +x) I n(1 -X)吐J (丄+丄)dx 2 1+x 1 -X故反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:dx 12一 =-；=1 -x . dy dydx22. 已知 y = f(x) 的導(dǎo)數(shù) f (x)2x1=一2 2，且 f(1)

19、 = 1，求 y = f(x) 的反函數(shù) X = W (y)的導(dǎo)數(shù)(1+x +x )4(1).解：Y y = 1 時(shí) X = -1,2 2故半 丄="+x)f x) 2x +12 2=1.從沁"1-1)2x(1)+123.在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立:d(= costdt ；d()=si noxdx；d(d(-2x)=e dx;d(d(2)=sec 3xdx ；d(1=一 In xdx ； xd("啟dx.解:'/ (sint廠=cost ”d(sin t +C) =costdt.* * 11(-coscix)' =(s in x) =s i

20、no)x©«1Vl n(1 +x)' =d(-cosx + C ) six xd1 +x1二 dln(1+x)+C=dx.1 +x* * , 1 X 1 , c dxdx (-e )=-( 一2)e =e 2 2"(工JCW 尹 dx.；(2依)，=22vx vx.d(2/x +C )斗 ex.dx4 *1,122 * (-tan3x) =- sec 3x 3= sec 3x 33/. d(1 tan)8+C >s2ecx3xd1 1(尹2x)七 2lnxllnxx x/.d(1l n2x+C)=丄1 nxdx.2x；(-J1-X2)，12J1 -X

21、2(2x)xJ1-X2x£ ) ex.J1 - X224.求下列函數(shù)的微分:y =xe ；ln x y =xy = cos 仮； 、_lntanx y = 5- x - 2xy =8x -6e y = Jarcsin x + (arctan x)2.dy =(xex)dx=ex(1+x)dx ；1 ,InxiXnxdy =(Tdx =(玉x廠)dxlnxdx ；dy =(cos7x)'dx = (-sin 仮)”1 dx2依L sin Txdx ；1 z-lntanx、，1，- r- lntanx 1dy =(5) dx =(ln 5 5tan xsec x)dx_ _ln

22、tanx1.=2ln 5 5dx ；sin 2xdy =(8xx -6e2x)dx =8xx(1+lnx) 12e2xdx ；dy =varcsinx+(arctanx)2'dx= 廠27arcsin x(1-x21 1 + 2arcta n x 刃dx.25.求由下列方程確定的隱函數(shù)y =y(x) 的微分 dy: y i +xey ；2 2x 丄y .于古二1;a b y-x+fsi ny ； y arccosy.解：對(duì)等式兩端微分，得即 dy =eydx +xeydyey于是 dy =7 dx.1 -xey對(duì)等式兩端微分，得11'2xd 2ydy =0ab得dy墾dx.a

23、y對(duì)等式兩端微分，得dy = dx+- cosy cy解得 dy =2dx.2 - cos y對(duì)等式兩端微分，得12ydy-dx= dyj1-y2解得dy=Edx.1 + 2yj1 -y226.求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù): y =ex sin X,求 y； y = x2 e2x,求 yW) y =x2 sin x,求 y©0解： y'=ex sin X+ex cosx =ex(sin x+cosx)y" = eX(sin x 中cosx) +eX(cosx -sin x) =2cos x ex y=2eX(cosx -sin x)y =2eX(cosx-sinx)+2eX

24、(-sin x-cosx)= -4eX sinx6 y=送 C6(e2x)(6")(x2)ii z0= x2(e2x) +6(x2He2x) +15(x2)"(e2x)= 26x2e2x +6 2x 25e2x +15 2 24e2x2x2= 32e (2x2 +12X+15)80 y=2 C80(x2)(sinx)(80i蘭= x2(sinx) +80 2x (sinx)"9+3160 2 (sinx)"8njnjn=x2 sin(x + 80 q)+160x Qn(x + 79 三)+ 6320sin (x + 78 三)2=x sin X-160x

25、cosx-6320sin x.27.求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)d2ydx2,2 2 2 2 2 2 b x +a y =a b ； y =tan(x + y)；y2 +2lny = x4.解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得2 22b x+2a yy，=0b22axy_兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得y =ey + xey y'-eyykeyy'(2 -y)-ey(y')e2y(3- y)(2 - y)23(2-y)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得y，=s eC x+r(1y=y' = T -cot2(x 中y)=y" = 2cot( x + y) cot(x + y) csc(x +

26、y) (1 + y') =y" = -2cot3(x + y) csc2(x +y).兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得_, , 2,32yy 7 =4x y-3-2yxy =寸” = (2yX3+2y 3x2)(1 + y j 2yx 32yy'2 2(1 + y )22 2422x y3(1 +y ) +2x (1-y )(1 + y2)312 -5528.已知7x）存在，求%:dxy = f(x2)； y = In f (x).解： y'=2xf'(x2)y” = 2f '(x2)+2x 2xf "(x2)=2f (x2) +4x2f ”(x2)

27、-f x) y =f(x)y“(x)f(x)-f(x)2f2(x)29.求由下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)d2ydx2X =a(t -sint),=a(1 -cost),（a為常數(shù)）；X = f (t), b M(t)-f(t).設(shè) f”（t） 存在且不為零.dy解:dxdy 二 dt 二 asintSintdx a(1-cost) 1 -cost dtd2ydx2dsi nt、 d , sin t=(dx 1 - cost丄dxdtcost(1-cos t)-sin t sin t)=()dt 1 -cost(1-cos t)21a(1 - cost)a(1 -cost)dydxdy=_d

28、i =_ dx _d?f (t) +tf ”(t) - f (t)tf "(t)d2ydx2d d 1 = (t) = t ) dK( ) Ct t )dx d?30.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù):65Xf(x2；F7求 f W)；f(X)=e2xt 求 f "(0)，f 70)；f(X)=(x+10)6,求 f (0) , f (0).解:Ex2-X'23(x)= =(1-x2r1 +x5f p(x)=討x2)W 2x故 f "(0) =0.f（X）=2e2xf ”(x) =4e22 f 7x) =8e224f ”(0) = - , f"(0)

29、e=8ef(X)=6(x+10)5f 7x)= 3 0(x+ 1 0) f "(x) = 1 20X+ f (4)(x)= 36 0x+ f (5(x)= 720x+f (6)(x)= 720佝1 02)1 0)f (0)=720X10 =7200 , f(6)(0)=720131.求函數(shù)f(X)=在xo = 1處的n階泰勒公式.x解：r +xn屮亠x亠m十怎產(chǎn)1二 f (x)=-x一1+-(x+1)=41 +(x+1)+( x+1)2(x+1)+川+(x+1)n+1_；'(x；1)n(0 宀O32.求函數(shù)f (x) = xeX的n階麥克勞林公式.解：7ex =1 + x +

30、2nX十+ X2!(n-1)!n+jn!/. f(x) =xe3 X2+計(jì)IIn(n-1)!n + e印(0吒日<1) n!X丄_xe +e33.求函數(shù)y =2的2n 階麥克勞林展開式.解:x2n11x2y =；eX+e=；1+x+ + 川+222!(2n)!22n-+川+2丄 2!2nX1 = 2 +222十計(jì)川十(2n)!(2n)!2(2 n+1)!2n+ &22nx e + 1_x+卅+ x (2n +1)!2!e& e£e -e 2n+.+X (2n +1)! x2nF (0 吒日 <1).X2%鳥(2n)! (2n +1)!34.設(shè)函數(shù) f(x)

31、在a,b 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，且 lim f '(X)= A, 試證：f*(a)=A.證明：f+(a) = lim = lim f 以)=lim f '(x) = Aja十X a斤弓3十 1ija十35.設(shè) f(x) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0) =0 ，試證:g(x)=|f(x)x '廠(0),XHO,X =0,可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)證明：因 f(x) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),故 xO時(shí)，g(x)可導(dǎo)，又g(0)=四f(x) f70) g(x)_g(0).丁(0)=lim= limx-0f(x)-f'(0)議=2xf '(x)2f 70)limxf

32、'(X)- f '(0)2x故 g(x) 是可導(dǎo)的，且導(dǎo)函數(shù)為rxf x)- f x )i 2,g (X)= xI f 70)i丁，0,x=0,又因 lxm0g(x)=ixm0xf (xKx)= lim f (x) + xf ”(x)-f'(x) xm02x50)故 g(x) 的導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的36.求曲線x=acos3t， y= asin3t 在 t=t0 處的曲率.解:dydxdydx3as in21 cost3acos2ts int=-ta nt，dtddx2 =d；(tant2d2yd(ta nt)且當(dāng)t=t0時(shí),dtdxdt3a si nt cosk =k 1

33、+ (-tan2)323asi n2t012_4-3a cos tsint3a sin tcos t-sec213a si n 22 X 3/2R_(1 +cos X)sin x37.曲線弧y=sin x (0<x< n上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最??？求出該點(diǎn)的曲率半徑解：y' = cosx, y" = sinx.,1sin xk = _ =23/2R(1+ cos2x)2"丄 25/2(1 +COS X)2cos x(1 +sin x) 顯然R最小就是k最大， k =令k' = 0，得nX =為唯一駐點(diǎn).2A 內(nèi)，k、0，在-n 內(nèi)，<0.12'丿n所以 X =為k的極大值點(diǎn)，從而也是最大值點(diǎn)，此時(shí)最小曲率半徑為2"丄 2.3/2R_(1 +cos X)sin x38.設(shè)總收入和總成本分別由以下兩式給出:R(q) =5q -0.003q2,C(q) =300+1.1q其中q為產(chǎn)量，0 <1000，求：(1)邊