復(fù)變函數(shù)傅立葉變換ppt課件

1、第7章 傅里葉變換本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、了解傅里葉積分; 2、理解傅里葉變換; 3、掌握 函數(shù)及傅里葉變換; 4、熟悉傅里葉變換的性質(zhì).積分變換 所謂積分變換,就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)(象原函數(shù)) 乘上一個(gè)確定的二元函數(shù) ,然后計(jì)算積分,即 這樣變成另一個(gè)函數(shù)類B中的函數(shù)(象函數(shù)).根據(jù)選取的二元函數(shù)(核函數(shù))不同,就得到不同名稱的積分變換. xfsxk, badxsxkxfsF,第7章 傅里葉變換7.1傅里葉變換的概念與性質(zhì)47.1.1 傅里葉積分1、 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)2、 只有有限個(gè)極值點(diǎn) 這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù). 在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)知道，研究周期函數(shù)實(shí)

2、際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上5因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù) , 可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下: 1,2,nxdxsinn tfT2b1,2,nxdxcosn xfTaxdxfTaTxsinn bxncosaaxf2T2T2T2T2T2TTnTnT0nnn0T）（）（）（其中(7.1)22221 xf6 ),n(dxexfTCedefTecxfTTnnTTnnxjTnnxjjTnxjnT210112222

3、 而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級(jí)數(shù)表示為:其中7例1 定義方波函數(shù)為1|01|1)(tttf如下圖:11otf(t)1 2,2422, )4()(4nnTntftfnn8113T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 那么9那么), 2, 1, 0()sinc(21sin2141114141)(41)(11122422neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn10sinc函數(shù)介紹則函數(shù)在整個(gè)實(shí)軸連續(xù)用不嚴(yán)格的形式就寫作所以定義但是因?yàn)樘幨菬o定義的嚴(yán)格講函數(shù)在函數(shù)定義為,xxxsin,)sinc(xxs

4、inlim,xxxsin)xsinc(sincx101010011sinc函數(shù)的圖形:sinc(x)x12前面計(jì)算出以豎線標(biāo)在頻率圖上可將nnnncnTnnnc,22), 2, 1, 0()sinc(2113現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍, 令T=8, 以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)4,4822, )8()(8nnTntftfnn117T=8f8(t)t14那么), 2, 1, 0()sinc(41sin4181118181)(81)(11144822neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn15則在T=8時(shí),以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nn

5、nncnnnnc,482), 2, 1, 0()sinc(4116如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計(jì)算出以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,8162), 2, 1, 0()sinc(8117一般地, 對(duì)于周期T), 2, 1, 0()sinc(2sin211111)(11122nTTeeTjeTjdteTdtetfTcnnnjjntjntjtjTnnnnnTTn18當(dāng)周期T越來越大時(shí), 各個(gè)頻率的正弦波的頻率間隔越來越小, 而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓?jiǎng)t總是sinc函數(shù)的形狀, 因此, 如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù), 則它也可以看作是由無窮多個(gè)無窮小的正弦波

6、構(gòu)成, 將那個(gè)頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個(gè)頻率成份上的分布, 稱作f(t)的傅里葉變換.19對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上, 則T越大, fT(t)與f(t)相等的范圍也越大, 這就說明當(dāng)T時(shí), 周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t), 即有l(wèi)im( )( )TTftf t20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)21,2,d)(1lim)(d)(1)(1jjjj2222nnnnnntTTntTT

7、TTneefTtfeefTtfnTTnnTTn 或兩個(gè)相鄰的點(diǎn)的距離為布在整個(gè)數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)便均勻分取一切整數(shù)時(shí)當(dāng)可知由公式22如圖 nntTntTTnTTnnnTTneefeefTtftfjj0jj2222d)(21limd)(1lim)()( 又可寫為T2O w1 w2 w3 wn-1wnT2T2T223tnnnTnnnnTnntTtTnTnnnnTTnnnTTneefTeeftfeefjj0jj0jjd)(21)()()(, 0)(limd)(21lim)(d)(21)(2222 即當(dāng)令 jj0jj1()( )d2( )lim()()d()d1( )( )dd2nnntnTnnnnnt

8、feef tf tfee 由最后得24此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡(jiǎn)稱傅氏積分公式,而等號(hào)右端的積分式稱為 的傅里葉積分(簡(jiǎn)稱傅氏積分).( )f t 若函數(shù) 在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2) 至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,并且在 上絕對(duì)可積，則有： 傅氏積分存在定理 ( )f t, dedeftjj)(21( )(0)(0)2f ttf tf tt 為連續(xù)點(diǎn) 為間斷點(diǎn)收斂絕對(duì)可積是指的在td| )t (f|),(上式稱為傅氏積分的復(fù)指數(shù)形式，利用歐拉公式，也可以轉(zhuǎn)化為三角形式.dd)t (cos)(f)t (f,d)t (

9、sin)(fdd)t (sin)(fjd)t (cos)(fdde )(fdede )(f)t (f)t(jtjj21212121的奇函數(shù)是因2627又考慮到積分0( )cos(),1( )( )cos()dd(1.5)21( )( )cos()dd(1.6)ftdf tftf tft是 的偶函數(shù)從得最后這個(gè)式子就是傅里葉積分的三角形式也叫做 的傅氏積分表達(dá)式 如果函數(shù) 滿足傅里葉積分定理,由傅里葉積分公式,設(shè)7.1.2 傅里葉變換的概念 ( )( )jtFf t edt1( )( ) 2jtf tFed ( )f t叫做( )f t的傅氏變換,象函數(shù),可記做 = ( )F叫做( )F的傅氏逆

10、變換,象原函數(shù),( )f t( )ft=1( )F( )F( )f t1( )( ) 2jtf tFed zf例例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 的傅氏變換的傅氏變換 ( )( )jtFf t edt1( )00tcf tctc解022 sin0 20ccjtjtcedtedtcc 例3 求指數(shù)衰減函數(shù) 的傅氏變換和傅氏積分表達(dá)式.解()0()022( )( )101j tjttj tj tFf t edtedteedtejjj 0t0( ) (0)t0tf te 這個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)是工程技術(shù)中常遇到的一個(gè)函數(shù) tf(t)2222222222011( )( )221(cossin)21cossinsinc

11、os21cossinj tj tjf tFededjtjt dttttdjdttd (00)(00)10, 22fft 假設(shè) 上式右端為22000cossin020ttttdtet于是7.1.3 函數(shù)及其傅里葉變換 在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會(huì)有集中在一點(diǎn)的量點(diǎn)源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究這類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對(duì)于許多

12、集中在一點(diǎn)或一瞬間的量,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中于一點(diǎn)的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決. 函數(shù)的定義 （1看作矩形脈沖的極限（2） 函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為 函數(shù)： ( )0 (0)tt ( )1t dt 1函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段來表示,如下圖 ot( ) t0()tt 定義為滿足下列條件的函數(shù)00(1) ()0 (0)ttt 0(2)()1tt dt 如下圖1t0()tto0t 函數(shù)的性質(zhì)（1對(duì)任意的連續(xù)函數(shù)( )f t,都有 ( ) ( )=0 t f t dt f ( ) t(

13、 )f t( ) t 0f 00() ( )ttf t dtf t 0()tt( )f t 0()tt 0f t（2）函數(shù)為偶函數(shù),即( ) t()( )tt （3）( )tt dt u t其中, 0001)(tttu稱為單位階躍函數(shù).反之,有 )(tudtd t.Otu(t) 函數(shù)的傅里葉變換 由于 ( )F= t( )j tt edt10j tet可見, t=1, -11= t. 與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即 t與 也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即0tt0tje0tt0j te 1t 一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對(duì) 例例4 4 可以證明單位階躍函數(shù)可以證明單位階躍函數(shù) 0001)(t

14、ttu的傅氏變換為 ( )F1( )j 01 1sin()2tutd u t的積分表達(dá)式為 u t1( )j O|F(w)|例5 證明( )1f t 的傅氏變換為( )2( )F 證明( )f t=1( )F11( )2( )2210j tj tjtFedede 所以2( )1 例例6 6 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù)0( )sinf tt的傅氏變換 可以證明000sin()()tj = 000cos()()t = 00O|F(w)|tsint7.1.4 傅里葉變換的性質(zhì) 1212( )( )( )( )f tf tFF11212( )( )( )( )FFf tf t1 1 線性性質(zhì)線性性質(zhì) =2(

15、 )F2( )f t, 設(shè)為常數(shù)則=1( )F1( )f t 這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì), 為了敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件.2 對(duì)稱性質(zhì)假設(shè)=( )F( )f t則以t為自變量的函數(shù) ( )F t的象函數(shù)為2 f 即 ( )2F tf11( )2fF t3 相似性質(zhì) ( )F=( )f t假設(shè)0a 那么()f ataFa11()()Fa f ata4 平移性質(zhì)假設(shè)=( )F( )f t0t為實(shí)常數(shù),那么 00()( )j tf t teF 010( )()j teFf t t（1象原函數(shù)的

16、平移性質(zhì)例例7 求求 0()u tt1( )( )( )u tFj 解 由于 所以0()u tt000001( )( )1( )1( )jtjtjtjtjteFejeejej （2象函數(shù)的平移性質(zhì) 假設(shè)=( )F( )f t0為實(shí)常數(shù),那么 00()()j tef tF 010()()j tFf t e 例8 知12( )1 求1(1) 解101( )( )12f t 011(1)( )2jtjtf t ee 顯然2(1)jte 一般地002()jte 002()jte 且 那么5 微分性質(zhì)假設(shè)=( )F( )f tlim( )0tf t( )( )f tj F一般地,假設(shè)( )lim( )0

17、ktft( )( )( )nnftjF 0,1,2,1kn那么( )( )f tj F（1象原函數(shù)的微分性質(zhì)例9 證明( )1t證明 由于所以( ) tj( ) tj( ) tj一般地( )( )nntj （2象函數(shù)的微分性質(zhì)假設(shè)=( )F( )f t( )dFjd 那么( )tf t或( )( )dtf tjFd例10 知1( )( )u tj 求( )tu t解221( )( )( )11( )( )ddtu tjFjddjjjj 6 積分性質(zhì)( )f t假設(shè)=( )F1( )( )tfdFj那么在這里 必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個(gè)廣義積分應(yīng)改為 ( )tfd1( )( )(0) ( )tfdFFj 第7章 傅里葉變換7.2傅里葉變換的應(yīng)用7.2.1 傅氏變換的物理意義頻譜 在頻譜分析中, 傅氏變換 又稱為 的頻譜函數(shù), 而它的模 稱為 的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱為頻譜). 由于w是連續(xù)變化的, 我們稱之為連續(xù)頻譜, 對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換, 就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.( )F( )f t( )()FF( )f t可以證明,頻譜為偶函數(shù),即( )F53例1 作如圖所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖2sinc| )(|2sinc2sin2e