2020-2021北京備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)—二次函數(shù)的綜合

1、2020-2021北京備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一二次函數(shù)的綜合一、二次函數(shù)1.如圖，已知拋物線 y ax2 bx c(a 0)的對稱軸為直線x 1,且拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A(1,0), C(0,3).C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸 x 1上找一點(diǎn)M ,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和 最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸 x1上的一個動點(diǎn)，求使 BPC為直角三角形的點(diǎn) P的坐標(biāo).【答案】(1)拋物線的解析式為 yx2 2x 3 ,直線的解析式為y = x+ 3. (2)M( 1,2)； (3) P 的坐標(biāo)為(1, 2)

2、或(1,4)或(1 3 萬)或(1 3 歷).，2，2【解析】分析：(1)先把點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b, c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得 a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出 a, b, c的 值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線 y=mx+n,解方程組求出 m和n的值即可得到直線解析式；(2)設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,此時MA+MC的值最小.把x=-1代入直線 y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn) M坐標(biāo)；(3)設(shè) P (-1, t),又因?yàn)?B (-3, 0) , C (0, 3),所以可得 BG=18, Pd=(-1+3) 2

3、+t2=4+t2, PG= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).1/2aa 1詳解：(1)依題意得：a b c 0,解得： b 2,c 3c 32拋物線的解析式為 y x 2x 3.對稱軸為x1 ,且拋物線經(jīng)過 A 1,0 ,.把B 3,0、C 0,3分別代入直線y mx n,直線y mx n的解析式為yB7JX(2)直線BC與對稱軸x 1的交點(diǎn)為 M ,則此時MA MC的值最小，把x 1代入直線y x 3得y 2,M 1,2 .即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為 1,2 .(注：本題只求 M坐標(biāo)沒說要求

4、證明為何此時MAMC的值最小，所以答案未證明MA MC的值最小的原因)22BC2 18 , PBt2 4t2,PC22-t 6t 10,若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),BC2PB2PC218t2t26t10解得:t 2,若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),BC2pc2PB2,即:18t26t102t2解得:t 4,若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，t 3 后 t 3t1_ t22PB2PC2BC2 ,即:t2t26t1018解得:172綜上所述P的坐標(biāo)為 1, 2或1,4或1,32 3 、171,2(二次函數(shù)和一次函點(diǎn)睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù) 數(shù))的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大，是一

5、道不錯的中考 壓軸題.2.如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中，二次函數(shù)y=x2+ (2k-1) x+k+1的圖象與x軸相交于0、 A兩點(diǎn).(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B,使4AOB的面積等于6,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)對于(2)中的點(diǎn)B,在此拋物線上是否存在點(diǎn) 巳使/POB=90?若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并求出 POB的面積；若不存在，請說明理由.【答案】(1) y=x2-3x。(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(4, 4)。(3)存在；理由見解析；【解析】【分析】(1)將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式。(2)根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了

6、OA的長，根據(jù) OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出 B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù) B點(diǎn)在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可。(3)根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線 OB的解析式，由于 OBLOP,由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特 點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).求POB的面積時，求出 OB, OP的長度即可求出ABOP的面積。【詳解】解：(1)二.函數(shù)的圖象與 x軸相交于O, ，0=k+1,k=- 1o，這個二次函數(shù)的解析式為 y=x2 - 3xo(2)如圖，過點(diǎn) B做BD,x軸于點(diǎn)D,令 x2 - 3x=0,解得：x=0 或 3。AO=3

7、。1 一 一. AOB 的面積等于 6, . AO?BD=6。 . BD=4。2點(diǎn)B在函數(shù)y=x2-3x的圖象上， .,.4=x2- 3x,解得：x=4 或 x=-1 (舍去)。又頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1.5, - 2.25),且2.25V4,，x軸下方不存在B點(diǎn)。，點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(4,4)。(3)存在。,一點(diǎn) B 的坐標(biāo)為：(4, 4) , Z BOD=45 , BO J4242 4 J2。若/ POB=90 ,貝U / POD=45。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, x2 - 3x)。：.x| x2 3x。若x x2 3x ,解得x=4或x=0 (舍去)。此日不存在點(diǎn)P (與點(diǎn)B重合)。2若x x 3x ,解得

8、x=2或x=0 (舍去)。當(dāng) x=2 時，x2 - 3x= - 2o，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, - 2)。11-PO?BO=- 0& X2J2 =8。OP 業(yè)2 22 272。/POB=90, .POB 的面積為:3.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( 2, 0),且經(jīng)過點(diǎn)(4, 1),1 如圖，直線y= -x與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，直線l為y=-1.4(1)求拋物線的解析式；(2)在l上是否存在一點(diǎn) P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)知F (x, y)為平面內(nèi)一定點(diǎn)， M (m, n)為拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn) M到直線l的距離與點(diǎn)M到

9、點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn) F的坐標(biāo).128y= x2- x+1. (2)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1)(3)定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1）.【解析】分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 0）,可設(shè)拋物線的解析式為 y=a （x-2） 2,由拋 物線過點(diǎn)（4, 1）,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線 AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B；連接AB交直線l于點(diǎn)P,此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn) B的 坐標(biāo)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線 AB的解析式，再 利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn) P的坐

10、標(biāo)；（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出(1 - -yo) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出關(guān) 2 2于xo、yo的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo).詳解：（1）二拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 0）, 設(shè)拋物線的解析式為 y=a （x-2） 2.;該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4, 1）,1=4a,解得：a=,4，拋物線的解析式為 y=- （x-2）2= -x2-x+1.44（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：1yx44,解得:1 2y= -x x 14x2=4y2=1點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1, 作

11、點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B,連接AB交直線l于點(diǎn)P,此時PA+PB取得最小值（如圖）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4, 1）.4點(diǎn) B (4, 1)，直線 l 為 y=-1, .點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4, -3).設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b （kwQ ,將 A (1, 1)、B，(4, -3)代入 y=kx+b,得:4,131k=kb= 口124,解得：12,，人.44kb= 3b= 3直線AB的解析式為y=-13x+4 , 123當(dāng) y=-1 時，有x+=-1,12328解得：x=, 13點(diǎn)P的坐標(biāo)為(”，-1) .13(3)二點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等, (m-xo) 2+ (n-yo)

12、 2= (n+1) 2,m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1. M (m, n)為拋物線上一動點(diǎn)，n= m2-m+1 ,4m2-2xom+x02-2y0 (m2-m+1) +yo2=2 4(1m2-m+1) +1, 42+ (2-2xo+2yo)m+xo2+y02-2yo-3=0.整理得： （1- - yo） m2 2. m為任意值，1 11 y0= o2 22 2xo 2y。=0,x。2 y。2 2y0 3= Ox0=2 yo=1，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1）.點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程

13、組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短找出點(diǎn)P的位置；（3）根據(jù)點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐 標(biāo)特征，找出關(guān)于 xo、yo的方程組.4.童裝店銷售某款童裝，每件售價(jià)為60元，每星期可賣100件,為了促銷該店決定降價(jià)銷售 經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元,每星期可多賣10件，已知該款童裝每件成本 30元，設(shè)降價(jià)后該款童裝每件售價(jià) X元，每星期的銷售量為 y件.降價(jià)后，當(dāng)某一星期的銷售量是未降價(jià)前一星期銷售量的3倍時，求這一星期中每件童裝降價(jià)多少元？（2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時，一星期的銷售利潤最大，最

14、大利潤是多少？【答案】（1）這一星期中每件童裝降價(jià)20元；（2）每件售價(jià)定為50元時，一星期的銷售利潤最大，最大利潤 4000元.【解析】【分析】（1）根據(jù)售量與售價(jià)x （元/件）之間的關(guān)系列方程即可得到結(jié)論.（2）設(shè)每星期利潤為 W元，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題.【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，（60-x） X 10+100= 3X 100解得：x=40,60- 40=20%,答：這一星期中每件童裝降價(jià)20元；（2）設(shè)利潤為w,根據(jù)題意得，w=（X-30） （60-x） X 10+100= - 10X2+1000X- 21000=-10 （x- 50） 2+4000,答：每件售價(jià)定為

15、 50元時，一星期的銷售利潤最大，最大利潤4000元.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題， 利用圖象法解一元二次不等式，屬于中考常考題型.5.如圖，某足球運(yùn)動員站在點(diǎn) O處練習(xí)射門，將足球從離地面 0.5m的A處正對球門踢出 （點(diǎn)A在y軸上），足球的飛行高度 y（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間滿足函數(shù)關(guān)系 y= at2+5t + c,已知足球飛行 0.8s時，離地面的高度為 3.5m.（1）足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飛行的水平距離 x（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系 x=10

16、t,已知球門的高度為2.44m,如果該運(yùn)動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28m,他能【答案】（1）足球飛行的時間是 3 s時，足球離地面最高，最大高度是4.5m； （2）能.5試題分析：(1)由題意得：函數(shù) y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過(0, 0.5) (0.8, 3.5),于是得,求得拋物線的解析式為:時，y最大,0.至9*0. 8、+5 X8-Fc=4.5;(2)把 x=28代入 x=10t 得 t=2.8,當(dāng) t=2.8 時，y=25 a-轉(zhuǎn)X2&5X 2.8+=2.252.44,于是得到他能將球直接射入球門.解：(1)由題意得：函數(shù) y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過(0, 0.5

17、)(0.8, 3.5),0. 5二cl3. 5二。 8 a 2+5 乂0. 8-Fc解得:22516拋物線的解析式為:y=-+當(dāng)t=:時，y最大=43；(2)把 x=28代入 x=10t 得 t=2.8,251當(dāng) t=2.8 時，y=匿 * 22+5 X 2.8+=2.25他能將球直接射入球門.考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.2.44,6.如圖，已知頂點(diǎn)為 C(0, 3)的拋物線y ax2y x m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B.(1)求m的值；(2)求函數(shù)y ax2 b(a 0)的解析式；(3)拋物線上是否存在點(diǎn) M ,使得 MCB 15b(a 0)與x軸交于 A, B兩點(diǎn)，直線?若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存【答

18、案】(1)-3;(2)y-x2-3;(3) M 的坐標(biāo)為(3 J3 ,6)或(J3 ,-2)3【解析】【分析】(1)把C (0, -3)代入直線y=x+m中解答即可；(2)把y=0代入直線解析式得出點(diǎn) B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可;(3)分M在BC上方和下方兩種情況進(jìn)行解答即可.【詳解】(1)將 C (0, -3)代入 y=x+m,可得：m = - 3;(2)將y= 0代入y= x 3得：x= 3,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0),將(0, - 3)、(3, 0)代入 y=ax2+b 中，可得：b 39a b 01ft,a -解得： 3 ,b 3所以二次函數(shù)的解析式為：y 1x2-

19、3;3(3)存在，分以下兩種情況：若M在B上方，設(shè)MC交x軸于點(diǎn)D,則/ ODC= 45 +15 =60,.OD=OC?tan30 向，設(shè)DC為y=kx-3,代入（73 , 0）,可得：k8,y . 3x 3聯(lián)立兩個方程可得：1,2y x 3一x1解得：30 x2 3、3c，3y2 6所以 M1 (373, 6);若M在B下方，設(shè) MC交x軸于點(diǎn)E,則/ OEC= 45 -15 = 30,.OE= OC?tan60 =3 事,設(shè)EC為y= kx- 3,代入（3J3, 0)可得：k3聯(lián)立兩個方程可得:3x 3x3 ,-x2 33解得:XiX2所以M2綜上所述yiy2M的坐標(biāo)為（3J3, 6)或(

20、J3, -2).【點(diǎn)睛】此題是一道二次函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識是解題關(guān)鍵.7.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2, 0）,且經(jīng)過點(diǎn)（4, 1）,1 如圖，直線y= x與拋物線父于 A、B兩點(diǎn)，直線l為y= - 1.4（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點(diǎn) P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）知F（Xo, yo）為平面內(nèi)一定點(diǎn)， M （m, n）為拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn) 距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn) F的坐標(biāo).M到直線l的128y=-x2-x+1. （2）點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（一，13T) .

21、 (3)定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1）.【解析】分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2, 0）,可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2) 2,由拋物線過點(diǎn)（4, 1）,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線 AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B；連接AB交直線l于點(diǎn)巳此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn) B的 坐標(biāo)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線 AB的解析式，再 利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出（1-

22、1-lyo） m2+ （2-2xo+2yo） m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出關(guān)于X0、y0的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo).詳解：（1）二拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 0）, 設(shè)拋物線的解析式為 y=a （x-2） 2.;該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4, 1）,1- 1=4a,解得：a=, 4，拋物線的解析式為 y= （x-2） 2=x2-x+1.44（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：_1yx412yx4x-l= 11 x2=41y= 一 y2=11、點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,一）4作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4, 1）.B,連接AB交直線l于點(diǎn)P,此時PA+PB取得

23、最小值（如圖14丁點(diǎn) B （4, 1）,直線 l 為 y=-1,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4, -3）.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b （kwQ ,將 A (1, 1)、B (4, -3)代入 y=kx+b,得:4,1k b= 口4,解得:4k b 313k=124 b3直線AB的解析式為y=34,123當(dāng) y=-1 時，有-!3x+3=-1, 12328 解得：x=,13，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,-1).13(3)二點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等, (m-xo) 2+ (n-yo) 2= (n+1) 2,-1 m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1. M (m, n)為拋物線上

24、一動點(diǎn)，.-.n=-m2-m+1, 4 . m2-2xom+x02-2y0 (m2-m+1) +yo2=2 4(1m2-m+1) +1, 4整理得：(1 - - yo) m2 22+ (2-2xo+2yo)m+xo2+y02-2yo-3=0. m為任意值,11_八1 y0= o2 2 2 2xo 2yo=O 22xy02 yo 3= 0x0=2 yo1，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2, 1).點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次(一次)函數(shù)解析式、二次(一次)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；(2)利用兩點(diǎn)之間線段最

25、短找出點(diǎn)P的位置；(3)根據(jù)點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐 標(biāo)特征，找出關(guān)于 xo、yo的方程組. 28.我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線解析式可以是y=ax bx a o。(1)對于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 1）時，a=_ ;當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m, m） , mo時，a與m之間的關(guān)系式是 ；（2）繼續(xù)探究，如果 bwQ且過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y=kx k 0上，請用含k的代數(shù)式表小b;（3）現(xiàn)有一組過原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)Ai, 2,，An在直線y=x上，橫坐標(biāo)依次為1,2,，n （n為正整數(shù)，且nwi?,分別過每個頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為Bi, B2,

26、B3,，Bn,以線段AnBn為邊向右作正方形 AnBnQDn,若這組拋物線中有一條經(jīng)過點(diǎn)Dn,求所有滿足條件的正方形邊長。1b【答案】（1） 1； a= 一（2）=km4a【解析】b2a(3) 3, 6, 9一1斛：（1） 1 ； a= 一 。m（2）二.過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)b b一,一在直線y=kx k 0上,2a 4ab2=k4ab2ab wq b= 2k。（3）由（2）知，頂點(diǎn)在直線 y=x上，橫坐標(biāo)依次為1, 2,，n （n為正整數(shù)，且12_12n 12 的拋物線為：y= - x n n ,即 y= -x 2x o nn對于頂點(diǎn)在在直線 y=x上的一點(diǎn)Am （m, m） （ m為正整數(shù)，

27、且 mn）,依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m,點(diǎn)Dm坐標(biāo)為（2 m, m）,12右點(diǎn)Dm在某一拋物線 y= -x 2x上，則n1-23m= - 2m 2 2m ,化簡，得 m= - n。 n4m, n 為正整數(shù)，且 mK nw,12. n=4, 8, 12, m=3, 6, 9。，所有滿足條件的正方形邊長為3, 6, 9。也=1（1）當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 1）時，由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，有為2 ，即4ac b=14a2=12aa= 1 o4a二m .2a當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m, m）,mo時，2b=m2am1=m a=。4am(2)根據(jù)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)2a

28、4a代入4ay=kx ,化簡即可用含k的代數(shù)式表示bo由于拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0,由此可求出 m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)。(3)將依題意，作的正方形 AmBmCmDm邊長為 m,點(diǎn)Dm坐標(biāo)為(2 m, m)，將(2 m,1 2m)代入拋物線y= x 2x求出m, n的關(guān)系，即可求解。 n9.如圖，(圖1,圖2),四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn) E在線段BC上, /AEF=90，且EF交正方形外角平分線 CP于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn) N, FN BC.(1)若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)(如圖1) , AE與EF相等嗎？(2)點(diǎn)E在BC間運(yùn)動時(如

29、圖 2),設(shè)BE=x, ECF的面積為y.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值 .【答案】(1) AE=EF (2) y=-ax2+2x (0x/2 =4,設(shè) P (m, m2+6m 5)，則 D (m, m 5),當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時，PD=- m2+6m 5 ( m 5) =- m2+5m=4,解得 mi =1, m2=4,當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時,PD=m5 ( m2+6m5) =m25m=4,解得 m1=5+241 , m2= 5-4j ,綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或竺亙或空包； 作ANBC于N, NHx軸于H,作AC的垂直平分線交 BC于Mi,交AC于E,

30、如圖2,4圖）.MiA=MiC,/ ACMi=Z CAMi,/ AMiB=2/ ACR ANB為等腰直角三角形, ，AH=BH=NH=2,.N (3, 2),易得AC的解析式為y=5x-5, E點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線EMi的解析式為y= - x+b,5把E （工，-5）代入得-+b=-10解得b=125直線EMi的解析式為y=-125y x 5解方程組1y x5I2得136176Mi13617、一）；6作直線BC上作點(diǎn)Mi關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn) 設(shè) M2 （x, x- 5）,M2,如圖 2,則 ZAM2C=Z AMiB=2/ACB,13 +x 3= J_223 . x=,6綜上所述，點(diǎn)13M的坐標(biāo)為（一，6

31、點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題:17、一 , 237、）或（,）.666熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式; 理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.11.復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y = 23一（他+ 1）工/+1 （k是實(shí)數(shù)）.教師：請獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論（性質(zhì)）寫到黑板上學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選擇如下四條： 存在函數(shù)，其圖像經(jīng)過（1,0）點(diǎn)；函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸總有三個不同的交點(diǎn)；當(dāng)時，不是y隨x的增大而增大就是y

32、隨x的增大而減?。?若函數(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負(fù)數(shù)；教師：請你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由，最后簡單寫出解決問題時所用的數(shù)學(xué) 方法.【答案】真，假，假，真，理由和所用的數(shù)學(xué)方法見解析 .【解析】試題分析：根據(jù)方程思想，特殊與一般思想，反證思想，分類思想對各結(jié)論進(jìn)行判斷.試題解析：真，假，假，真.理由如下：將（1,0）代入 y =+ l 得保+ l）i + l = O,解得卜=0存在函數(shù)一 +其圖像經(jīng)過（1,0）點(diǎn).結(jié)論為真.舉反例如，當(dāng)好0時，函數(shù)1的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個不同的交點(diǎn).，結(jié)論 為假.（k是實(shí)數(shù)）的對稱軸為當(dāng)?shù)?。時，二次函數(shù)y =+ l-(

33、4k + I)1r =-= 1 + 位就可舉反例如，當(dāng)“二1時，二次函數(shù)為八縱 弱, 551x -當(dāng)4時，y隨x的增大而減??；當(dāng),時，y隨x的增大而增大 結(jié)論為假.當(dāng)日時，二次函數(shù),=2依TM +1)工-A + 1的最值為4M-挺24h2 + 1場二40 二一皿 ?當(dāng)1fc 時，有最小值，最小值為負(fù)；當(dāng) 卜七時，有最大值，最大值為正.，結(jié)論為真.解決問題時所用的數(shù)學(xué)方法有方程思想，特殊與一般思想，反證思想，分類思想考點(diǎn)：1.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；2.二次函數(shù)的性質(zhì)；3.方程思想、特殊元素法、反證思想和分類思想的應(yīng)用.12.如圖，拋物線與 x軸交于點(diǎn)A ( 3, 0)、點(diǎn)B (2, 0),

34、與y軸交于點(diǎn)C (0, 1), 連接BC.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)點(diǎn)N為拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn) N作NP，x軸于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t1飛 (4),求 ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；1一 _ f 2(3)若 3且* 0時OPNCOB,求點(diǎn)N的坐標(biāo).”)或(1 , 2).【解析】1y = a(x + -)(x-2)試題分析：(1)可設(shè)拋物線的解析式為3,用待定系數(shù)法就可得到結(jié)論；丁(2)當(dāng)時，點(diǎn)N在x軸的上方，則NP等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，只需求出 AB,就 可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；1(3)由相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO.而PO=f ,需分和0vtv2兩種情況- 0,、；,TU5

35、9 - I0560, /.t= 6,此時點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3535當(dāng) 0v tv 2 時，PN=/a，I=,PO= =t,+ l = 2t得:0, 0v1v2,，t=1,此時點(diǎn)N的坐標(biāo)綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ 考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；)或(1, 2).2.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；3.相似三角形的性質(zhì).銷售量p （件）P=50x銷售單價(jià)q （元/件）一1當(dāng) 1x20, q 30 -x 2一525當(dāng) 21x40, q 20 x13.某大學(xué)生利用暑假 40天社會實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示.(1)請計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/

36、件？(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)第10天或第35天該商品的銷售單價(jià)為 35元/件(2)2625015x 500 1525 21 xx 2040(3)這40天中該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是725元【分析】(1)分另將q=35代入銷售單價(jià)關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，求出 x即可.(2)應(yīng)用利潤=銷售收入一銷售成本列式即可.(3)應(yīng)用二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，分別求出最大值比較即得所求.【詳解】 一，1解：(1)當(dāng) 1WxW20,令 q 30 -x 35,解得；x 10;2525當(dāng) 21wxw4

37、0,令 q 20 35 ,解得；x 35.x.第10天或第35天該商品的銷售單價(jià)為 35元/件.， 一， 1(2)當(dāng) 1x200, y 30 -x 20 50 x21 2x 15x 500 ； 2525當(dāng) 21WxW40, y 20 20 50 x x26250 .y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y2625015x 500 1525 21 xx 20401, 2-x 15612.5,2- 一1 2(3)當(dāng) 1x0, 隨著x的增大而減小，x,2625026250，當(dāng)x=21時，y525有取大值 乎,且 y2525 725 .x21-y1 y2,這40天中該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是725元.1

38、4.空地上有一段長為 a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,已知木欄總長為100米.(1)已知a=20,矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米.如圖1,求所利用舊墻 AD的長；(2)已知0VaV 50,且空地足夠大，如圖 2.請你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值.4廣。一 f乂一式空地8C圖1圖2【答案】(1)利用舊墻AD的長為10米.(2)見解析.【解析】【分析】(1)按題意設(shè)出 AD,表示AB構(gòu)成方程；(2)根據(jù)舊墻長度 a和AD長度表示矩形菜園長和寬，注意分類討論s與菜園邊長之間的數(shù)量關(guān)系.【詳解】100- x(1)設(shè)AD=x米，則 AB=-00米依題意得，X(100 x)=450 2解得 X1 = 10, X2=90a=20,且 xWa x=90舍去 利用舊墻AD的長為10米.(2)設(shè)AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意得：S=X(100 X)= -(x 50)2 1250, 0xa 22,0a50 .x