數(shù)列經(jīng)典例題(裂項相消法)

1、數(shù)列裂項相消求和的典型題型11.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a5 5,S5 15,貝U數(shù)列J 的前100項和為()anan 11009999101A而 B 101 C 100 D 1001 .一一 一 . 92 .數(shù)列an ,其刖n項之和為 一，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線 (n 1)x y n 0在y軸上的截距n(n 1)10為()A. 10 B. 9 C. 10 D. 93 .等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且 2al 3a21,a2 9a2a6.(I )求數(shù)列an的通項公式；1(n)設(shè) bnlog 3 al log3 a2 log3 an,求數(shù)列一的刖門項和.bn4 .正項數(shù)列an滿足

2、a2 (2n 1)an 2n 0.(I )求數(shù)列an的通項公式an ；1(n )令bn ,求數(shù)列 bn 的刖n項和Tn .(n 1)an5.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,且S44s2,a2n 2an 1.(I )求數(shù)列an的通項公式;(n )設(shè)數(shù)列bn滿足絲 a1a2bnan,1, *1 ,n N，求bn的刖n項和Tn.26.已知等差數(shù)列an滿足：a3 7,a5 a726 . an的前n項和為Sn .(I )求 an 及 Sn ；人.1,.*、 (n)令bn(n N ),求數(shù)列bn的前n項和Tn.an 11 27 在數(shù)列an中，a11,2an 1(1 一)an -n(I )求m的通項公式；

3、1i_一 an,求數(shù)列bn的前n項和Sn ；2(出)求數(shù)列an的前n項和Tn.8 .已知等差數(shù)列an的前3項和為6,前8項和為-4.(I )求數(shù)列an的通項公式；(n)設(shè) bn(4 an)q (q 0,n N，求數(shù)列bn的刖 n 項和 Sn .29 .已知數(shù)列an滿足 a10,a22,且對 m,n N 都有 a?m 1 a2n 1 2am n 12(m n).(i )求 a3,a5 ；、一 , , - * _ _ (n)設(shè)bna2n 1 a2n i(n N ),證明：bn是等差數(shù)列；n 1*、(出)設(shè) Cn (an 1 an)q (q 0,n N ),求數(shù)列Cn的前 n 項和 Sn .10 .

4、已知數(shù)列an是一個公差大于 0的等差數(shù)列，且滿足 a3a6 55,a2 a7 16 .(i )求數(shù)列an的通項公式；b1b2b3bn*. 一 一 .一 一一(n)數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式an (n N ),求數(shù)列bn的前n項和Sn .2 22211 .已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；4n(2)令b2( 1),求數(shù)列bn的前n項和Tn.a n an 12. 2212 .正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S： (n2 n 1)Sn (n2 n) 0.(1)求數(shù)列an的通項公式an ；.n 15(2)令bn 2-,數(shù)列bn的前n項

5、和為Tn,證明：對于 n N ,都有Tn .(n 2) an64答案：q2：1. A; 2. B3 .解：(I )設(shè)數(shù)列an的公比為q,由a32=9a2a5有a32=9a42,由條件可知各項均為正數(shù)，故q=士.3ai =由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q=1 , .1 故數(shù)列an的通項式為a =J.(n) bn=l門】+=-(1+2+ +n) = _1rl(n+D2n (ntl)則上 如+ + :b2 %2 ( 1 n+1)+ ( - ) +-)=一，數(shù)歹U 工的前n項和為一%2nn+14 .解：(I )由正項數(shù)列an滿足:可有(an -2n) (&+1) =0an=2n .

6、(n ) . an=2n , bn=(nH) anbn =(n+1) /,1 4-上)2n (n+1)2 n rrhlnfln+140-n+12n+2數(shù)列bn的前n項和Tn為02n+25 .解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的首項為4,公差為d,由S4=4S2, a2n=2an+1有:4包+6d± &已+4dC2n-1)出 羯+2 (n-l?+4解有 a1=1 , d=2 .(n )由已知-+ -+力a2+2=1- an1當(dāng)n=1時,2'當(dāng)n>2時,殳=(1-*由(I)知，an=2n - 1, n C N ._ * n C N又 Tn= + 22n- 1.lTn=A.+J

7、L+2+6.解：(I )設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,-2 3=7, %+a7=26,，有,Ja#10d二 26解有 ai=3 , d=2 , . an=3+2 (n - 1) =2n+1 ;&= 3n+0° ' X 2=n 2+2n ;(n )由(I )知 a=2n+1 ,1 L 1_11 _L a 1=-a，-2(2n+l ) 2 - 1 口 口(口+1)。拄 n+1.Tn41n+14 (n+1)'即數(shù)列bn的前n項和Tn=4 (n+1) ,7 .解：(I )由條件有-弋，又 n=1時，-7=1(n+1) " 2nsn2故數(shù)列 E 構(gòu)成首項為1,公式

8、為仁的等比數(shù)列.n上(n)由人口二(n+1；2n4l 1口當(dāng)今2J2n- 1 .2n+l兩式相減，有:將42 (與當(dāng)二)一結(jié)2 0 £/ n J 7n£不（出）由Sn=（江井；/一+ 口田）（已+久+十%）有T勺+91rrM工Tn=,J即 bn+1 bn=88 .解：（I ）設(shè)aj的公差為d,“3中知二6由已知有g(shù)%+28把一 4解有 a1=3, d= - 1故 an=3+ (n1) (1) =4 n;(n)由(I)的解答有，bn=n?qn 1,于是Sn=1?q°+2?q1+3?q2+- +n?qn 1.若qw1,將上式兩邊同乘以q,有 qSn=1?q1+2?q2

9、+3?q3+- +n?qn.上面兩式相減，有n2n 1n(q-1) Sn=nq - ( 1+q+q 2+- - +q 1) =nq -q- 1干小士一 E zz丁 Sn=(q-L) 2升，n (n+1)右 q=1 ,貝U Sn=1+2+3+ +n=回向-(I)(用). -29.解：(I )由題意，令 m=2 , n=1 ,可有 %=2a2 a1+2=6再令 m=3 , n=1 ,可有 as=2a3- a1+8=2°(n)當(dāng) nCN 時，由已知(以 n+2 代替 m)可有 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8于是a2 (n+1) +1 a2 (n+1 ) 1 - ( &n+

10、1 - a2n - 1) =8bn是公差為8的等差數(shù)列(出)由(I ) (n )解答可知bn是首項為bi=a3-ai=6,公差為8的等差數(shù)列貝U bn=8n -2,即 a2n+i a2n i=8n 2另由已知(令m=1 )可有2an= ( n 1)202nH<1a2n- 12n+1=二2-2n+1=2nn 1于是cn=2nq當(dāng) q=1 時，Sn=2+4+6+2n=n(n+1)當(dāng) qwi 時，&=2?q0+4?q1+6?q2+ -+2n?qn 1兩邊同乘以q,可有qSn=2?q1+4?q2+6?q3+- +2n?qn.上述兩式相減，有(1 - q) Sn=2 (1+q+q 2+q

11、n b - 2nqn=2?"2nqn=2?'"1'-''1 " Q1 - qs n=2?nq"十1)q'l(q-I) 2綜上所述,Sn=n (n41)("1)凸 nq同一(n+1) Y + l(q-1) 之(HD10 .解：(I )設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則依題意可知d>0由c2+a7=16, 有，2a1+7d=16 由 a3a5=55,有(ai+2d) (a1+5d) =55 ，一、，20 ，一由聯(lián)立方程求，有d=2 , a1=1/d= -2, a1=-(排除).an=1+ (n- 1) ?2=

12、2n T、人(n)令 Cn=,貝U有 an=C1+C2+Cn2nan+1=Ci+C2+. +Cn+1兩式相減，有3n+1 3n=Cn+1 ,由(1)有 ai=1 , 3n+1 Sn=2 C n+1=2 ,即 Cn=2 ( n> 2),即當(dāng)n>2時,n+1bn=2,又當(dāng) n=1 時，b=2a=2(2, (n=l)于是 Sn=b 1+b 2+b 3+b n=2+2 +2 +-2=2-6, n>2,口2 回n (泮-6n>22X111 .解 (1)因為 S = &, S=2a1+-2-x2= 2a1 + 2,4X 3&=4a + -2-x 2=4a + 12,

13、由題意得(2a + 2)2= a1 (4a + 12),解得 a1 = 1,所以 an=2n- 1.4n(2)bn=(-1)n 1aian+ 114n(T)'(2n-1)(2n+1)1=(1)n1(+2n 112n+ 1)。當(dāng)n為偶數(shù)時,11 1111112nTn= (1+3)-(3+5)+,+ (2n3+2i)- (2nn+2nz1 )=1-2nn=2nzi .當(dāng)n為奇數(shù)時，11 1111112n+2Tn= (1+3)-(3+5)+ - (2n=3)+(+而H)=1 + 2nZ1=云，1.所以Tn =2n+22n+1'n為奇數(shù),2n2n+1, n為偶數(shù).(或 Tn =2n+ 1+( 1)n1.2n+ 112 .解 由 Sn(n2+n1)S (n2+n)= 0, 得S(n2+ n)(S+1)=0,由于an是正項數(shù)列，所以 S+1>0.所以 Sn= n2+ n(n£ N*).n>2 時，an= Sn Si=2n,n=1時，ai=Si=2適合上式.an= 2n(n C