數(shù)學建模練習題復習進程

1、數(shù)學建模習題題目11 .在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎。 比如潔銀 牙膏50g裝的每支1.5元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1. 試用比例方法構造模型解釋這個現(xiàn)象。(1)分析商品價格C與商品重量w的關系。價格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其他 成本等決定，這些成本中有的與重量 w成正比，有的與表面積成正比，還 有與w無關的因素。(2)給出單位重量價格c與w的關系，畫出它的簡圖，說明w越大c越小，但 是隨著w的增加c減小的程度變小，解釋實際意義是什么。解答：(1)分析：生產(chǎn)成本主要與重量 w成正比，包裝成本主要與表面積 s成正比， 其他成本也包含

2、與w和s成正比的部分，上述三種成本中都包含有與 w,s均無關的成本。又因為形狀一定時一般有S oc,故商品的價格可表示 為C = CCtD +日33+ y （ a , B , 0為大于0的常數(shù)）(2)單位重量價格C = = Q+產(chǎn)3一1,顯然c是w的減函數(shù)。說明大包裝比小包裝的商品更便宜，曲線是下凸的，說明單價的減少值隨著包裝 的變大是逐漸降低的，不要追求太大包裝的商品。函數(shù)圖像如下圖所示：題目22 .在考慮最優(yōu)定價問題時設銷售期為 T,由于商品的損耗，成本q隨時間增長， 設q=中m + 0t, B為增長率。又設單位時間的銷售量為M=a-bp(p為價格)。今將銷售期分為U<t<T/

3、2和T/2Mt<T兩段，每段的價格固定，記為求巧,巧的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤最大。如果要求銷售期T內(nèi)的總銷售量為Qu,再求取,辦的最優(yōu)值 解答：由題意得：總利潤為】（，=» 產(chǎn) 尿:二出+（艮 洌河0 事.）赤 2=.一1-一一 ,- - - I - : 一 ： 一 .由日訂c dU由 一=0, _0,可得最優(yōu)價格P1 =京口 + %。+ 知，1.T 二' 一 設總銷量為Qn,T. TbTQ» = J (a bpjdt 十% (a-bpdt =" 一萬二十局)在此約束條件下u（叫,內(nèi)）的最大值點為題目33 .某商店要訂購一批商品零售，設購進價 ”

4、，售出，訂購費C0（與數(shù)量無關），隨機需求量r的概率密度為p（r）,每件商品的貯存費為心（與時間無關）。問如何確定訂購量才能使商店的平均利潤最大，這個平均利潤是多少。為使這個平均利 潤為正值，需要對訂購費Co加什么限制？解答：J(u設訂購量為u,則平均利潤為rpfrJdT + I up(r) dr j - 15 + 白血 + c* 1 (u - F)p(r)dr，褪/Jq=(-fi)u - % 一 (R + c3)I Q - r)p(r) drU的最優(yōu)值記滿足p(r)fdr = W最大利潤為J3) = & + c3)；rp(r)dT c口.為使這個利潤為正值，應有.題目44 .雨滴勻速

5、下降，空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積成正比，試確定雨速與雨滴質(zhì)量的關系。解答：雨滴質(zhì)量m,體積V,表面積S與某特征尺寸l之間的關系為mocVocF ,E a產(chǎn)，可得雨滴在重力冗和空氣阻力段的作用下以勻速v降落，所以A=/s,而& be，E b 5爐“由以上關系得廿ocm"E .題目55 .某銀行經(jīng)理計劃啊用一筆資金進行有價證券的投資， 可供購進的證券以及其信 用等級、到期年限、收益如表1所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其 他證券的收益需按50%勺稅率納稅。此外還有以下限制：1) 政府及代辦機構的證券總共至少要購進 400萬元；2) 所購證券的平均信用等級不超過1

6、.4 (信用等級數(shù)字越小，信用程度越 高)；3) 所購證券的平均到期年限不超過 5年。表1證券信息證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益/%A巾政294.3B代辦機構2155.4C政府145D政府134.4E巾政524.5問：(1)若該經(jīng)理有1000萬元資金，應如何投資？(2)如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理如何操作？(3)在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%,投資應否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8%,投資應否改變？解答：(1)設投資證券A,B,C,D,E的金額分別為町.4事無也軟(百萬兀)，按照規(guī)定、限制和1000萬元資金約束，列出

7、模型max 0.043X1 + 0.027x3 + 0.0251 + 0.022x4 + 0.045x£s.t.- ：cr1 + xa -I- r3 + x4 +< 10+.r： +a4+5jf5 xi+jra*Y1+< 1.4,即 6Hli + 6d叼4x3 4r4 + 3 6 Ts, < 0臟./15 *十&# s+Ir4十工hM工二+事）嗎即 4r1 +10r2 x3 2r4 3x£ < 0巧，巧:，%， 0用LINGO求解得到：證券A,C,E分別投資2.182百萬元，7.364百萬元， 0.454百萬元，最大稅后收益為 0.298百萬

8、元。（2）由（1）的結果中影子價格可知，若資金增加100萬元，收益可增加0.0298 百萬元。大于以2.75%的利率借到100萬元資金的利息，所以應借貸。投 資方案需將上面模型第二個約束右端改為 11,求解得到：證券A,C,E分 別投資2.40百萬元，8.10百萬元，0.50百萬元，最大稅后收益為0.3007 百萬元。（3）由（1）結果中目標函數(shù)系數(shù)的允許范圍（最優(yōu)解不變）可知，證券 A的 稅前收益可增加0.35%,故若證券A的稅前收益增加為4.5%,投資不應改 變；證券C的稅前收益可減少0.112% （按50%勺稅率納稅），故若證券C 的稅前收益減少為4.8%,投資應該改變。題目66.某公司

9、將4種不同含硫量的液體原料（分別記為甲、乙、丙、?。┗旌仙a(chǎn)兩 種產(chǎn)品（分別記為A,B）0按照生產(chǎn)工藝的要求，原料甲、乙、丁必須首先倒入 混合池中混合，混合后的液體再分別為原料丙混合生產(chǎn)A,B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別為3% 1% 2% 1%進貨價格分別為6,16,10,15 （千元/t ）; 產(chǎn)品A,B的含硫量分別不能超過2.5,1.5 （%,售價分別為9,15 （千元/t ）。根 據(jù)市場信息，原料甲、乙、丙的供應沒有限制，原料丁的供應量最多為50t;產(chǎn)品A,B的市場需求量分別為100t, 200t。問應如何安排生產(chǎn)？ 解答： 設無,冬分別是產(chǎn)品A中是來自混合池和原料內(nèi)的噸數(shù)， 加

10、，與分別是產(chǎn)品B中來 自混合池和原料內(nèi)的噸數(shù)；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分別為如內(nèi)X- 優(yōu)化目標是總利潤最大，即max（9 8 15 七15文）力 + （15 6r1 162 15r4）yz +（9 10）%+ CIS- 10）z2約束條件為：1）原料最大供應量限制：融仇+珀 502）產(chǎn)品最大需求量限制：（為十的） * （為+的） 20。3）產(chǎn)品最大含硫量限制：對產(chǎn)品A, 2.5,即（3町+嗎+靠* - 25）鳧。,5句 C心十國1對產(chǎn)品B,類似可得一 _ ，二. .- 一一二. 一4）其他限制：（*1 +打）=1, x17，小北小y1,卬 玲 NO用LINGOJ#解得到結果為：%二打二

11、05 %=%=100,其余為0;目標函數(shù)值為450.題目77 .建立耐用消費品市場銷售量的模型。如果知道了過去若干時期銷售量的情況，如何確定模型的參數(shù)？解答：設耐用品銷售量為x（t），可用logistic 模型描述x（t）的變化規(guī)律，即£=kx（N-x）,其中N是市場飽和量，k是比例系數(shù)，N, k,可由過去若干時期的銷售量航（幻1=12確定，不妨設務I 一片=At = 1,則方程可離散化為g =次N*_ kxj,可取肛+士 一再或（工打士 一 X.-1J/2, N和k可由最小二乘法估計。題目88 .在魚塘中投放小尾魚苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾的質(zhì)量將增加。（1）設尾數(shù)n（t

12、）的（相對）減少率為常數(shù)；由于喂養(yǎng)引起的每尾魚質(zhì)量的增 加率與魚的表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚質(zhì)量的減少率與質(zhì)量本 身成正比。分別建立尾數(shù)與每尾魚質(zhì)量的微分方程，并求解。（2）用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減少量|“）北|表示，記作E,即單位時間捕獲量是En（t）.問如何選擇T 和E,使從T開始的捕獲量最大。解答：(1)尾數(shù)n(t)滿足幾=-n(0)=%得= n"一盤.每尾魚重w(t)滿足必=aw'用一白酬，不妨近似設w(0)=0 ,得必母=甘)(1 總一許那) 3 .(2)設t=T時開始捕撈，且單位時間捕撈率為 E,則tm T時有九

13、=一(A +玲k , 因此得成。=如犯£-a+總理一門，單位時間捕撈魚的尾數(shù)為En(t),每尾魚重 w(t),所以從T開始的魚捕撈量是y = J；w(t)£0dt =(一/的岫丁E%e五一伏+后八dr ,問題為求九E使y最大，可用數(shù)值法求解。題目99 .速度為v的風吹在迎風面積為s的風車上，空氣密度是P。用量綱分析方法確定風車獲得的功率P與v,s, P的關系。解答：設Npm號8=0,量綱表達式：=ImT句=LT 7國=比=加解得F(H)=。，IT = pT鏟,故p =址F$p(又是無量綱常數(shù))。題目1010 .大陸上物種數(shù)目可以看做常數(shù)，各物種獨立地從大陸向附近一島嶼遷移。

14、島 上物種數(shù)量的增加與尚未遷移的物種數(shù)量有關，而隨著遷移物種的增加又導致島 上物種的減少。在適當假設下建立島上物種數(shù)的模型，并討論穩(wěn)定狀況。解答：植物、哺乳動物、爬行動物的數(shù)量分別記作口立式a式0.若不考慮自然資源 對植物生長的限制，則模型為刈=富6 -幾H J 龜=M式F +心血-X0,X3 =孫(一嗎!八%)平衡點為Pl (0, 0,0),臉產(chǎn)題目1111 .下表列出了某城市18位35-44歲經(jīng)理的年平均收入力（千元），風險偏好度打和人壽保險額y （千元）的數(shù)據(jù)，其中風險偏好度是根據(jù)發(fā)給每個經(jīng)理的問卷調(diào) 查表綜合評估得到的，它的數(shù)值越大就越偏愛高風險。研究人員想研究此年齡段 中的經(jīng)理所投保

15、的人壽保險額與年均收入及風險偏好度之間的關系。研究者預 計，經(jīng)理的年均收入和人壽保險額之間存在著二次關系，并有把握的認為風險偏好度對人壽保險額有線性效應，但對于風險偏好度對人壽保險額是否有二次效應 以及兩個自變量是否對人壽保險額有交互效應，心中沒底。請你通過表2中的數(shù)據(jù)建立一個合適的回歸模型， 驗證上面的看法，并給出進一 步的分析。表2序 號123456789y1966325284126144949 1266x166.2940.9672.99645.0157.20426.85238.12235.8475.796x2751064546 19序 號101112131415161718y491059

16、8771456245133 1133x137.4154.3846.18646.1330.36639.0679.3852.76655.916x2527 ；43518 16解答：，最終的回歸方程為9 = -623489 + 0.8396巧+ &6R46& +也0371瘟，且髀=0.9996,F = 11070.2944? V 0.0001（如模型中加入.吆巧電項，其回歸系數(shù)置信區(qū)間均含零點）。表明只有經(jīng)理們的年均收入及其二次項和風險偏好度本身 對他們投保的人壽保險額有顯著影響。題目1212 .表3給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本（單位：元）的數(shù)據(jù)，從散點 圖可以明顯的發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)

17、批量在500以內(nèi)時，單位成本對生產(chǎn)批量服從一種線性 關系，生產(chǎn)批量超過500時服從另一種線性關系，此時單位成本明顯下降。希望 你構造一個合適的回歸模型全面的描述生產(chǎn)批量與單位成本的關系。表3生產(chǎn)批量650340400800300600720480440540750單位成本2.48 4.454.52 ；1.384.65 2.96 2.18 4.04 ；4.23.11.5生產(chǎn)批量與單位成本分別記作 x和y,為表示x在500以下和以上時，y與x的不同關系，引入一個虛擬變量 D,令口 = ! L工二500建立線性回歸模型 S, X < 500,產(chǎn)=屬+品零+隹5-£0加+春,得到參數(shù)參

18、數(shù)估計值參考置信區(qū)問B 06.16215.0368,7.2874B 1-0.0047-0.0074,-0.0020B2-0.0036-0.0076,0.0003當生產(chǎn)批量小于500時，每增加一個單位批量，單位成本降低 0.0047元；當生產(chǎn)批量超過500時，每增加一個單位批量，單位成本降低0.0047+0.0036=0.0083從散點圖看，也可以擬合x的二次回歸模型產(chǎn)=£口 + 6盧+隹1+£.題目1313 .在一項調(diào)查降價折扣券對顧客的消費行為影響的研究中，商家對1000個顧客發(fā)放了商品折扣券和宣傳資料，折扣券的折扣比例分別為5% 10% 15% 20%30%每種比例的折

19、扣券均發(fā)放了 200人，現(xiàn)記錄他們在一個月內(nèi)使用折扣券購 物的人數(shù)和比例數(shù)據(jù)如表4.表4折扣比例/%持折扣券人數(shù)使用折扣券人數(shù)使用折扣券人數(shù)比例5200320.1610200510.25515200700.35202001030.515302001480.74(1)對使用折扣券人數(shù)比例先做logit變換，再對使用折扣券人數(shù)比例與折扣 比例，建立普通的一元線性回歸模型。(2)直接利用MATLA的計工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人數(shù)比例 與折扣比例的logit模型。與(1)作比較，并估計若想要使用折扣券人 數(shù)比例為25%則折扣券的折扣比例應該為多大？解答：(1)記x為折扣比例，宜編為使

20、用折扣券人數(shù)比例，做logit變換出段),普通的一元線性回歸模型為 暇=%+隹% +號,這里沒有給出誤差項的形成，利用 MATLA毓計工具箱中的命令regress ,可算出 = -2.1860 + 0.1086:1,通過檢驗，高度顯著。（2）禾I用glmfit 命令可以得到疝目。（金）二片（言） = -2.1855+01曉7工,擬合程度也非常好。（1）中模型表面上看起來很好，其實在做估計和檢驗 時，需要對誤差項作較強的限制，而logit回歸克服了這一缺陷。又由1口 （六y =2855 + 0087戔解得覺=10,故想要使用折扣券人數(shù)比例為25%則折扣券的折扣比例應該為10%題目1414.“田忌

21、賽馬”是一個家喻戶曉的故事：戰(zhàn)國時期，齊國將軍田忌經(jīng)常與齊王 賽馬，設重金賭注。孫臏發(fā)現(xiàn)田忌與齊王的馬腳力都差不多，可分為上、中、下 三等。于是孫臏對田忌說：“您只管下大賭注，我能讓您取勝。”田忌相信并答 應了他，與齊王用千金來賭勝。比賽即將開始，孫臏對田忌說：“現(xiàn)在用您的下 等馬對付他的上等馬，拿您的上等馬對付他的中等馬，拿您的中等馬對付他的下 等馬?！比龍霰荣愅旰?，田忌只有一場不勝而另兩場勝， 最終贏得齊王的千金賭 注。（1）分析這個故事中還隱含了哪些信息， 并思考合適可以建模為一個博弈問題。何時只是一個簡單的單人決策問題。（2）如果齊王和田忌約定比賽開始前雙方同時決定馬的出場順序，并且以

22、后不 可改變，這個博弈是否存在純戰(zhàn)略納什均衡？如果不存在，求出該博弈模型的混合戰(zhàn)略納什均衡。解答：（1）這個故事中還隱含了以下信息：田忌的每一等級的馬都不如齊王的同等級 的馬，但田忌的上等馬勝過齊王的中等馬， 田忌的中等馬勝過齊王的下等 馬。每人每一等級的馬只允許出場一次（例如每人每一等級的馬只有一匹， 且每匹馬只允許出場一次）。此外，1）如果齊王的馬的出場順序總是固定的（或者出場順序在比賽開始前 就已經(jīng)決定了且不可改變），而田忌知道這一點，那么齊王的行動 就已經(jīng)是完全給定了，這時只有田忌需要決策，是一個簡單的單決 策者的決策問題，可以用一般的優(yōu)化方法進行建模和求解。不妨假 設齊王的馬的出場順

23、序為（上、中、下），則田忌最優(yōu)的應對行動 就是（下、上、中），這與孫臏給出的戰(zhàn)略是一致的。2）如果齊王的馬的出場順序并不總是固定的，每場比賽時齊王首先決 定自己派哪個等級的馬出場，然后田忌才決定派自己的哪個等級的 馬與之對抗，是一個完全信息動態(tài)博弈。田忌必須見機行事，根據(jù) 齊王出哪種馬，決定自己出哪種馬（孫臏給出的戰(zhàn)略仍是田忌的最 優(yōu)戰(zhàn)略）3）比賽開始前雙方同時決定馬的出場順序并且以后不可改變。假設齊 王和田忌在決策時所擁有的信息是一樣的， 這時就構成一個完全信 息靜態(tài)博弈。（2）雙方的行動空間為（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、 下、上），（下、上、中），（下、中、上）。

24、不存在純戰(zhàn)略納什均衡?；旌蠎?zhàn)略納什均衡為：雙方各以1/6概率選擇6個行動之一題目1515.我們經(jīng)常見到報道：一些不文明現(xiàn)象或違法行為發(fā)生在眾目睽睽之下，卻無 人出面阻止或干預。如果不考慮這類事件的復雜社會、道德等因素，你能否完全 從數(shù)學的角度通過建立博弈模型來定量分析一下這種“人多未必勢眾”的現(xiàn) 象？具體來說，希望你的模型回答下面的問題：假設有多個人正在目睹某個不文 明現(xiàn)象或違法行為，那么當目睹人數(shù)增加時，有人出面阻止或干預的可能性是增 加了還是減少了 ？解答：博弈參與人集合N=1,2,，n,每人的行動集合為A=0,1,其中1為干 預，0為不干預。若有人出面干預（這是參與人都希望的），設對每個

25、參與人的 價值為v （如由于不文明行為或違法行為得到阻止的心理安慰等）；若自己出面 干預（這是參與人不希望的），設對每個參與人的成本為c （如遭到報復等）?？?設v>c>0.假設所有參與人完全相同，每個參與人都希望最大化自己的效用v-c。如果沒有人干預，每個人的效用均為 0.對每個參與人來說，如果其他人不出面干預，自己應該出面干預；如果有人 出面干預，自己就不用出面干預了。因此，這個博弈存在純戰(zhàn)略納什均衡：有且 只有一個參與人出面干預，其他人不出面干預，從所有參與人整體上看這也是最 優(yōu)的方案。但是，如果參與人之間沒有信息的交流與行動上的合作，這一均衡是很難發(fā) 生的，很可能要么沒有人

26、出面干預，要么有多人出面干預，這都不是納什均衡。 對這個問題，在不存在合作的情況下，假設所有參與人采用相同的戰(zhàn)略是比較合 理的，這樣的戰(zhàn)略組合如果構成納什均衡，則稱為對稱納什均衡。顯然，這個博 弈不存在純戰(zhàn)略對稱納什均衡，所以考慮混合戰(zhàn)略對稱納什均衡：每個人的戰(zhàn)略 為以概率p采取行動1 （以概率1-p采取行動0）。對一個參與者來說：如果他出面干預（采取行動1）,其效用為v-c。如果他不出面干預（采取行動0）,有兩種可能：其他人也都不出面干預（可能性為（1 口）“'），其效用為0;其他人至少有一人出面干預（可能性為1- （1-p）,其效用為v。因此他不出面干預時的期望效用為H- 1V （

27、1- （1 一口）。當出面干預與不出面干預的效用相等時，他就沒有動機改變他的戰(zhàn)略了。所以，納什均衡滿足的條件可以很簡單的從等式 Vc = v （1-I）得到，即；-.題目1616 .同類型的商家經(jīng)常會出現(xiàn)“扎堆”現(xiàn)象，形成各式各樣的商品城，如“書 城”、“燈具城”等。人們有時不得不跑很遠的路去這類商品城，于是會抱怨： 如果他們大致均勻的分布到城市的不同地點，難道不是對商家更為有利可圖，也更方便顧客？請你以下面的問題為例， 作出適當?shù)募僭O，進行建模分析：某海濱 浴場準備設立兩個售貨亭，以供海灘上游泳和休閑的人購買飲用水和小食品等。 那么，這兩個售貨亭的店主將會分別將售貨亭設立在哪里？ 解答：將海

28、濱浴場的海灘近似看成一條線段，售貨亭位置的選擇空間記為0,1區(qū)間。設兩售貨亭的位置分別位于<xi<x2<Y),其中點為m = CQ+xs)/2.假設顧客是均勻分布的。則售貨亭1會吸引m左側(cè)的顧客，售貨亭2會吸引m右側(cè)的顧客。于是售貨亭1、2的效用(份額)分別是：容易證明唯一的純戰(zhàn)略納什均衡為 邕*;=3/2.即雙方“扎堆”于區(qū)間中點。題目1717 .奇數(shù)個席位的理事會由三派組成，議案表決實行過半數(shù)通過方案。證明在任 一派都不能操縱表決的條件下，三派占有的席位不論多少，他們在表決中的權重 都是一樣的。解答：設三派的席位分別為北1，%，記必+嗎+1 =冗(奇數(shù))。任一派不能操縱表

29、決，即以,吃,嗎< <，于是珥l+%尸+嗎%+嗎,> =，即任兩派的席位過 半數(shù)。顯然三派的權重都是一樣的，各占 1/3.題目1818 .在基因遺傳過程中，考慮三種基因類型：優(yōu)種D (dd),混種H (dr)和劣種R (rr)。對于任意的個體，每次用一混種與之交配，所得后代仍用混種交配，如 此繼續(xù)下去。構造馬氏鏈模型，說明它是正則鏈，求穩(wěn)態(tài)概率及由優(yōu)種和混種出 發(fā)的首次返回平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。如果改為每次用優(yōu)種交配，再構造馬氏鏈模型，說 明它是吸收鏈，求由混種和劣種出發(fā)變?yōu)閮?yōu)種的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。解答：狀態(tài)定義為i =用混種交配時，轉(zhuǎn)移概率矩陣為F/2 1/20/4 1/2 1/401

30、/21/2.由P2>0知，馬氏鏈是正則鏈，穩(wěn)定狀態(tài)向量為 w=(1/4,1/2,1/4). 優(yōu)種(D)和混種(R)出發(fā)的首次平均轉(zhuǎn)移次數(shù)分別為 4和2.1C0用優(yōu)種交配時，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=1/21/20, i=1(D)是吸收狀態(tài)，.C10.馬氏鏈是吸收鏈。由M =(1Q)T =P y = Me = (22產(chǎn)知由 i=2(H),i=3(R)出發(fā)，變?yōu)閕=1(D)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)分別為2和3.題目1919.一家集生產(chǎn)、銷售于一體的公司，希望生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預先設 定的水平上，如果銷售量可以預測，公司需要制訂一個根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的 策略。(1)以在一定時間T內(nèi)生產(chǎn)率和貯存量與設定

31、值誤差的(加權)平方和最小為 目標，給出泛函極值問題。(2)設銷售量為常數(shù)，求出最優(yōu)解，并在 T很大的情況下給出生產(chǎn)率和貯存量 之間的關系。解答：(1)記時刻t的貯存量x(t),單位時間產(chǎn)量(即生產(chǎn)率)和銷售量分別為u(t) 和v(t),則= w(i) -設預先給定的生產(chǎn)率和貯存量分別為u"口無，則在時間T內(nèi)u(t)和x(t)與和J 誤差的(加權a)平方和最小的泛函極值為= I - (u(t) -ua)2 + (x(t)-xa)zdt益 若設t=0和T=0的貯存量為0,則x(0)= x(T)= 0化簡得rT ia= I - (i(t) + v(fl(x(t) - x0)2 dt(2)

32、當銷售量=埼(常數(shù))時，歐拉方程為i cr2(x = 0解得(1一。一")£"十(2" - 1)丁"芯=工口 0百 型- 化簡得2ctT 廣1 g -速丁mg=嗎十m而式m -個二J在T很大的情況下，最后一項可忽略，于是u = v0 + a(x0-x)即生產(chǎn)率u可以由貯存量x直接確定。題目2020 .遭受巨大損失：考慮由于預計全球溫度會上升而導致的北極冰蓋的融化對陸 地的影響。特別要對由于冰蓋融化在今后50年中每10年對佛羅里達州沿岸，尤 其是大城市地區(qū)的影響進行建模。 試提出適當?shù)膽獙Υ胧﹣硖幚磉@個問題。 對所 用數(shù)據(jù)的仔細討論是回答本問題的

33、重要組成部分。解答：僅僅北極冰蓋融化對海平面的直接影響可能較小， 而引起其他冰塊融化的間接影 響會是決定性的?？梢苑謩e對各個冰塊提升海平面的影響建模， 用常微分方程預 測發(fā)生改變的速度。對于小的冰蓋和冰JI用全球平均溫度對海平面改變影響的模型，參數(shù)為融化對溫度的敏感度等，對參數(shù)的不同取值計算 50年后海平面的升高。對于大冰原考慮 受熱體積膨脹引起海平面的升高。一種計算結果是 50年后升高20-30cm。對佛羅里達州沿岸海平面升高1個單位等價于海沿岸水平損失100個單位。在最 壞的情況下，到2058年幾乎將損失27m陸地，會失去大多數(shù)較小的島嶼及沙灘， 許多城市的港口都會遭到損失。討論對物種和生

34、物多樣性、氣候、旅游業(yè)、食品 業(yè)及全球變暖的影響。題目2121 .動物園里的成年熱血動物靠飼養(yǎng)的食物維持體溫基本不變，在一些合理、簡化的假設下建立動物的飼養(yǎng)食物量與動物的某個尺寸之間的關系。解答：假設處于靜止狀態(tài)的動物的飼養(yǎng)食物量主要用于維持體溫不變， 且動物體內(nèi)熱量 主要通過它的表面積散失，對于一種動物其表面積S與某特征尺寸l之間的關系是S cc F ,所以飼養(yǎng)食物量w oc ?.題目2222 .一家保姆服務公司專門向雇主提供保姆服務。根據(jù)估計，下一年的需求是： 春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘 的保姆必須經(jīng)過5天的培訓才能上崗，每個保姆每季

35、度工作(新保姆包括培訓)65天。保姆從該公司而不是從雇主那里得到報酬，每人每月工資800元。春季開始時公司擁有120名保姆，在每個季度結束后。將有15%勺保姆自動離職。(1)如果公司不允許解聘保姆，請你為公司制定下一年的招聘計劃。哪些季度需求的增加不影響招聘計劃？可以增加多少？(2)如果公司在每個季度結束后允許解聘保姆，請為公司制定下一年的招聘計 劃。解答：(1)設4個季度開始時公司新招聘的保姆數(shù)量分別為 巧漢2,與，工4人，4個季度開始時保姆總數(shù)量分別為名$ 鼻，又入。以本年度付出的總報酬最少(即4個季度開始時保姆總數(shù)量之和最小)為目標，則模型為min 5r 1 + 5老 + 5 q +5.

36、1. ,>6000 + 565多 > 7500 +Sx265* > 5500 +Sx3655+> 9000 + 5x4.5 = 120 +xLS2 =。題多 + x2= 0.8552 +$4 = 0,85 % + x+*1聲上且聲張Su，邑，耳 ，用LINGO求解并對結果取整。4個季度開始時公司新招聘的保姆數(shù)量分別為 0, 15,0,59 人。上面的模型中沒有要求 “即寞U 箏A 5r S與取整數(shù)，是因為保姆數(shù)量較大，可以近似看做實數(shù)處理。止匕外，由于非整數(shù)因子0.85的影響，如果要求巧衣力工3，x.劣,工，小 臬為整數(shù),則可能使得新招聘的保姆數(shù)量遠遠超過實際需要的數(shù)量

37、，從而難以找到合理的整數(shù)解。由以上結果中約束的松弛(或剩余)的數(shù)據(jù)知道，春季和秋季需求的增加不影響 招聘計劃，可以分別增加1800人日和936人日。(2)設4個季度開始時公司招聘的保姆數(shù)量分別為 工尸小巧也人，4個季度結束時解雇的保姆數(shù)量分別為 不，無p罵人，4個季度開始時保姆總數(shù)量分別為耳，與？鼻，工人。以本年度付出的總報酬最少(即4個季度開始時保姆總數(shù)量之和最小)為目標，則模型為min + 52-l- 53 + 5+s.t 6551N0(W+5Ml655； > 7500 +5x265% 之 S500 +5x365% N 9。0 + 5打5i =120 +xLS2 = 0.8551 +

38、 叼一¥i另=O.a5S2 + x3-ya54 = 0.85S3 + x4-y5工1#工工,x3ix4,33. 3旨%,S3)54> 0用LINGO求解并對結果取整得到，第二個季度開始時公司新招聘 15人， 第二個季度結束時解聘15人；第4個季度開始時新招聘72人。目標函數(shù) 值為465.1218,比不允許解聘時數(shù)量略有減少。題目2323.對于技術革新的推廣，在下列幾種情況下分別建立模型：(1)推廣工作通過已經(jīng)采用新技術的人進行，推廣速度與采用新技術的 人數(shù)成正比，推廣是無限的。(2)總?cè)藬?shù)有限，因而推廣速度還會隨著尚未采用新技術人數(shù)的減少而 降低。(3)在(2)的前提下考慮廣告等媒介的傳播作用。解答：設t時刻采用新技術的人數(shù)為x(t).指數(shù)模型 dr（2） Logistic 模型,=ax（N 一 xi ,N 為總?cè)藬?shù)。（3）廣告等媒介在早期作用較大，它對傳播速度的影響與尚未采用新技術的人數(shù)成正比，在模型（2）的基礎上，有氏=招+ b）（N 工）.題目2424.考慮阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設阻力與擺