16極限存在準則兩個重要極限

1、第六節(jié)極限存在準則 兩個重要極限-、準則I及第一個重要極限二、準則II及第二個重要極限一、準則I及第一個重要極限準則I如果數(shù)列£、兒及"滿足下列條件:(1 )y<x<zn(n= 1, 2, 3,)，(2) lim yn -a, lim zn-a,卅 toons那么數(shù)列禺的極限存在，且lim兒=0.*ns準則r如果函數(shù)/(兀)、g(x)及處:)滿足下列條件：(1) gx)<fx)<hx),(2) lim g(x)=A, lim h(x)=A, 那么lim/U)存在，且lim»=A.準則I如果數(shù)列£、兒及0滿足下列條件:(1)兒空Wm

2、(T，2, 3,),(2) limyn=a, limzn=a,ns那么數(shù)列仇的極限存在，且iimxnarts證 T 兒 TQ,0£>0,叭>0, ”2>0,使得當M M時恒有|兒- 4 V £,當孔M時恒有|z - 4 V £,取N二maxNi, N2,上兩式同時成立, 即 a-z<yn<a + za-t<zn<a + t 當兀> N時，恒有a-£<yn<xn<zn va + £,即 xn -a <£ 成立，lim xn - a.山東農(nóng)業(yè)大學高等數(shù)學第一個重要極限

3、. sinx 1. lim= 1x0 X證:當XG（0,|）時，AAOB的面積V圓扇形4OB的面積VAOD的面積故有顯然有申 sin x < ； x v 申 tan x兀11 < - < (0 < x < )sin x cos x2sinxcos x <<1(0< x <|)v limcosx = 1 ®x-»0.smx .lim= 1x0 Xffl當0< X 時20 < 11 - cos X | = 1 - cos X2 = 2sin2-<2(-)2 = -2 v 2 7 2lim(l-cosx) =

4、 0山東農(nóng)業(yè)大學第一個重要極限注：lim 沁=1.x0 JC在極限lim血中,只要°(兀)是無窮小，就有 a(x)limsina(x)a(x)這是因為，令u=a(x)貝iJutO,于是limsina(x)a(x)二血1沁=1.it-0 l/l例1求lim唾sinx 1、x0 X解：lim凹仝=limxtO XX COS Xj=lim - lim = 1 xtO X xtO COS X例2求 limarcsinxx0X解：令 t = arcsinx,則 x = sint,因此 原式=lim丄=lim J =1 osint /->o sin例3 求 lim 1-cosx解 lim

5、1cos兀2sin2 i sin2 =lim=limxtO2 xtO xX 2(壬X2sin)22丿加I/I r1例4 lim -sin jo 2x +1 x解 r 3x3+x .1 十lim -sin - = lim xg 2x +1 x x* r (3亍+1)1 1=lim (sin /)“too 2x +1x x=lim2 xx(3x2+1) . 1sin-2x2 +1 x _ 3二、準則II及第二個重要極限準則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限.準則II的幾何解釋lliv以單調(diào)增加數(shù)列為例，數(shù)列的點只可能向右一個方向 移動，或者無限向右移動，或者無限趨近于某一定點4而 對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)

6、生.XjV5 1 * * Xn1oAMX設函W（x）在點必的某個左領域內(nèi)單調(diào)擔有界 貝伙兀）在X。的左極障（兀0一 ）必定存在第二個重要極限設冷二（1+丄）“，可以證明百訊+i，N+, （2<3.AT根據(jù)準則II,數(shù)列£必有極限，此極限用幺來表示，即 lim（l+丄）"二幺.rtS Tl我們還可以證明lim （1+丄）"之，XT8 X這就是第二個重要極限.注：在極限liml+a（x）嚴任）中，只要皿兀）是無窮小，就有1血il+a（兀）"（朗-e lim (1+丄)*-e , liml+a(x)a(x)-e (g(x)tO).XToo X例5 求 lim (1-丄)*.XTOO X解 令匸-兀，貝1兀Too時,t Too.于是lim (1-)x =lim(l+-)_r =lim=-. XT8X/TOOtfT00( + lyelim (1-丄)* = lim (1- 尸(-1)XTOOXX>00X=lim(l - )-xl=el.xg Xlim (1+丄)*-e , liml+6z(x)a(x)-e (q(x)tO). xs X例61lim(l + sin 2x)x1sin2x解：lim(l + sin 2x)x -=lim(l + sin