初中數學方程與不等式之一元二次方程技巧及練習題含答案

1、初中數學方程與不等式之一元二次方程技巧及練習題含答案一、選擇題1.今年深圳的房價平均 20000元/平方米，政府要控房價預計后年均價在16000元/平方米，若每年降價均為 x%,則下列方程正確的是()_ 2_ 2A.20000(1x%)16000B. 20000(1 x%)16000_22C.20000(12x%)16000D. 20000 1 x %16000【答案】B【解析】【分析】已知今年房價及每年降價率，可依次算出降價后明年及后年的房價【詳解】解：根據每年降價均為 x% ,則第一次降價后房價為20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基礎上又降低 x%,變?yōu)?20000

2、(1-x%)(1-x%)元，即 20000(1-x%)2, 進而可列出方程：20000(1 x%)2 16000故選B【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程中增長率與下降率問題，關鍵是公式a(1 x%)n b的應用，理解公式是解決本題的關鍵.2.對于一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (aw(),下列說法：若b=2j£,則方程ax2+bx+c= 0 一定有兩個相等的實數根； 若方程ax2+bx+c= 0有兩個不等的實數根，則方程x2 - bx+ac= 0也一定有兩個不等的實數根； 若c是方程ax2+bx+c= 0的一個根，則一定有 ac+b+1 = 0成立； 若x0是一元二

3、次方程 ax2+bx+c= 0的根，則b2-4ac= ( 2axO+b) 2,其中正確的( )A.只有B.只有C.D.只有【答案】B【解析】【分析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式 b24aC的值的符號就可以了. 難度較大，用到了求根公式表示x0.【詳解】解：若b 2 ,方程兩邊平方得 b2= 4ac,即b2 - 4ac= 0,所以方程ax2+bx+c= 0 定有兩個相等的實數根； 若方程ax2+bx+c= 0有兩個不等的實數根，則b2-4ac>0方程x2- bx+ac= 0中根的判別式也是 b2- 4ac>0,所以也一定有兩個不等的實數根; 若c是方程ax2+bx+c=

4、0的一個根，則一定有ac2+bc+c= 0成立，b . b 4ac52a當cwo時ac+b+i= 0成立；當c= 0時ac+b+1 = 0不成立； 若x。是一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根，可得x0把 x0 的值代入(2ax0+b) 2,可得 b2- 4ac= (2aR+b)2, 綜上所述其中正確的 .故選：B.【點睛】此題主要考查了根的判別式及其應用.尤其是難度較大，用到了求根公式表示x0,整體代入求 b2 4ac (2ax0 b)2 .總結：一元二次方程根的情況與判別式的關系：(1) 0 方程有兩個不相等的實數根；(2) 0 方程有兩個相等的實數根；(3) 0 方程沒有實數根.x2

5、+x -1 = 0的一個根是(B.【答案】D【解析】【分析】利用求根公式解方程，然后對各選項進行判斷.【詳解】,. a= 1, b= - 1, c= - 1,.= b2 4ac= 12 4X ( 1) =5,則x=所以xi-1一七5x2 =2故選：D.【點睛】本題考查了解一元二次方程-公式法，解題關鍵在于掌握運算法則.4 .某班同學畢業(yè)時，都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1892張照片，如果全班有 x名同學，根據題意，列出方程為()A. x (x+1) =1892 B. x (x-1 ) =1892 X2C. x (x-1 ) =1892 D, 2x (x+1) =189

6、2【答案】C【解析】試題分析：.全班有X名同學，每名同學要送出(x1)張；又是互送照片，總共送的張數應該是 x(x 1)= 1892.故選C.點睛：本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組.計算全班共送多少張，首先確定一個 人送出多少張是解題關鍵.5 .方程x2 5x 0的解是()A. x 5B. x 5C. X 0,x25D. X 0,x2 5【答案】D【解析】【分析】提取公因式x進行方f算.【詳解】提取公因式x得：x (x- 5)=0,所以x1 0 , x2 5 .故本題答案選D.【點睛】本題考查了一元二次方程的計算，掌握提取公因式這一知識點是解題的關鍵6 .用配方法解方程x2 6x 4 0

7、時，原方程變形為()2222.A. (x 3)2 9 B. (x 3) 13 C. (x 3)2 5D. (x 3)2 4【答案】C【解析】【分析】方程整理后，配方得到結果，即可做出判斷.【詳解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0,即(x+3) 2=5.故選：C.【點睛】此題考查解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.7 .如圖，AC± BC, AC： BC 3:4, D是AC上一點，連接BD,與/ ACB的平分線交于點八8 c32E,連接 AE,若 S ADE Sbce 工，則 BC=()338【答案】B【解析】【分析】C. 53D. 10過E作EFBC,

8、EG AC,垂足分別為F,G,由角平分線的性質可得：EF EG,利用a 8S ADE , 3程求解即可.【詳解】一 32S BCE 可以求信3AD,進而求得S CDE , S BCD的面積，利用面積公式列方BC解：如圖，過E作EFBC,EG AC,垂足分別為F,G.QCE 平分 ACB,EF EG,Q AC :BC 3: 4 ,設 AC 3x, BC 4x,S BCE325'1-AD ?EG28 1 -,-BC?EF323ADBCCDACADADx,2x,S CDE2sADE163S BCD16332316.16,1 - ?2x?4x2x 2,（負根舍去）BC 4x 8.故選B.【點睛

9、】本題考查的是三角形的平分線的性質，等高的兩個三角形的面積與底邊之間的關系，一元二次方程的解法，掌握相關知識點是解題關鍵.8 .已知，m,n是一元二次方程 x2 3x 2 0的兩個實數根，則 2 m2 4mn 6m的值為 ()A. 8B. 10C. 8D.12【答案】D【解析】【分析】先根據一兀二次方程的解的定義得到m2-3m=-2 ,則2m2-4mn-6m=2 (m2-3m) -4mn=-4-4mn,再根據根與系數的關系得到mn=2,然后利用整體代入的方法計算.【詳解】m是一元二次方程x2-3x+2=0的實數根，m2-3m+2=0, ' m2-3m=-2, 2m2-4mn-6m=2

10、(m2-3m) -4mn=-4-4mn , m, n是一元二次方程 x2-3x+2=0的兩個實數根，mn=2,. 2m 2-4mn-6m=-4-4 x 2=-12故選：D.【點睛】此題考查根與系數的關系，解題關鍵在于掌握若xi, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw»的兩根時， xi+x2=-xix2 -.a a9.若一元二次方程 x2- 2x- m = 0無實數根，則一次函數 y= (m+1)x + m 1的圖象不經 過第()象限.A.四B.三C.二D. 一【答案】D【解析】【分析】【詳解】一元二次方程 x2- 2x - m = 0無實數根， =4+4m<0,即 m

11、<-1 一次函數的比例系數m+1<0,圖像經過二四象限截距m-1<0,則圖象與y軸交與負半軸，圖像過第三象限，一次函數y =(m+1)x + m - 1的圖像不經過第一象限，故選 D.10.已知X1、X2是一元二次方程x2 2x 0的兩個實數根，下列結論錯誤.的是()A.xix2B.x22xi0C.Kx22 D.xix22【答案】D【解析】【分析】根據一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根的定義、一元二次方程根與系數的關系 逐一進行分析即可.【詳解】xi、x2是一元二次方程 x2-2x=0的兩個實數根，這里 a=1, b=-2, c=0,b2-4ac=(-2)2-4 x 1

12、 x 0=4>0所以方程有兩個不相等的實數根，即X x2,故A選項正確，不符合題意；2x12x 0,故B選項正確，不符合題意；b2八一、一八一八人口x1 x2 2,故C選項正確，不符合題意；a 1cX x2 - 0,故D選項錯誤，符合題意，a故選D.【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根的意義，根與系數的關系等，熟練掌握相關知 識是解題的關鍵.一 一 ，、一. 2311.若關于x的一兀二次方程 kx x -40有實數根，則實數 k的取值范圍是(A. k 01B. k3C.11一且 k0 D. k一33k的不等式，解根據方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關于

13、得即可，同時還應注意二次項系數不能為0.23關于x的一兀二次萬程 kx x 0有實數根，4=b2-4ac>p即：1+3k>0, m1解得：k 一，3,關于x的一元二次方程 kx2-2x+1=0中kwQ故選：C.【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方 程根的情況.12 .用配方法解方程：x2-2x-3=0時，原方程變形為()A. (x+1) 2=4B. (x- 1) 2=4C. (x+2) 2=2D. (x-2) 2=3【答案】B【解析】試題分析：將原方程的常數項-3變號后移項到方程右邊，然后方程兩邊都加上1,方程左邊利用完全平方公式變

14、形后，即可得到結果.解：x2- 2x- 3=0,移項得：x2-2x=3,兩邊加上1得：x2- 2x+1=4,變形得：(x- 1) 2=4,則原方程利用配方法變形為(x-1) 2=4.故選B.13 .關于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有兩個不相等的實數根，那么a的取值范圍是()A. a> 1B. a=1C. a< 1D. a<1 且 aw?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程，首先應該確定的是awq然后再根據原方程根的情況，利用根的判別式建立關于 a的不等式，求出a的取值范圍.【詳解】解：由于原方程是二次方程，所以awq.原方程有兩個不相等的實數根， =b2

15、-4ac=4-4a>0 ,解得 a< 1;綜上，可得awq且a<1 ；故選D.【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式 的關系：(1)>0?方程有兩個不相等的實數根；(2)A=0?方程有兩個相等的實數根；(3)A< 0?方程沒有實數根.14.已知xi、X2是關于x的方程x2- ax- 2=0的兩根，下列結論一定正確的是()A. xiW2B. xi+x2>0C. xi?x2>0D. xiv0, x2< 0【答案】A【解析】分析：A、根據方程的系數結合根的判別式，可得出 q。,由此即可得出xiW2,結論A正確；B、根據根與系數的關系可得出xi+

16、x2=a,結合a的值不確定，可得出 B結論不一定正確；C、根據根與系數白關系可得出xi?x2=-2,結論C錯誤；D、由xi?x2=-2,可彳#出xi< 0, x2>0,結論D錯誤.綜上即可得出結論詳解：A; = ( a) 24><iX( 2) =a2+8>0 , 1-xi2,結論A正確；B> -. xk x2是關于x的方程x2-ax-2=0的兩根，xi+x2=a,a的值不確定， .B結論不一定正確；C、xi、x2是關于x的方程x2-ax-2=0的兩根， xi?x2=- 2,結論 C 錯誤；D、 xi?x2=- 2, xi<0, x2>0,結論 D

17、 錯誤.故選A點睛：本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，牢記 當4> 0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵i5 某種植基地20i6 年蔬菜產量為i00 噸， 20i7 年比 20i6 年產量增長8.i%， 20i8 年比20i7年產量的增長率為 x, 20i8年底產量達到i44噸，則x滿足()A. i00 (i+x) 2=i44B. i00 (i+8.i%) (i-x) = i44C. i00 (i+8.i%) +x= i44D, i00 (i+8.i%) (i+x) = i44【答案】D【解析】【分析】由題意知，20i7 年蔬菜產量為：i00( i+8.i%)，20i8 年

18、蔬菜產量為：i00( i+8.i%)(i+x),然后根據20i8年底產量達到i44噸列方程即可.【詳解】解：某種植基地 2016年蔬菜產量為100噸，2017年比2016年產量增長8.1%,2017年蔬菜產量為：100 (1+8.1%),2018年比2017年產量的增長率為 x, 2018年底產量達到 144噸， .2018 年蔬菜產量為：100 (1+8.1%) (1+x) =144, 故選D.【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程的應用，熟練掌握這些知識是解題的關鍵16.深圳沙井某服裝廠 2017年銷售額為8億元，受中美貿易戰(zhàn)影響，估計 2019年銷售額 降為5.12億元，設平

19、均每年下降的百分比為x,可列方程為()A. 8 (1-x) = 5.12B. 8 (1+x) 2=5.12C. 8 (1-x) 2=5.12D. 5.12 (1+x) 2=8【答案】C【解析】【分析】一般用降低后的量=降低前的量x (1-降低率)，降低前的價格設為1,則第一次降價后的價格是(1-x),第二次降價后的價格是(1-x) 2,可得出方程.【詳解】設平均每次降價的百分比為x,則根據題意可得出方程為：8 (1-x) 2=5.12;故選C.【點睛】本題考查求平均變化率的方法.若設變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為 x,則經過兩次變化后的數量關系為 a(1±M 2=b (

20、當增長時中間的“軍選“+,”當降低時中間 的“埒選產).17.已知關于x的一元二次方程ax2 bx c 0的根為2和3,則關于x的一元二次方程 ax2 bx c 0 的根為().A.2, 3B. 6,1C, 2, 3D,1,6【答案】B【解析】【分析】由2, 3是一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩個實數根，可以得到如下四個等式：2+3=-b=-5, 2X3=c=6；再根據問題的需要，靈活變形. aa【詳解】bc因為2和3是萬程ax2+bx+c=0的根，所以2+3=-，2X3=；aa2c _b b _故一兀二次方程ax-bx-c=0 的根滿足 xix2=-=-6，xi+x2= =5；aa a

21、將A、B、C、D的值代入式中，只有B項滿足.故答案選B.18 .方程x2-9x+14=0的兩個根分別是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為( )A. 11B. 16C. 11 或 16D.不能確定【答案】B【解析】【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再分情況討論求解可得.【詳解】,/x2- 9x+14= 0,(x - 2) (x - 7) = 0,貝U x- 2=0 或 x- 7=0,解得x= 2或x= 7,當等腰三角形的腰長為 2,底邊長為7,此時2+2V7,不能構成三角形，舍去；當等腰三角形的腰長為 7,底邊長為2,此時周長為7+7+2=16,故選：B.【點睛】此題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因 式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵.19 .對于兩個不相等的實數 a, b,我們規(guī)定符號 maxa, b表示a、b中的較大的數，如： max2, 4=4,按照這個規(guī)定，方程 maxx, - x