數(shù)值計算方法第3章解線性方程組的數(shù)值解法1ppt課件

1、1 第第3章章 解線性方程組的數(shù)值解法解線性方程組的數(shù)值解法2引言 在自然科學和工程技術(shù)中很多問題的處理經(jīng)常歸結(jié)為解線性代數(shù)方程組。例如電學中的網(wǎng)絡問題，船體數(shù)學放樣中建立三次樣條函數(shù)問題，用最小二乘法務虛驗數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，解非線性方程組問題，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程邊值問題等都導致求解線性方程組，而且后面幾種情況經(jīng)常歸結(jié)為求解大型線性方程組。 線性代數(shù)方面的計算方法就是研討求解線性方程組的一些數(shù)值解法與研討計算矩陣的特征值及特征向量的數(shù)值方法。3引言n關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法普通有兩類。n直接法：經(jīng)過有限步算術(shù)運算，可求得方程組的準確解的方法假設在計算過程中沒有舍入誤

2、差n迭代法：用某種極限過程去逐漸逼近線性方程組準確解的方法n 迭代法具有占存儲單元少，程序設計簡單，原始系數(shù)矩陣在迭代過程中不變等優(yōu)點，但存在收斂性及收斂速度等問題。43.1 高斯消元法n設線性方程組n簡記 AX=bnnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.221122222121112121115高斯消元法n其中nnijnnnaaaaaaaaaa)(An2n1n2222112111TnTnbbbxxxbx2121,6高斯消元法n克萊姆法那么在實際上有著艱苦意義，但在實踐運用中存在很大的困難，在線性代數(shù)中，為處理這一困難給出了高斯消元法。代替所得。列用的第是，其中，法則：

3、biAAADniDDxGrameriiiii)det(0A)det(D,.,2 , 17高斯消元法n例1.用消元法解方程組) 3(122)2(54) 1 (632132321xxxxxxxx8例題n第一步：-2xr1+r3得)4(114)2( 54) 1 (63232321xxxxxxx9例題n第二步：1 x r2+r4n回代得：x=1,2,3T)5(62)2(5) 1 (6332321xxxxxx103.1.1 高斯順序消元法n下三角形方程求解下三角形方程求解n 設設n 1nilbxlxlxlbxlxlbxliinnnnnn,.,2 , 1, 0.221122221211111其中，11高斯

4、順序消元法n由1得1122121221111/)(./)(ninnininnlxlbxlxlbxlbx該法稱為向前代入法。即nilxlbxlbxiiijjijii,.,3 , 2/ )(/:11111112高斯順序消元法n算法：;/ )(;11; 0nto2i3/2; ), 2 , 1, 2 , 1(,11111iiiijijiijlsbxxlssdoitojForsdoForlbxijnibl、賦初值13高斯順序消元法 nnnnllllllLLbx21222111(1)其中式可簡寫成，14n上三角方程組的解法上三角方程組的解法n設設n ,.,n,iubxu.bxu.xubxu.xuxuiin

5、nnnnnnn210)2(2222211212111其中，15n由2式回代得n 12,.11,ni)/uxu(bx/ubxiinijjijiinnnn16上三角方程組的解法nnnnuuuuuuUUbx22211211(2)其中式可簡寫成，17高斯順序消去法高斯順序消去法n設 Ax=b. 記A(1)=A b(1)=b。設n1、第一次消元。0iiaTnnnnnniiibbbbbaaaaaaaniaalnaa.AA,.,3 , 2,.,32ii)()2()2(2)1(1)2()1()2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(11)1(11)2(1)1(11)1(11)1(11)1(1）（令），行（

6、第第一行18高斯順序消去法 ),.,2;,.,2()1(11)1(1)1(1)1()1(11)1()2(njniaaaaalaajiijjiijij),.,2(.)1(1)1(11)1(1)1(1)1(1)1()2(nibaablbbbiiiii19高斯順序消去法n設第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中)()()2(2)1(1)()()()()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)()(.|knkkknnknkkknkkknnkkbbbbaaaaaaaaabA20高斯順序消去法 那么第k次消元:nkjnkialaakkjikkijkij,.,1;,.,1)()()1(，則有，令1

7、,.,2 , 1,.,1)()(nknkiaalkkkikiknkiblbbkkikkiki,.,1)()()1(，21高斯順序消去法n最后)()()2(2)1(1)()()()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)()(.nnkknnnkknkkknnnnbbbbaaaaaaaabA22高斯順序消去法n也就是對于方程組AX=b系數(shù)矩陣做：) 1,.,2 , 1(,.,1,.,1/)()()1()()()1()()(nknkjnkilbbbalaaaalikkkkikikkjikkijkijkkkkikik23高斯順序消去法 )()()2(2)1(1)()()()2(2)2(22)1(

8、1)1(12)1(11)()()n(.)(|AnnkknnnkknkkknnnnbbbbaaaaaaaanAbbx其中得到24高斯順序消去法 ) 1,.,1(/ ).(/A)(1)()()()()()(niaxabxabxiiinijjiijiiinnnnnnnbx回代法再解25高斯順序消去法；做對；做對機；輸出算法失敗信息，停做對輸入：kjikijijkikiikkikikikkkiijalaankjblbbaalankianknibnjia,.,32/1,.,)2thenif),.,)(),.,(),.,() 1 (00011011212212126高斯順序消去法)det(),.,()(.

9、)(det)3/ )(,.,)2/) 1else,thenif)(AAnixaaaAaxabxbniabxbainniinijjijiiinnnnnnn的行列式的值系數(shù)矩陣輸出：方程組的解；做對；做并停機輸出算法失敗信息214121032211127高斯順序消去法算法框圖28高斯消去法的計算量 次除法。即做kn),.,1i (/:)()(nkaalkkkkkikik步第:) 1)()1()(故總的消元計算量為次乘法需由knknAAkk11)52)(1(61)1)()(nknnnknknkn) 1(21)()(nnbXAnn回代時乘除運算量為解) 13(312nnnN即總計算量為29高斯順序消去

10、法條件nkakkk,.,2 , 1, 0)(高斯順序消去法要求0.)det()()2(22)1(11nnnaaaA有：.也就是此算法的缺點., 00:)()()(即數(shù)值不穩(wěn)定做除數(shù)易產(chǎn)生解的失真用此時很小，但若即使kkkkkkkkkaaa303.1.2 高斯主元素消去法nGauss列主元消元法n從第一列中選出絕對值最大的元素1111maxiniaannnnniiniinbaaabaaabaaabaaa.21212112221111211交換31高斯列主元消去法順序消元計算機中實現(xiàn)) 3;:;1)2;|;|maxmax|2 1;i ; |max 1)11111TaaaaTdontojforkia

11、thenaifdontokforaijijjjkki32高斯列主元消去法n第 k 步n 從 的第 k 列 ， ， 中選取絕對值最大項，記錄所在行，即n 假設 交換第k行與l行的一切對應元素，再進展順序消元。n (k)kka1)(Ak(k)nk.a.(k)kkakkikkkiilaak記|max|)(nik)(kl 33框圖34高斯列主元消去法輸出奇異標志，停機；做對；即記選列主元：做對輸入：then0if)2,then|if,.,| ,|,|max|),.,)(),.,(),.,() 1 (maxmaxmaxmaxailaaaankkiaaklilaanknibnjiaikikkkkiknik

12、kiiijk2111212212135高斯列主元消去法；做對；做對；做對行所有對應元素，即行與第交換第kjikijijkikiikkikikikiikkljljkjkjalaankjblbbaalankiTbbbbTTaaaaTnkkjlkkl,.,32/1,.,)4;2;,.,1then if)30000011136高斯列主元消去法。輸出：方程組的解；做對；并停機輸出奇異標志回代求解),.,()(/ )(,.,)2/) 1else,thenif)(nixaxabxbniabxbaiiinijjijiiinnnnnnn214121031372. 全主元消去法n例如.求解方程組n Txxxx)3

13、675. 0 ,05104. 0,4904. 0(:4,4000. 3000. 2000. 1643. 5072. 1000. 2623. 4712. 3000. 1000. 3000. 2001. 0*321位有效數(shù)字為精確解舍入到位浮點數(shù)進行計算用38全主元消去法.)4000. 0 ,09980. 0,4000. 0(00. 2002. 1000. 100. 500005. 32.0040000. 3000. 2001. 0003. 2002. 1000. 1006. 6001. 40005. 32.0040000. 3000. 2001. 0000. 3000. 2000. 1643.

14、5072. 1000. 2623. 4712. 3000. 1000. 3000. 2001. 0)|A(.是一個很壞的解解得用高斯順序消去法求解Txb39全主元消去法Txb)3676.0,51080.0,88544.0(6866.0500.0000.38676.1008015.13.17605.6431.00722.000-0015.1500.0000.30023.30005.208015.13.17605.6431.00722.000-000.1000.2000.3000.3000.2001.0623.43.7121.000-643.5072.1000.2000.3000.2000.164

15、3.5072.1000.2623.4712.3000.1000.3000.2001.0)|A(.3i 得用選列主元消去法求解40全主元消去法；，對；中選絕對值最大者從選主元、第一步消元jtilathenaifdonjnitlanjiaijijij|max|max,.,1,.,1; 11|max.),.,2 , 1,(,) 111141全主元消去法順序消元；做，初值蹤數(shù)組序發(fā)生改變，因此設跟解的次而交換列時解的次序不變交換行時；列交換第一列與第；行交換第一行與第) 3)() 1 (,)Z(.2)Z(21)Z(1),(,),.,2 , 1(:),.,2 , 1(:)211tZZnniZniaatn

16、jaalitiljj42全主元消去法順序消元列列交換行行交換如果；步選主元時得）假設第步消元：、第)2)()(;,;,;|max12)(;)(tzkztkktlkkljtilaakkkkkijnjikkjikk43全主元消去法),.,2 , 1()(: )()(),2(),1 (321nibizxnxnzxbzxbzxbin則增加數(shù)組理順解：、求方程組的解44求最終的解。程序結(jié)束后，例如332211,1) 3(, 2)2(, 3) 1 (:bxbxbxzzz) 3() 1 (31ZZjj分析：做。；其解，這時321) 1 ()3()2()2() 3()1 (:2)2(, 1) 3(, 3) 1

17、 (bxzxbxzxbxzxzzz45Gauss全主元消元算法；做對做對；即記選全主元：做對輸入：jtilaaaankkjnkkiaaktkljtilaankniiiznibnjiaijijkkkkijnjikjiiijkk,|,|then|if,.,.,|; ,|,|max|),.,)();,.,()()(),.,(),.,() 1 (maxmaxmax,212111213212212146Gauss全主元消元算法；做對；做對；輸出奇異標志，并停機kjikijijkikiikkikikikitiklkljkjalaankjblbbaalankitzkzniaaktbbnkkjaakla,.,

18、32/1,.,)4);()();,.,(then if;);,.,(then if)3then0if)2000max1121147Gauss全主元消元算法。輸出解；做對；并停機輸出奇異標志),.,()(),.,()()3/ )(,.,)2/) 1else,thenif)(nixnibizxababbniabbaiiiinijjijiinnnnnn21521121041483.高斯-約當消去法n與普通消去法相比，高斯約當消去法是一種無回代過程的算法n設方程組AX=b經(jīng)過k-1次消元得)()(1)(1)()()(1)(1)(1)(1)()(11Aknkkkknnknkkkkkkkknkkkkbbbaaaaaab49高斯-約當消去法Tnnnnkkkikkikikkjkikkikkijkikkkkkkkkkkkkkjkkjkkkkiknikkikikbbbxnkinibabbnkjkiniaaaakinikankkjabbaaaalkklilaankkiak),.,(,),.,2, 1(),.,1,.,2, 1(),.,2, 1i (),.1,(/0,|,|max|),.,1,(k)1