導(dǎo)數(shù)經(jīng)典易錯題解析

1、導(dǎo)數(shù)經(jīng)典易錯題解析導(dǎo)數(shù)經(jīng)典易錯題解析1. (2010安徽卷理)已知函數(shù)f(x)在R上滿足 f(x) 2f(2 x) x2 8x 8)則曲線y f(x)在點(i,f(i)處的切線方程是()A. y 2x 1B. y x C. y 3x 2D. y 2x 3答案 A解析 由f(x)2f(2 x)x2 8x8得幾何f(2 x) 2f (x) (2 x)2 8(2 x) 8)即 2f (x)f(2 x) x24x 4 ).=f (x) x2 f/(x)2x )切線方程y 1 2(x 1),即2x y 1 0選A2 (2010江西卷文)若存在過點(1,0)的直線與曲線y x3和y ax2x 9都相切,則

2、a等于 4'()A.1 或-25B. 1或 §C.:6444或-64D.7或7答案 A解析 設(shè)過(1,0)的直線與y x3相切于點區(qū)宕)， 所以切線方程為32 ,、y x0 3x0 (x x°)即y3%2x 2心又(1,0)在切線上)則xo0 xo - ?當(dāng)Xo0時,由y 0與y ax2 15x 9相切可得aI54464 1當(dāng)Xo2時，由y 27x27與y ax2 yx 9相切可得4a 1 ,所以選A可能是)3 (2008年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么 y=f(x),y=g(x) 的圖象答案 D4 ( 2007年福建理11

3、文)已知對任意實數(shù)x,有f( x)f(x),g( x)g(x),且時，f(x)0,g (x)A. f(x)0,g (x)f (x)0, g (x)c. f(x)0,g (x)D.f (x)0, g (x)答案.5 (2007年海南理10)曲線1x e2在點(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積b. 4e2c. 2e2d. e2答案 D6. (2007年江蘇9)已知二次函數(shù)一、 2f (x) axbx c的導(dǎo)數(shù)為f '(x) , f '(0)0 ,對于任意實數(shù)x都有f(x) 0,則f1的最小值為f'(0)5B.2A. 3答案 C8已知函數(shù)y f(x)的圖象在點M(1

4、, f(1)處的切線方程是y 1x 2 ,則 f(1) f (1)2答案 39如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段 ABC,其中A, B, C的坐標(biāo)分別為(0,4), (2 0) (6 4),則f(f(o) 2； im f(1 x) f .(用數(shù)字作答)x 0 x答案 210 (2010江西卷理)設(shè)函數(shù)f(x) g(x) x2 ,曲線y g(x) 在點(1，g(1)處的切線方程為y 2x1,則曲線y f(x) 在點(1,f(1)處切線的斜率為()A. 4 B.1 C. 2D.:42答案 A解析 由已知g(1) 2,而f(x) g(x) 2x,所以 f (1) g(1) 2 1 4故選A力。11 (

5、2009湖南卷文)若函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū) 間a,b上是增函數(shù)， 則函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b上的圖象可能是()CBDoa b x解析 因為函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b上各點處的斜率 注意C中y k為12 (2009天津卷理)設(shè)函數(shù)f(x)1x ln 3x(x 0),則 y f(x)a,b上是增函數(shù)，即在區(qū)間I k是遞增的，由圖易知選A. 常數(shù)噢.()A在區(qū)間(Ll),(1,e)內(nèi)均有零點。 eB在區(qū)間(Ll),(1,e)內(nèi)均無零點。 eC在區(qū)間(Li)內(nèi)有零點，在區(qū)間e(1,e)內(nèi)無零點。D在區(qū)間(1,i)內(nèi)無零點，在區(qū)間e(1內(nèi)有零點?！究键c定位】本小考查導(dǎo)數(shù)的

6、應(yīng)用，基礎(chǔ)題。解析 由題得f'(x) 1 - x-令f'(x) 0得x 3；3 x 3x令f'(x) 0得0 x 3； f'(x) 0得x 3)故知函數(shù)f(x)在 區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3,)為增函數(shù)，在點x 3處有極小值1 ln3 0；又f(1) ：,fe I 1 0, f(-):1 0)故選擇 D。 33e 3e12若曲線f x ax2 Inx存在垂直于y軸的切線，則實 數(shù)a的取值范圍是.解析解析由題意該函數(shù)的定義域x 0,由f x 2ax 1。因為存在垂直于y軸的切線，故 x此時斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為x 0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f x 2ax 1存在零點。

7、 x解法1 (圖像法)再將之轉(zhuǎn)化為g x 2ax與h x 1 x存在交點。當(dāng)a 0不符合題意，當(dāng)a 0時，如圖 1 ,數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點，當(dāng)a 0如圖2 , 此時正好有一個交點，故有a 0應(yīng)填,0 或是a|a 0 。解法2 (分離變量法)上述也可等價于方程2ax 1 0在0,內(nèi)有解顯然可得a-17,0x72x13(2009陜西卷理)設(shè)曲線y xn1(n N*)在點(1, 1) 處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn,令an lgxn, 則a a2 L a99的值為.答案 -2解析：點(1,1)在函數(shù)y xn 1(n N*)的圖像上，(1,1)為切點， y xn 1 的導(dǎo)函數(shù)為 y'

8、(n 1)xn y'|x1 n 1 切線是：y 1 (n 1)(x 1) 令y=0得切點的橫坐標(biāo)：xn n n 1,1 2 98 99 , 1ai a2 . a99 lg xx2x99 1g g-g.g-g 1g22 399 10010014 (2009浙江文)(本題滿分15分)已知函數(shù)一32_f (x)x3(1 a)x2a(a 2)xb (a,b R).(I)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3,求a,b的值；(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取 值范圍.解析 (I )由題意得 f (x) 3x2 2(1 a)x a(a 2)f (0) b 0f

9、(0) a(a 2)解得b 0)(n)函數(shù)f在區(qū)間(1,1)不單調(diào),等價于導(dǎo)函數(shù)f (x)在(1,1)既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)即函數(shù)f (x)在(1,1)上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有f ( 1)f (1) 0,即 ：3 2(1 a) a(a 2)3 2(1 a) a(a 2) 0整理得：(a 5)(a 1)(a 1)2 % 解得 5 a 115. (2009北京文)(本小題共14分)設(shè)函數(shù) f(x) x3 3ax b(a 0).(I )若曲線y f(x)在點(2, f(x)處與直線y 8相 切，求a,b的值；(H)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點.解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)

10、研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜 合分析和解決問題的能力.(I ) f' x 3x2 3a,.曲線y f(x)在點(2, f(x)處與直線y 8相切， '. f 2 03 4 a 0a 4,f 2 88 6a b 8b 24.(II) f'x 3 x2 a a 0 ,當(dāng)a0時，fx 0,函數(shù)f(x)在，上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)沒有極值點.當(dāng)a 0時，由f' x 0 x 艮當(dāng)x ,亞時，f' X 0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)XVa,7a時,f' X 0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)X瓶 時，fx 0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，此時x聲

11、是f(x)的極大值點，x百是f(x)的極 小值點.16.設(shè)函數(shù) f(x) 1x3 (1 a)x2 4ax 24a,其中常數(shù) a>1 3(I )討論f(x)的單調(diào)性;(n)若當(dāng)xm0時,f(x)>0恒成立，求a的取值范圍O解析本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào) 性，第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成 立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解析(I ) f (x) x2 2(1 a)x 4a (x 2)(x 2a)由a 1知)當(dāng)x 2時)f(x) 0,故f(x)在區(qū)間(，2)是增函數(shù)；當(dāng)2 x 2a時)f (x

12、) 0)故f(x)在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)；當(dāng)x 2a時)f(x) 0,故f(x)在區(qū)間(2a,)是增函數(shù)。綜上，當(dāng)a 1時，f(x)在區(qū)間(，2)和(2a,)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)。(II )由(I)知)當(dāng)x 0時)f(x)在x 2a或x 0處取得最小值。f (2a) 1(2a)3 (1 a)(2a)2 4a 2a 24a34 32_-a 4a 24 a3f (0) 24aa 1 f(2a) 0, f(0) 0,由假設(shè)知a 1,即-a(a 3)(a 6) 0,，324a 0.得 1<a<6(本小題滿分12分)故a的取值范圍是(1,6)17 (2009遼寧卷理)已知

13、函數(shù) f(x)= 1x2 ax+(a1)lnx)a 1。(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：若 a 5)則對任意 x1)x2 (0, )x1 x2)有 f(x1) f(x2)1。解析(1)f(x)的定義域為(0, ) o2f (x) xx ax a 1 (x 1)(x 1 a) 2，分a 2,則f'(x) 3 x故f(x)在(0,)單調(diào)增加。(ii)若 a 1 1,而 a 1,故 1 a 2,則當(dāng) x (a 1,1)時)f(x) 0；當(dāng) x (0,a 1)及 x (1,)時)f(x) 0故f(x)在(a 1,1)單調(diào)減少)在(0,a 1),(1,)單調(diào)增加。(iii)若少，在(

14、0,1),(a 1,2,同理可得f(x)在(1,a 1)單調(diào)減 )單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù)g(x) f(x) x1x2ax (a 1)ln x xa 1 a 1g(x) x (a 1) "x (a 1) 1 ( a 1 1)由于1<a<5,故g(x) 0)即g(x)在(4, +oo)單調(diào)增從而當(dāng)Xi x2 0時有g(shù)(xi) g(X2) 0f(xi) f(x2) xi x2 0,故f(x1) f(x2)xi 飛1,當(dāng) 0 Xix2時,12分f(x)解析 當(dāng)a(1)f'(x) 3x2 3a 3(x2 a),0時,對x當(dāng) a 0時)f(x)R)有 f(x) 0,的單調(diào)

15、增區(qū)間為(，)f(x1)f(x2)f(x2) f(x)xi x2x2 xi18 (2009陜西卷文)(本小題滿分12分)已知函數(shù) f (x) x3 3ax 1,a 0求f(x)的單調(diào)區(qū)間；若f (x)在x 1處取得極值)直線y=my與y的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。當(dāng)a 0時,由f'(x)0解得x7a或x va；由 f(x) 0解得 Ta X Ta ?當(dāng)a 0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，月，(后，)；f(x) 的單調(diào)減區(qū)間為(用，病。(2)因為f(x)在x 1處取得極大值，所以 f'( 1) 3 ( 1)2 3a 0, a 1.所以 f (x) x3 3x 1,f&

16、#39;(x) 3x2 3,由 f (x) 0 解得 x11,x2 1 o由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x 1處取得極大值f( 1) 1)在x 1處取得極小值f(1) 3。因為直線y m與函數(shù)y f(x)的圖象有三個不同的交點，又 f( 3)193 ,f(3) 17 1 ,結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(3,1)。19. (2009天津卷理)(本小題滿分12分)已知函數(shù) f(x) (x2 ax 2a2 3a)ex(x R),其中 a R(1)當(dāng)a 0時，求曲線y f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率；(2)當(dāng)a加寸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。 3本小題主要考查導(dǎo)

17、數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。2 x _2x當(dāng) a 0時，f(x) x e , f '(x) (x 2x)e ,故 f'(1) 3e.(II )解：f'(x)令f'(x) 0,解得x所以曲線yf (x)在點(1, f(1)處的切線的斜率為3e.x2 (a 2)x 2a2 4a ex.2一一 一2a,或x a 2由a 一知，2a a 2.3以下分兩種情況討論。(1)若a>|,則2a V a2.當(dāng)x變化時,f'(x), f(x)的變化情況如下表:所以f仁)在(函數(shù)f (x)在x函數(shù)f (x)在x2a 2a，2a)Xa 2,2a處取得極大值2a, aa 2,)內(nèi)是增函數(shù)，在(2a, a 2)內(nèi)是減函數(shù).f ( 2a), Hf( 2a) 3a