推理立足三維超三維抽象變自然

1、推理立足三維超三維抽象變自 然作者: 日期:23.7立足三維超越三維抽象變自然1 .公開課教學簡案課題：線性空間有關概念時間：1980.7.14 下午 2.00-3.40班級：江蘇電視大學無錫分?；そ虒W班教學目的：理解線性空間、子空間、基、維數、同構等概念，會判斷一個集合對所指運算是否構成數域P上的線性空間、線性子空間，會確定維數與基.教學過程與內容:一.考察下列集合：歸納它們的共性V 1=|=(a,b,c),a,b,cR,這是普通的空間向量的集合;V2=f|f=ax 2+bx+c,a,b,cR ，這是次數小于 3的多項式集合;這些集合與實數數域，普通加法、數乘組成的四元組合（V, R,(V

2、, R +, )(V, R, +,)加交換律+ = +f+g=g+f法結合律(+)+=+: + )(f+g)+h=f+(g+h)+ ,）滿足以下 8條公理:零元+0=f+0=f負兀+(-)=0f+(-f)=0數單位元1 1 =1 f=f乘結合律k( l )=(k l)k( lf)= (k l)f數乘分配律1(k+l)=k +l(k+ l )f=kf+ l f與加法分配律2k( +)=k +kk(f+g)=kf+kg二.類比，抽象出線性空間定義般來說,線性空間是一個滿足以下8條公理的四元組合（V, P,®,* ），其中V算®，叫做加法,是一個非空集合，P是一個數域，V上有一種

3、代數運P與V之間有一種運算*，叫做數量乘法，且滿足,V,k,lP有：1. +=+2. ( +)+ =+ +3.存在零兀0V,使得4.存在-V,使得5. 1*=:6. k( l)=(k l);7. (k+ l)=k+l ;8. k(+)=k+k 。）；V,都有+0=V,都有+(-)=0 ;4三.檢驗，在辨析與變式中深化概念無限性、與數域有關性。51 .在Vi中限定c=0，或c=1，或b+2c=0,其他規(guī)定不變，是否四.推廣，定義n維線性空間、子空間、基與維數的概念還構成線性空間?答：c=0, b+2c=0時還是線性空間,只要驗證 +, k仍然屬X2,，Xn), X i R, i=1,2,，n。于

4、V1就可以了，即運算的封閉性；c=1時因為沒有零向量，不是線性2 .定義基的概念，求Vi、V2、所有二階矩陣、復數集合所構成1 .四元組合(V R, +, )構成線性空間，其中 如|=(X1,空間。2 .在V2中限定az 0，或a,b,c Z,其他規(guī)定不變,是否還構成3 定義維數概念，求Vi、V2、所有二階矩陣、復數集合所構成的線性空間的一個基。線性空間?答：az 0時，沒有零多項式，且 f+g不一定屬于V2,不是線性思考：下列集合在怎樣的數域上構成線性空間？求其一個基與維空間;數。a,b,c是整數時，對于實數k=72 , kf 一般不屬于V，也不是線1 . V=|是A的屬于0的特征向量;再添

5、一個零向量呢?性空間?？梢娋€性空間與數域有關系，而四元組合(V2, Q, +,)去掉"屬于0”之后呢?的線性空間的維數。構成線性空間。2. V= f(x)| f(X)是次數小于n的多項式;若將“小于”改成3 .所有二階矩陣 a b的集合在實數域上對于矩陣的加法與數c d"等于”呢？若f (x)是整系數多項式呢？若f(x)是定義在a , b 上的連續(xù)函數呢?乘是否構成線性空間?答：可以對照8條公理，逐一驗證，構成線性空間。3. V= a + b J2 | a, bQ;若 a, b R呢?4四元組合(C, R, +,)是否構成線性空間?4 .證明 V=B|BA=AB,A= 1

6、1 , V按矩陣運算構成一個實線性0 1答：復數集合、實數域、普通加法與數乘構成線性空間?？臻g，并求它的基與維數。小結：線性空間的抽象性、整體性、規(guī)律性、運算封閉性、元素5.在四維實空間 R4中，求齊次方程組3x1 2X2 5X3 4X403x1 x2 3x3 3x403x1 5x213x311x40高中數學里，我們學習了平面向量與空間向量，已經看到采用向量的概念，直線、平面及其位置關系等幾何問題變得特別的簡單和清楚。當我們把平面向量、空間向量推廣到廣義的n維向量時，自然應確定的解空間的基與維數，并判斷 （-1,153-3）是否屬于這個解空該聯想起在研究空間圖形時形成的幾何里的直觀。就是說我們

7、應該立足三維，超越三維；眼觀三維，心懷n維，這樣抽象的概念就感到自10小結：判斷線性空間、子空間的一般方法?；灰欢ù嬖?，存在然了。事實上，線性代數的概念正是從幾何直觀中抽象、推廣得來的,也不唯一；維數是唯一的，但與數域有關。并且應用了幾何術語，這使我們有可能在線性代數的教學中利用基于五.比較，在一一對應的基礎上導出同構概念幾何直觀的類比。當然需要很小心地采用這種類比，要估計到只采用同構概念（簡明定義）概念的定義以及證明了的定理嚴格地驗證幾何直觀的可能性。線性代數中的概念都應該尋求它的幾何類比，例如,n維向量中2 .回顧與反思這是的n個有序數可以看作它在 n維空間的坐標軸上的投影；零向量可以看

8、作與坐標原點對應；n維向量可以象力、速度、加速度等物理向量線性空間有關概念是線性代數中最基本、最重要，也是最抽那樣進行加法和數乘運算； 并且對于加法運算，交換律和結合律成立,象的概念之一。而概念既是數學的實體，又是數學思維的工具；是濃數乘的分配律也成立； 加法運算是單值可逆的，向量的數乘積當且僅縮的知識點，是數學內容的基本點，是邏輯導出定理、公式、性質、當這個向量是零向量或這個數等于零時才等于零向量;等等。由此可見，用類比法進行線性代數概念的教學是恰當而必須的。法則的出發(fā)點，是建立學生認知結構的著眼點；所以概念的學習是數與此同時，與向量集合類似的具有這些性質的還有矩陣集合、學學習的核心，概念課

9、的教學是教師落實基礎的關鍵，是學生打好基礎的首要環(huán)節(jié).概念課是數學教學中的一種主要課型 .因此，采用行個變數的多項式的集合、在已知區(qū)間a , b上的連續(xù)函數的集合、線之有效的概念教學方法，突破抽象概念的理解，對提高教學質量至關性齊次方程組的解的集合等等。歸納這些例子的共性，可以看到，進重要.步推廣向量空間的概念， 即引進一般的線性空間， 是可行而有益的。這種廣義空間中的元素可以是任意數學對象或物理對象，但對于它最近拜讀了中國首批18名博士之一、博士生導師、北京航空航們，可以用某種自然方式來定義加法和乘以數的乘法。而且，過渡到天大學理學院院長李尚志教授的 讓抽象變得顯然建設國家精品線性空間概念這

10、樣一個一般而抽象的過程并不會帶來任何理論上的課程的體會一文，耳目一新，受益匪淺。李教授精辟的指出：抽象困難，因為任何n維線性空間在結構上和性質上與幾何直觀的向量空來自于實際，來自于具體的例子。抽象的過程就是忽略差別的過程,間沒有什么兩樣。但是這樣推廣之后，應用的范圍擴大了，運用線性從不同的事情中發(fā)現共同點的過程，“由聰明而糊涂”的過程。從具代數方法到很廣闊的自然科學理論問題上的可能性也增加了。由此可體的實例中抽象出線性空間的概念，不但使抽象的線性空間的定義的見，用歸納法進行線性空間概念的教學也是恰當而必須的。引入比較自然，而且對于什么是數學的抽象、怎樣進行數學的抽象、這一堂課正是應用了歸納與類

11、比的方法引入線性空間有關概念 怎樣由直觀而不嚴格的想法建立嚴格的數學概念提供了一個重要的的。范例，讓學生在以后的學習和研究中可以模仿。引入概念只是數學概念的教學的第一步，概念教學一般都要經歷李教授舉了一個簡單的例子：初中的乘法公式（a-b） 2=a2+b2-2ab概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應用等階段，否則認 將字母a、b所代表的數的多少也忽略掉了，只關心它們的共同的運識的概念不夠完善， 形成的概念也不鞏固。概念課上必須通過具體例算規(guī)律。更進一步的“糊涂”是：公式（a-b） 2=a2+b2-2ab中的字母a、子，說明概念的內涵與外延，認識概念的本質;通過反例、錯解等檢b可以不代表

12、數而代表幾何向量，將其中的乘驗所認識的概念， 在辨析與變式中深化概念;然后在應用概念解決問法理解為向量的內積，公式照樣成立。畫出有題的過程中鞏固概念。向線段來表示公式中向量，如圖：則公式數學概念是感性認識飛躍到理性認識的結果，而飛躍的實現要依(a-b) 2=a2+b2-2a b的幾何意義就是:2 2 2|BA| =|CA| +|CB| -2|CA|CB|cosC。據數學思想方法，經過觀察、分析、類比、歸納、猜想、抽象、概括、推廣等合情推理的邏輯加工。在概念教學中應注意將在解決問題的過這就是余弦定理！當 C是直角時就是勾股定理！只不過一念之差，在程中所涉及到的數學思想方法明顯化，對解決問題的思維策略進行提 乘法公式（a-b） 2=a2+b2-2a b中“難得糊涂”，將數與向量“混為煉，讓學生學會思維，提高自我探索、發(fā)現創(chuàng)造的能力。談”，就立即得到了余弦定理和勾股定理，數學的抽象的威力由此可見一斑！同時這個