立體幾何的解題技巧

1、立體幾何大題的解題技巧綜合提升【命題分析】高考中立體幾何命題特點：1. 線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系.2. 空間“角”與“距離”的計算常在解答題中綜合出現(xiàn).3. 多面體及簡單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn).4. 有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點.此類題目分值一般在 17-22分之間，題型一般為 1個選擇題，1個填空題，1個解答題.【考點分析】掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離 的概念.掌握二面角、二面角的平面角、兩個

2、平行平面間的距離的概念.【高考考查的重難點*狀元總結(jié)】空間距離和角：“六個距離”1兩點間距離d J（Xi X2）(yi y2)2(乙 Z2)22點P到線I的距離d3兩異面直線的距離 dP Q*uP Q*uP Q*u（Q是直線I上任意一點，U為過點P的直線I法向量）（P、Q分別是兩直線上任意兩點 U為兩直線公共法向量）4點P到平面的距離 d（Q是平面上任意一點，U為平面法向量）5直線與平面的距離6平行平面間的距離【同上】【同上】“三個角度”1異面直線角【0，cosVi|V2【辨】直線傾斜角范圍【0，）2線面角【0，sin=coSv, nIvdV n或者解三角形3二面角【0，cosni|門2或者找

3、垂直線，解三角形不論是求空間距離還是空間角，都要按照 寓證明于運算之中，正是本專題的一大特色“一作，二證,三算”的步驟來完成，即求解空間距離和角的方法有兩不中：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法,二是利用空間向量。其中，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定 強有力的工具時，使得高考題具有很強的套路性。，是解決立體幾何問題這套【例題解析】考點1點到平面的距離求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的垂 足，當(dāng)然別忘了 轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題例1 (福建卷)如圖，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 , D為CC1中點.(I)求證：AB1丄平面ABD ；(

4、n)求二面角 A A1D B的大小;(川)求點C到平面ABD的距離.考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的 大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維 能力和運算能力.解：解法一：(I)取BC中點0,連結(jié)AO .QAABC為正三角形，AO丄BC .Q正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面ABC丄平面BCCiBi ,AO丄平面BCC1B .連結(jié)BO，在正方形BBiCiC中，O, D分別為BC，CCi的中點,BO 丄 BD，AB1 丄 BD .在正方形ABB1A1中,AB1丄平面A BD .(n)設(shè)AB1與A B交于點G ,在平面A1BD中，作GF丄AD于F ,連結(jié)AF

5、 ,由(I)得AB平面A BD .AF 丄 AD ,/ AFG為二面角 A A D B的平面角.在 AAD中，由等面積法可求得 AF 4總，5又QAG 2AB1返，曲AFG箸727104/545-所以二面角A AD B的大小為arcsin104恵，$ BCD1 (川) ABD 中，BD AD45, AB 22, S阿在正三棱柱中，A到平面BCC1B1的距離為 翻設(shè)點C到平面a1bd的距離為d 由 7A BCDVC ABD，得 7bcd 9 J3 S ABD B ，33d/3S4 BCDS A|BD2點C到平面ABD的距離為渥2解法二：（I）取BC中點0 ,連結(jié)AO Q ABC為正三角形，AO丄

6、BC Q在正三棱柱 ABC AB1C1中，平面ABC丄平面BCC1BiAD丄平面BCCiBi 取BC中點O1，以O(shè)為原點，O胃,OOU，Oa的方向為X, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系,則 B(1,0,0)，D(1,1,0），a（o,2,，3），A（o,o,73），Bi (1,2,0)，UULTABi(1,2,73），uuuBD(210),uurBA(1,2,，3) uuuUUUTQ AB1g3DULUT UUU ABi 丄 BD ,UULTAB1 丄 BAi uurAB1丄平面ABD （n）設(shè)平面A1AD的法向量為(X,y, z) ULUTULUrAD ( 1,1, 73), AA (

7、0,2,0)Qn丄AD , n丄就,uuurngAD 0,UULTngAA 0,X y 辰 0,2y 0,y 0,X73乙運,01）為平面A AD的一個法向量.由（I）知AB平面ABD ,UIUT、 rHABi為平面A BD的法向量.uuircos n , ABuuur|n|gAB1|73 732c272面角AA D B的大小為arccos64（川）（n） , ABI為平面aibd法向量,ULU Q BCuur uuur點C到平面A1BD的距離d鬥3叫I 2|返A(chǔ)B,22222 2小結(jié)：本例中（川）采用了兩種方法求點到平面的距離.解法二采用了平面向量的計算方法,把不易直接求的B點到平面AMBi

8、的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點K到平面AMBi的距離的計算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法； 解法一采用了等體積法, 作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點2異面直線的距離考查異目主面直線的距離的概念及其求法考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.這種方法可以避免復(fù)雜的幾何例2已知三棱錐S ABC，底面是邊長為4J2的正三角形，棱面.E、D分別為BC、AB的中點，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線 CD與SE的公垂線不易尋找， 所以設(shè)法 將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進一步 轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離.解：如圖所示，取 BD的中點F，連結(jié)EF，SF, CF

9、，EF 為 BCD 的中位線， EF / CD, CD /面 SEF,CD到平面SEF的距離即為兩異面直線間的距離 . 又 線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線 CD上一點C到平面SEF的距離，設(shè)其為h由題意知，BC4J2,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點，1CD 2CD 2V6, EF46,DF72, SC 2Vs CEFEF DFSC 1ULur2,0,0), AB(1,2, Q Rt SCE 中,I 22SE dSC CERt SCF 中,SF JsC2 CF22 730Ssef 311由于 Vc sefVs cef - S sef h，即 1 3 h33故CD與SE間的距離為3小結(jié)：通過本例

10、我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程考點3直線到平面的距離偶爾會再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化求BD到平面GB1 D1的距離.例3.如圖，在棱長為 2的正方體 AC1中，G是AA1的中點,思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，再用點到平面距離 的方法求解.解：AiBiDiCi解法BD /平面 GB1D1 ,BD上任意一點到平面 GBiDi的距離皆為所求，以下求點0平面GBi Di的距離，B1D1 A1C1 , B1D1 AA, BiD1 平面 A1ACC1,又 BiDi平面GBiDi平面A ACC-i GB1D1，兩個平面的交線是 OjG ,CBDI

11、、. 上D作OH O-G于H，則有OH 平面GBiDi，即OH是O點到平面GB-D-的距離.1在 QOG 中，S O1OG20i0 AO3又 s O1OG-OH O1G2 14y/3 OH22/6即BD到平面GB1D1的距離等于 解法二 BD /平面GB1D1 ,BD上任意一點到平面 GBiDi的距離皆為所求，以下求點 B平面GBiDi的距離.設(shè)點B到平面GBiDi的距離為h,將它視為三棱錐B GBiDi的高，則V B GBi DiVdiGBBi，由于 S GBiDiV Di GBBi446即BD到平面GBi Di的距離等于xBO ,又Q AOI BO O , 平面AOB , 平面COD CO

12、D 平面 AOB 小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準恰當(dāng)?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離 .考點4異面直線所成的角【重難點】此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角 典型例題例4 如圖，在RtAAOB中，OAB丄，斜邊AB 4 Rt AOC可以通過6RtA AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B AO C的直二面角.D是AB的中點.(I) 求證：平面COD 平面AOB ;(II) 求異面直線 AO與CD所成角的大小.思路啟迪：(II )的關(guān)鍵是通過平

13、移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi).解：解法1: (I)由題意，CO AO , BO AO ,BOC是二面角B AO C是直二面角，COCO又CO(II )作DE OB，垂足為E，連結(jié)CE (如圖)，則DE / AO , CDE是異面直線AO與CD所成的角.12 , OE -BO 1，2在 RtA COE 中，CO BOCE VCO2 OE245 又DE AO 無2在 RtA CDE 中，tanCDECEDE異面直線AO與CD所成角的大小為715 37i5arctan3yC平面(II )解法2: (I)同解法1 .建立空間直角坐標系 0 xyz，如圖，則 0(0,0,0) , A(0,0,273)

14、 , C(2,0,0) , D(01 廣),uurOA(0,0,2/3)，LUUCD ( 21,73),COSuuu UULTOA,CDuuu uuu OAgSD uuu uuu OAcCD62/3g/2異面直線AO與CD所成角的大小為76arccos4小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直 線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如 解析二；補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法時要特別注意異面直線所成的角的

15、范圍:0,2 .考點5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算 線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考內(nèi)容 典型例題 例5 (全國卷I理) 四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面AB 2 ,BC 242, SA SB 73.BSA BC ;(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.考查目的：本小題主要考查直線與直線 ，直線與平面的位置關(guān)系， 二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力. 解：解法一：(I)作SO丄BC，垂足為O,連結(jié) AO，由側(cè)面SBC丄底面ABCD , 得SO丄底面 ABCD .因為SA SB,所

16、以AO BO ,(I)證明又/ ABC 45,故 AOB為等腰直角三角形，AO丄BO ,由三垂線定理，得(n)由(I)知SA丄 BC .SA丄BC，依題設(shè)故SA丄AD ,AD BC 2運,SO 1, SD SAB的面積S 2B丄AB 221連結(jié) DB，得 DAB 的面積 S22 ABgAD sin135O設(shè)D到平面SAB的距離為h，由于VdSAB Vs ABD，得LhgS1 IsOqS，解得 h 血.33設(shè)SD與平面SAB所成角為，則sin所以，直線SD與平面SBC所成的我為h72SD而.722arcsin11722解法二：(I)作SO丄BC ,垂足為O ,連結(jié)AO ,由側(cè)面ABCD .因為S

17、A SB,所以AO BO .SBC丄底面ABCD，得SO丄平面（n）取AB中點E , E返巫,0，2 2連結(jié)SE,取SE中點G ,連結(jié)OG，G 72返丄4，4 2OG 4SEgDG0, ABgDG0 , OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線 SE , AB垂直.AB （ V2,，2,0）.所以O(shè)G平面SAB, OG與DS的夾角記為，SD與平面SAB所成的角記為，則互余.D（屁72,0） , DS （屁冋.cosOGgDS 422 ,11OG CDS722sin 11所以，直線SD與平面SAB所成的角為（2） 論arcs in11小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是(1)先判斷直線和平面的位置

18、關(guān)系;當(dāng)直線和平面斜交時， 常用以下步驟：構(gòu)造一一作出斜線與射影所成的角， 證明證作出的角為所求的角， 計算一一常用解三角形的方法求角，結(jié)論一一點明直線和平面所成的角的值.考點6二面角【重點】此類題主要是如何確定二面角的 平面角,并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為 線線角放到一個 合適的三角形中進行求解.二面角是高考的熱點典型例題例6.(湖南卷)如圖，已知直角，A PQ , B , C,CA CB , BAP 45，直線CA和平面所成二面的角為30.(I)證明BC丄PQ ；Q(II )求二面角B AC P的大小.命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、 維能力和運算能力.面角等基本知識，考查空間想象能力、

19、邏輯思過程指引：(I)在平面內(nèi)過點C作CO丄PQ于點0，連結(jié)OB .因為丄PQ，所以CO丄又因為CACB，所以O(shè)A OB .從而所以BAOBO丄45，所以ABO 45, AOB 90,PQ，又 CO 丄 PQ ,QPQ丄平面OBC 因為BC 平面OBC，故PQ丄BC .(II)解法一：由(I)知，BO丄PQ，又丄PQ ,BO ，所以BO丄過點O作OH丄AC于點H，連結(jié)BH，由三垂線定理知, 故 BHO是二面角B AC P的平面角.BH 丄 AC .由(I)知，CO丄，所以 CAO是CA和平面所成的角，貝y CAO 30,不妨設(shè)AC 2，則AO 怎,OH AO sin302在 RtOAB 中,A

20、BO BAO 45，所以 BO AO J3 ,于是在RtA BOH中, tan BHO 昱OH因為CO丄a，所以 CAO是CA和平面 所成的角，則CAO30.不妨設(shè)AC 2 ,則AO晅,CO 1.在 RtOAB 中,ABOBAO 45,所以BO AO則相關(guān)各點的坐標分別是QO（0,0,0）,B（廳,0,0），a（0,，3,0），c（0,0,，）.UUU 所以AU（73, 73,0）,uuurAC （0, 731）.LT設(shè)n-iX,y, z是平面ABC的一個法向量,LT UUU rngAB LT UULT nigAC0,得 73x 43y 0,0Tsy z 0P的大小為arctan2 .故二面角

21、B AC解法二：由（I）知，OC丄OA , OC丄OB , OA丄OB，故可以O(shè)為原點，分別以直線OB, OA, OC為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖）得 S（1,1,73）.UU易知n2（10）,0）是平面的一個法向量.設(shè)二面角AC P的平面角為，由圖可知,LT UU4,2所以cosLTUUISI硏故二面角AC P的大小為arccos5小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法

22、，這也是解決無棱二面角的一種常用方法， 即當(dāng)二面角的平面角不易作 出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小 .【課后練習(xí)】如圖，在四棱錐P ABCD中，PA 底面ABCD, DAB為直角，AB | CD ,圓錐的表面積:rl圓臺的表面積rlr2RlR 5球的表面積S4 R26扇形的面積S扇形R2360lr（其中2I表示弧長，r表示半徑）AD=CD=2AB, E、F 分別為 PC、CD 的中點.（I）試證：CD 平面BEF;（n）設(shè)PA= k- AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30，求k的取值范圍.過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角; 方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量

23、求空間距離和角的一般方法【咼考熱點】空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積各個面面積之和1棱柱、棱錐的表面積：rl圓柱的表面積體積注：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于地面圓的周長1柱體的體積 V（二）空間幾何體的2錐體的體積V-S底3 底3臺體的體積 V1( S上 Js上 S 下34球體的體積V4r3【例題解析】選擇考點8簡單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、 題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進行判斷.典型例題例12 .如圖（1）,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長

24、為 時容積最大.思路啟迪設(shè)四邊形一邊 AD，然后寫出六棱柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時 AD長度即可.解答過程:BD = 2a1V= 6 -2如圖(2)設(shè) AD = a,易知/ ABC = 60，且/ ABD = 30 AB = J3 a .正六棱柱體積為 V .d-2a)2 sin60 娛=豐-2a)2 a99=-(i 2a)(i2a)4a -88當(dāng)且僅當(dāng) i 2a= 4aa=此時底面邊長為1 2a= 1 2(2 )3 .3i時，體積最大,6X = 63i答案為丄.6考點9.簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計算棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積 直

25、棱柱體積V等于底面積與高的乘積.i棱錐體積V等于-Sh其中S是底面積，h是棱錐的咼.3例 i5.如圖，在三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB = 72a, BC = CA = AAi= a,Ai在底面 ABC上的射影 O在AC上 求AB與側(cè)面ACi所成角； 若O恰好是AC的中點，求此三棱柱的側(cè)面積 .思路啟迪找出AB與側(cè)面ACi所成角即是/ CAB;三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個側(cè)面面積之和，側(cè)面BCCi Bi是正方形，側(cè)面 ACCiAi和側(cè)面ABBiAi是平行四邊形，分別求其 面積即可.解答過程：點 Ai在底面ABC的射影在AC上，平面ACCiAi丄平面ABC.Ci在 ABC 中，由 BC= AC

26、 = a, AB = 72a. / ACB = 90 , BC丄 AC. BC丄平面 ACCiAi.即/ CAB為AB與側(cè)面ACi所成的角在Rt ABC中，/ CAB = 45 AB與側(cè)面ACi所成角是45 .1/ O 是 AC 中點，在 Rg AAiO 中，AAi = a, AO=丄 a.2 AOia.243 2側(cè)面 ACCiAi 面積 Si= AC AOi= -a又 BC 丄平面 ACCiAi , BC 丄 CCi.又 BB1 = BC = a , 過O作OD丄AB于D ,側(cè)面BCCiBi是正方形，面積 S2= a2. AiO丄平面 ABC, AiD 丄 AB.在 RtA AOD 中，AO

27、 =a , / CAD = 45 OD =4在 RtA AiOD 中,A1D = jOD2+A1O2 = i 亞 a)2 +(亠V 42a)側(cè)面ABB1A1面積S3= AB AD =屆律=遼孑. 三棱柱側(cè)面積 S = S1 + S2 + S3 =(2 + J3+J7) a?.2例16.等邊三角形 ABC的邊長為4, M、N分別為AB、AC的中點，沿 MN將 AMN折起，使得面 AMN 與面MNCB所成的二面角為 30,則四棱錐AMNCB 的體積為 ()C思路啟迪先找出二面角平面角,AKL中求出棱錐的高h，再利用即/1V= Sh3即可.解答過程：在平面圖中，過 于K，交BC于L.貝U AK 丄

28、MN , KL 丄 MN. / AKL = 30 .A作AL丄BC,交MNAKL ,再在CJ3則四棱錐A MNCB的高h= AK sin30 =工32SmNCB =學(xué) KL = 3 盡V = 1 3V A- MNCB = 3V332答案A【專題綜合訓(xùn)練】一、選擇題1.如圖，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，已知 AB=1 , D在BBi上， 且BD=1，若AD與側(cè)面AAiCCi所成的角為 ，貝U 的值為（A.B. 一4C.arctan 邁4D. arcsin西42 .直線a與平面 成 角，a是平面 的斜線，b是平面 內(nèi)與a異面的任意直線，則 a與b所成的角（）BiDBA.最小值，最大值B.最

29、小值，最大值-C.最小值，無最大值D.無最小值,3. 在一個45的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成的另一平面所成的角為（）A. 30B. 45C. 604. 如圖，直平行六面體 ABCD-AiBiCiDi的棱長均為2,BAD 60，則對角線AiC與側(cè)面DCCiDi所成 的角的正弦值為（ ）最大值 一445角，則此直線與二面角D. 90CCi5 .已知在 ABC 中，AB=9, AC=15 , 點的距離都是A. 136如圖，在棱長為14,那么點B.3的正方體p到平面BAC 120，它所在平面外一點 P到 ABC三頂 ABC的距離為（）C. 9是棱AiBi、A1D1的中點，則點9211AB

30、CD-A1B1C1D1 中，M、N 分別B到平面AMN的距離是（A.B.73C.D.Di/ / DLBiD.7CiAiAB7.將QMN60，邊長MN=a的菱形MNPQ沿對角線NQ折成60的二面角,MP與NQ間的距離等于3B. -a4C.a4&二面角 l的平面角為120，在內(nèi),AB I 于 B, AB=2,在內(nèi)，CDCD=3,BD=1, M是棱I上的一個動點，則 AM + CM的最小值為（）A.2J5C. V26D.2V69空間四點 A、B、C、D中,每兩點所連線段的長都等于a,在線段CD上，則P與Q的最短距離為（動點P在線段AB上,動點QB. 一a2C.D. a10.在一個正四棱錐，它的底面邊長與側(cè)棱長均為 住（不能裁剪紙，但可以折疊）a，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包 ，那么包裝紙的最小邊長應(yīng)為（A.(72 76)aB.C.(1 63a .12M分別是 是平行四16O,連接 OE, O、 四邊形 AOEMABC